2009~2013年高考真題備選題庫第4章平面向量、數系的擴充與復數的引入第3節平面向量的數量積與平面向量應用舉例考點一平面向量的數量積1．（2013湖南，5分）已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)＋2解析：本題主要考查向量的坐標運算、向量模的幾何含義與向量模的最值求解，意在考查考生的轉化能力、數形結合思想的運用能力．建立平面直角坐標系，令向量a，b的坐標a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，則有eq\r(x－12＋y－12)＝1，|c|的最大值為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動點到原點的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點的距離加圓的半徑，即eq\r(2)＋1.答案：C2．（2013湖北，5分）已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)解析：本題考查向量的坐標運算及向量投影的概念，意在考查考生對基礎知識的掌握情況．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||eq\f(·,||||)＝eq\f(·,||)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故選A.答案：A3．（2010遼寧，5分）平面上O，A，B三點不共線，設＝a，＝b，則△OAB的面積等于()A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2)B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)解析：因為cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝eq\r(1－\f(a·b,|a||b|)2)，則S△AOB＝eq\f(1,2)×|a|×|b|×sin∠AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(|a|2|b|2－a·b2).答案：C4．(2010湖南，5分)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0?cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，所以夾角為120°.答案：C5．(2009·福建，5分)設a，b，c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于()A．以a，b為兩邊的三角形的面積B．以b，c為兩邊的三角形的面積C．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：∵|b·c|＝|b|·|c||cosθ|，如圖，∵a⊥c，∴|b·cosθ|就是以a、b為鄰邊的平行四邊形的高，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，∴|b·c|表示以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積．答案：C6．（2012新課標全國，5分）已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.解析：依題意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos45°＋|b|2＝4－2eq\r(2)|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2eq\r(2)|b|－6＝0，∴|b|＝eq\f(2\r(2)＋\r(32),2)＝3eq\r(2)(負值舍去)．答案：3eq\r(2)7．（2013新課標全國Ⅰ，5分）已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________.解析：本題考查平面向量的數量積運算，意在考查考生的運算求解能力．根據數量積b·c＝0，把已知兩向量的夾角轉化到兩向量數量積的運算中．因為向量a，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60°，所以a·b＝eq\f(1,2)，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以eq\f(1,2)t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：28．（2013安徽，5分）若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．解析：本題主要考查平面向量數量積的運算和夾角等基礎知識和基礎運算．對向量的模同時平方可得，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以有4a·b＝－4|b|2，即cos〈a，b〉＝－eq\f(|b|,|a|)＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)9．（2013浙江，4分）設e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為eq\f(π,6)，則eq\f(|x|,|b|)的最大值等于________．解析：本題考查向量的概念、運算、函數的最值等知識，考查轉化與化歸能力、函數與方程思想以及靈活利用知識分析問題、解決問題的能力．當x＝0時，eq\f(|x|,|b|)＝0，當x≠0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|x|,|b|)))2＝eq\f(x2,x2＋y2＋\r(3)xy)＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))2＋\r(3)\f(y,x))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(\r(3),2)))2＋\f(1,4))≤4，所以eq\f(|x|,|b|)的最大值是2，當且僅當eq\f(y,x)＝－eq\f(\r(3),2)時取到最大值．答案：210.（2012江蘇，5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝eq\r(2)，則·的值是________．解析：以A為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標系，則B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．設F(x,2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)?eq\r(2)x＝eq\r(2)?x＝1，所以F(1,2)，·＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)11．（2012湖北，5分）已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則(1)與2a＋b同向的單位向量的坐標表示為________；(2)向量b－3a與向量a夾角的余弦值為________．解析：(1)因為2a＋b＝(3,1)，所以與它同向的單位向量的坐標是(eq\f(3\r(10),10)，eq\f(\r(10),10))；(2)b－3a＝(－2,1)，所以(b－3a)·a＝－2，|b－3a|＝eq\r(5)，所以b－3a與a夾角的余弦為eq\f(b－3a·a,|b－3a||a|)＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)答案：(1)(eq\f(3\r(10),10)，eq\f(\r(10),10))；(2)－eq\f(2\r(5),5)12．（2011新課標全國，5分）已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.解析：∵a＋b與ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化簡得(k－1)(a·b＋1)＝0，根據a、b向量不共線，且均為單位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：1考點二平面向量的應用1．(2011山東，5分)設A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若＝λ(λ∈R)，＝μA1A2(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，則稱A3，A4調和分割A1，A2·已知點C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調和分割點A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C，D可能同時在線段AB上D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上解析：根據已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，得eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點，則c＝eq\f(1,2)，代入eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2得，eq\f(1,d)＝0，此等式不可能成立，故選項A的說法不正確；同理選項B的說法也不正確；若C，D同時在線段AB上，則0<c≤1,0<d≤1，此時eq\f(1,c)≥1，eq\f(1,d)≥1，eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)≥2，若等號成立，則只能c＝d＝1，根據定義，C，D是兩個不同的點，故矛盾，故選項C的說法也不正確；若C，D同時在線段AB的延長線上，若c>1，d>1，則eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)<2，與eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾，若c<0，d<0，則eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)是負值，與eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾，若c>1，d<0，則eq\f(1,c)<1，eq\f(1,d)<0，此時eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)<1，與eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾；故選項D的說法是正確的．答案：D2．（2013遼寧，12分）設向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)設函數f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：本題考查向量與三角函數的綜合應用，側重考查三角函數的性質．(1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，從而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinx·cosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，當x＝eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值為eq\f(3,2).3．（2013江蘇，15分）已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解：本題考查平面向量的加法、減法、數量積運算，三角函數的基本關系等基礎知識，意在考查學生的運算求解和推理論證能力．(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因為a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1.))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).4．（2013天津，13分）設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為eq\f(\r(3),3)，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為eq\f(4\r(3),3).(1)求橢圓的方程；(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若·＋·＝8，求k的值.解：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的運算等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．(1)設F(－c,0)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，知，a＝eq\r(3)c.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有eq\f(－c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(\r(6)b,3)，于是eq\f(2\r(6)b,3)＝eq\f(4\r(3),3)，解得b＝eq\r(2)，又a2－c2＝b2，從而a＝eq\r(3)，c＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a