三角函數培優講義（一）【知識梳理】：1、角的概念的推廣：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說該角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限。①第I象限角的集合：；②第II角限角的集合：；③第III象限角的集合：；④第IV象限角的集合：；⑤終邊在軸正半軸的角的集合：；終邊在軸負半軸的角的集合：；終邊在軸上的角的集合：；⑥終邊在軸正半軸的角的集合：：終邊在軸負半軸的角的集合：；終邊在軸上的角的集合：；⑦終邊在坐標軸上的角的集合：：⑧終邊在直線的角的集合：：⑨終邊在直線的角的集合：：3.終邊相同的角的表示：①終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)；②終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上)；③終邊與終邊關于軸對稱；④終邊與終邊關于軸對稱；⑤終邊與終邊關于原點對稱；⑥終邊與終邊關于直線對稱；注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.弧長公式：①扇形的弧長為,半徑為,圓心角為,則:，②扇形面積公式：；1弧度(1rad).任意角的三角函數的定義：①設是任意一個角，P是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么正弦余弦，正切；②了解：余切，正割，余割。注意：三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關。③各象限角的各種三角函數值符號:一全二正弦,三切四余弦三角函數線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”、正切線AT“站在點處(起點是)”。7.同角三角函數的基本關系式：①平方關系：；②商數關系：；③了解：，；8.三角函數誘導公式：（）的本質是：奇變偶不變（對而言，指取奇數或偶數），符號看象限（看原函數，同時可把看成是銳角）.誘導公式的應用是求任意角的三角函數值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,；(2)轉化為銳角三角函數。〖基礎典例〗Ⅰ?（1）寫出與終邊相同的角的集合M；（2）把的角寫成（）的形式；（3）若角，且求。【變式拓展】1、角α與角β的終邊互為反向延長線，則()A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)2、已知角的終邊與的終邊相同，則在區間內與的終邊相同的角有（）個A．１B．２C．３D．４3、設sin＞0,cos＜0,且sin＞cos,則的取值范圍是()A．(2k+,2k+),kZB．(+,+),kZ

C．(2k+,2k+),kZD．(2k+,2k+)(2k+,2k+),kZ〖基礎典例〗Ⅱ?（1）在已知園內，1弧度的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長為多少？（2）扇形的面積是1，它的周長是4，求它的圓心角和弦的長。【變式拓展】1、已知扇形的面積是16，試求當扇形的半徑和圓心角各取何值時，扇形的周長最小？2、若扇形的周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？3、如圖，已知長為，寬的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾，翻滾到第四次時被一小木板擋住，使木塊底面成的角，問點走過的路程的長以及走過的弧度所在扇形的總面積。〖基礎典例〗Ⅲ?已知角θ的終邊經過點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，試判斷角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【變式拓展】1、已知，則與的關系是（） A．或 B． C． D．2、若是第二象限角，則0（填>或<）3、已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，則sinα＋cosα＋eq\f(4,5)tanα=；〖基礎典例〗Ⅳ?在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫出角α的集合：①sinα≥eq\f(\r(3),2)；②cosα≤－eq\f(1,2).③【變式拓展】1、函數的定義域為；2、如果，，那么的取值范圍是；3、若（為銳角），則的取值范圍。〖基礎典例〗Ⅴ?已知，求證：．（2010北約）【變式拓展】1、設，則、與大小關系是；2、已知，則與1的大小關系是（）A．B．C．D．大小與的取值有關3、當時，下列不等式正確的是（）A．B．C．D．〖基礎典例〗Ⅵ?已知．①化簡；②若是第三象限的角，且，求的值；③若，求的值．【變式拓展】1、設函數，則的值為；2、已知α，β為銳角，且x·（α+β-）>0，求證：3、在銳角三角形中，求證：.〖基礎典例〗Ⅶ?①化簡：.②證明：.③若，求（1）的值；（2）的值．【變式拓展】1、；已知為正數，且，則的值為；3、若是方程的兩個實根，則；〖基礎典例〗Ⅷ?已知，且，求的值。【變式拓展】1、已知αR，sinα+2cosα=eq\f(\r(10),2)，則tanα=；2、已知，且，則；3、已知，則；選擇題：1、已知集合，，，則下列關系式中正確的是（）A．B．C．D．2、若是第二象限的角，則是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第一、三象限的角D．第二、四象限的角給出下面四個命題：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么是第一或第二象限角；（1）如果是第一或第二象限角，那么。這四個命題中，錯誤的命題有（）個A．1B．2C．3D．44、設，則的值為（）A、B、C、D、5、的大小關系是（）A．.B．.C．.D．.6、化簡三角有理式的值為（）A.1B.C.D.1+7、對任意,下列不等式正確的是（）A．B．C．D．8．設，且，則的大小（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、已知，則（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、設，，，,則的大小關系是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．填空題：1、從3:00到5:40這段時間里，時鐘的分針和時針分別轉過的弧度數為、；2、已知銳角x的終邊上一點A的坐標為(2sin3,-2cos3)，則x的弧度數為___________；3、適合的角的集合為___________；已知,，函數，則；5、已知是三角形的一個內角，且，則的范圍是；6、表示不超過的最大整數，則的值；7、已知，則下面三個數：，，從小到大以此為；8、已知，則的值為；9、設為一個給定的銳角，則關于的方程的實數解共有個。滿足的銳角共有個。三、解答題：1、已知sinα＝m(|m|<1且m≠0)，求tanα的值．