輪上與軌道接觸時相對純滾速度與加速度的統一關系

速度、加速度的普遍關系在直線或平面上的圓形車輪上進行相對簡單的滾動運動是工程實踐和日常生活中常見的運動現象。車輪上點的運動形式、相關速度和加速度是一般力學問題。眾所周知,當軌道固定不動時,輪上與軌道接觸的點速度為零、加速度恒指向輪心。但若軌道也運動,輪與軌相接觸的兩點,其運動量之間有什么關系?彼此間存在怎樣的相對運動?這些問題是分析的難點,常令學生捉摸不定,導致各種各樣的錯誤。下面先作一般性討論,導出速度、加速度的普遍關系;然后通過兩道考研題介紹正確的分析方法,并對常見錯誤進行辯析;最后歸納和總結,得出結論。1輪、軌接觸點d運動軌跡和加速度分布不失一般性,討論圖1所示沿直線軌道o′x′純滾的輪。由點的運動學知,圓輪在固連于軌道的動系o′x′y′中作平面運動,輪緣上任意點的相對運動軌跡為旋輪線,當它與軌道接觸時vr=0?a?rvr=0?a→r指向輪心。現在在靜系oxy中來觀察,設任意瞬時動系上的D點速度、加速度為v?v→D和a?a→D,則輪上與D接觸的點D′的速度、加速度可依照相對運動分析法確定:沿x′軸投影得:根據(1)、(2)式可知,不論軌道作怎樣的運動,輪、軌接觸點間運動量關系始終是:速度相等(無相對速度);加速度沿公切線的投影相等(相對加速度恒指向輪心)。以上結論對于沿運動的曲線軌道(如圓形軌道)純滾的輪也成立,證明從略。2剛體運動軌道系統以下兩例均取自于研究生入學考試題。[例1]圖示機構,平臺A和勻質圓柱C質量均為m,在平臺和圓柱C上施加平行力P?Ρ→1和P?Ρ→2。設圓柱在平臺上作純滾動,平臺與平面間無摩擦,試求平臺及圓柱中心C的加速度。[解]本題涉及的圓輪(圓柱C)是在平動的平臺上純滾,純滾軌道自身作直線平動。對平臺和圓柱進行受力分析和運動分析,可作出圖(b)～(d),列出相關運動學和動力學方程。聯立求解得:[討論]在圓柱與平臺間摩擦力能維持相對純滾的條件下,若P2>P1,則圓柱往前滾,圓柱質心比平臺質心跑得快;若P2<P1,則圓柱朝后滾,圓柱質心比平臺質心跑得慢;若P2=P1,則圓柱相對平臺靜止,系統形如一平動剛體。[常見錯誤]該題最易出現的錯誤是關于aC、aA、ε三者之間的關系分析錯,比如用下式代替(6)式由此得出的結果是:該結果中aC、ε均與P1力無關顯然不對,而寫出錯式(7)的原因,應該是學生太熟悉和太習慣于研究沿固定軌道純滾輪這一“慣性”所致。當圓輪在運動軌道上相對純滾時,應按照絕對運動量與相對運動量之間的關系來分析,輪心C與輪、軌接觸點B間的加速度關系是:沿水平方向投影為再注意到B點與平臺A的加速度關系:aBx=aA,即可得到正確的運動學關系式。[例2]半徑為r的圓輪O鉸接在直角桿OAB上,并相對C桿作無滑動的滾動。已知圖示瞬時vAB=v,aAB=0,求該瞬時圓輪的角速度和角加速度。[解]本題涉及的圓輪是在定軸轉動的直桿上純滾,純滾軌道自身作定軸轉動。分析圖中三個剛體的運動,OAB桿作直線平動,CD桿繞C作定軸轉動,圓輪作平面運動。圖示瞬時P、O兩點分別為圓輪的速度瞬心和加速度瞬心。解此運動學問題的第一步是借助點的運動合成求輪心O相對CD桿的運動量以及牽連運動量,根據速度合成和加速度合成圖(b)和(c)列出運動學方程:代入已知條件vO=v,aO=0得:第二步是利用剛體平面運動規律求圓輪的角速度和角加速度。根據速度圖(a)和加速度圖(d)、(e)列出運動學方程:代入已知條件即可得:[常見錯誤]該題最易出現的錯誤是利用O點相對CD桿的速度和加速度直接求圓輪的角速度和角加速度,寫出如下錯式:導致這種錯誤的原因是忽視了CD桿自身也在運動,有角速度和角加速度,上面兩式求出的實際上是圓輪相對動系CD桿的角速度和角加速度,而圓輪的絕對角速度和角加速度可以根據剛體繞平行軸的轉動規律求得:3動中接觸點的改變通過以上實例可見,分析沿運動軌道純滾輪的關鍵是,正確利用輪、軌接觸點之間的運動量關系,雖然運動中接觸點對輪和軌而言始終在改變,但任意瞬時相接觸的兩點速度、加速度都滿足(1)、(2)兩式。上面兩例