2021年山東省淄博市部分學校高考數學診斷試卷（二模）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知集合/=(%|-2<%<1},B={x\y-Vx},那么/U(CRB)=()

A.(—2,1)B.(-2,0)C.(—8,1)D.(-8,0)

2.若復數z=為虛數單位)，則|z|=()

A.V5B.2C.V3D.1

3.已知{an}為等比數列，為其前〃項和.若2s3=02+的+。4，則公比q=()

A.UB.UC.1D.2

22

4.若圓臺的上、下底面面積分別為4,16則圓臺中截面的面積為()

A.10B.8C.9D.8V2

5.函數/(%)=(ex+e-'tcmx的部分圖象大致為()

A.(嗎-1)B.C.鴕)D.(再)

7.已知“，6為正實數，則“胃32”是“ab〈16”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

8.碳70（C7o）是一種碳原子簇，可高效殺滅癌細胞，它是由70

個碳原子構成的，其結構是由五元環（正五邊形面）和六元環（

C?0分孑內0D

正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個面，則其六元環的個數為（）

A.12

B.25

C.30

D.36

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知a,夕是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，且，"，n<ta,m,nP，

給出下列四個論斷：①a〃例@m//n；③機〃a；④n〃口.以其中三個論斷為條

件，剩余論斷為結論組成四個命題，其中正確的命題是（）

A.①②③=④B.①③④=②C.①②④=③D.②③④=①

2

10.設橢圓C：二+y2=i的左、右焦點為F1，F2,P是C上的動點，則下列結論正確

4

的是（）

A.離心率6=曰B.I兩I的最大值為3

C.△PF/?面積的最大值為2舊D.|耐+而|的最小值為2

11.已知e是自然對數的底數，則下列不等關系中不正確的是（）

A.In2>-eeB.Zn3<-Ce.Inn>-InTrnD.-

12.記<x>表示與實數x最接近的整數，數列｛即｝通項公式為冊=短”N*）.其前

〃項和為％.設/￡=<代>,則下列結論正確的是（）

2

A.Vn=fc—|B.Vn</c+C.n>k—k+1D.S202i=88

三、單空題（本大題共4小題，共20.（）分）

13.已知向量蒼，3滿足|M|=1,|B|=2，|五—b|=遍，則向量4和b的夾角為

14.某班40名學生，在一次考試中統計所得平均分為80分，方差為70,后來發現有兩

名同學的成績有誤，甲實得80分錯記為60分，乙實得70分錯記為90分，則更正

后的方差為.

15.已知（1+%）租+（1+3x）n（m,nEN*）展開式中x的系數為11,當％2的系數取最小

值時，/的系數是.

16.已知Fi，尸2分別是雙曲線C：圣一，=l（a>0,b>0）的左、右焦點，c是雙曲線C

的半焦距，點A是圓O:/+y2=c2上一點，線段「2人交雙曲線C的右支于點B,

且有尸2*=。，麗=|麗，則雙曲線C的離心率是.

第2頁，共18頁

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在①S$=50,②Si，S2,S4成等比數列，③56=3(。6+2)這三個條件中任選兩個,

補充到下面問題中，并解答本題.

問題：已知等差數列｛即｝的公差為d(d40),前"項和為Sn,且滿足.

(1)求斯；

(2)若垢-=2an(n>2),且瓦一%=1,求數列｛《｝的前〃項和

°n

18.已知△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,cos(/l-C)+cosB=|,設沅=

(b,c),n=(a,b),且沅〃元.

(1)求角B的大小；

(2)延長5c至。，使8。=5,若△4CD的面積S=百，求A。的長.

19.如圖所示，已知在四棱錐P-4BCD中，底面ABCQ是邊長為2的菱形=60°,

側棱P4=PC=3,PB=PD,過點A的平面與側棱PB,PD,PC相交于點E,F,

M,且滿足：PE=PF,PM=1.

(1)求證：直線PC1平面4WF；

(2)求平面與平面AEMF所成二面角的正弦值.

20.某市在司法知識宣傳周活動中，舉辦了一場司法知識網上答題考試,要求本市所有

機關、企事業單位工作人員均要參加考試.試題滿分為100分，考試成績大于等于

90分的為優秀，考試結束后，組織部門從所有參加考試的人員中隨機抽取了200

人的成績作為統計樣本，得到樣本平均數為82、方差為64.假設該市機關、企事業

單位工作人員有20萬人，考試成績f服從正態分布N(82,64).

(1)估計該市此次司法考試成績優秀者的人數有多少萬人？

(2)該市組織部門為調動機關、企事業單位工作人員學習司法知識的積極性，制定

了如下獎勵方案：所有參加考試者，均可參與網上“抽獎贏手機流量”活動，并且

成績優秀者可有兩次抽獎機會，其余參加者抽獎一次.抽獎者點擊抽獎按鈕，即隨

機產生一個兩位數(10,11,…，99),若產生的兩位數的數字相同，則可獲贈手機流

量5G,否則獲贈手機流量1G.假設參加考試的所有人均參加了抽獎活動，試估計此

次抽獎活動贈予的手機流量總共有多少G?

參考數據：若f?d),P(〃—cr<f<〃+。)=0.68.

第4頁，共18頁

21.已知函數/'(*)=|比x|+ax(a<0).

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)若函數/(x)恰好有三個零點，求a的取值范圍.

22.已知拋物線0的標準方程是/=2py(p>0),過點M(0,2p)的直線/與拋物線0相交

于4(X1，%)，8(%2，丫2)兩點，且滿足月?乃=64.

(1)求拋物線。的標準方程及準線方程；

(2)設垂直于/的直線4和拋物線。有兩個不同的公共點C,D,當C,。均在以線段

AB為直徑的圓上時，求直線/的斜率.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了集合的描述法和區間的定義，并集和補集的定義及運算，考查了計算能力,

屬于基礎題.

可求出集合3,然后進行補集和并集的運算即可.

【解答】

解：力={x|-2cx<1},B={x\x>0},

CRB={x|x<0),AU(CRB)=(-oo,1).

故選：c.

2.【答案】A

［解析］解：2=*=空更=-(i+2)=-2-i,

--z=—2+i,

■■\z\=V4+1=V5>

故選：A.

求出W,從而求出z的模即可.

本題考查了復數的運算，考查復數求模以及共輾復數，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：因為{即}為等比數列，2s3=2(%+a2+a3)=a2+a3+a4,

3

所以2al+a2+a3=a4,即2al+qa】+q2al=q^,

因為%H0,

所以q3—q2—q-2=0,即(q—2)(Q2+q+1)=0,

所以q=2.

故選：D.

由已知結合等比數列的通項公式即可直接求解.

本題主要考查了等比數列的通項公式，屬于基礎題.

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4.【答案】C

【解析】解：根據題意知，圓臺的上、下底面半徑分別為今春,

V7TyTT

所以圓臺的軸截面是上底為白，下底為卷的等腰梯形,

V7TV7T

因為圓臺的中截面平行于上下底，且與上下底等距離,

所以這個截面圓在圓臺軸截面上截得的直徑是等腰梯

形的中位線，

根據梯形中位線公式，得該截面圓的直徑等于"宸+。)=親

所以該中截面圓的半徑為；X奈=煮

所以中截面面積為：7TX《)2=9,

故選：C.

由中截面是過圓臺高的中點且與上下底面平行的截面，由此可得該截面與圓臺軸截面相

交所得的直徑是軸截面等腰梯形的中位線，結合題中數據可算出該截面圓的面積.

本題考查了圓臺的結構特征與中截面面積的計算問題，也考查了運算求解能力，是基礎

題.

5.【答案】D

【解析】解：當X-0+時，/(%)>0,由此可排除選項A.

顯然f(0)=0，故排除選項B；

/(-X)=(e~x+ez)tan(-x)=-(ez+e-x)tanx=-/(x),故函數/Q)為奇函數，由此

排除選項C；

故選：D.

根據函數的奇偶性及特殊點的函數值，即可得出正確選項.

本題考查利用函數的性質識別函數圖象，考查數形結合思想，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解："tana>sina>sin2a,

■■tana>sina>2sinacosa,

由tana>sina得史竺>sina,

cosa

sina.1八1-cosa、

即an-----sina=sina(z-----1)=sina------->0,

cosacosacosa

TCIT八

/.0<cosa<1,

當cosa=1時，不等式stria?1~sa>0,不成立，

cosa

???0<cosa<1,

則W>o,即Sina>0,

cosa

則。VQV]sina>0,

vsina>2sinacosa,

1>2cosa,即cosa<

即KW,

故選：c.

根據三角函數的取值范圍，結合不等式分別進行求解即可.

本題主要考查三角函數的性質，結合三角函數不等式以及角的范圍關系進行轉化是解決

本題的關鍵，是中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意，正實數a,b,可得a+bN2相,當且僅當a=b時，等號成立，

若abS16,可得gW=2,

a+b2yjab22

故“gw2"是"ab<16”的必要條件，

a+b

反之，例如Q=2,b=10,此時而ab=20,此時ab>16,

a+b

故“gw2”是“ab<16”的不充分條件，

a+b

綜上所述，“4W2”是“ab<16”的必要不充分條件，

a+b

故選：B.

由。，匕為正實數，利用基本不等式性質，根據充要條件的定義即可判斷.

本題考查了基本不等式的性質，充要條件的判斷，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：頂點數就是碳原子數為70,每個碳原子被3條棱共用，故棱長數為70x3+

2=105,

由歐拉公式得面數為2+棱長數-頂點數=37,

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設正五邊形為X個，正六邊形為y個,

則*6；%。，北蜜，

則六元環的個數為25,

故選：B.

根據題意可知頂點數為70,可求得棱長數為105,結合歐拉公式得到面數為37,列出

方程組即可.

本題考查學生閱讀理解的能力，考查合情推理的能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：m,nCa,機，n/?.

對于A,由戊〃。，m//a,得?n〃S，又m〃n,n〃夕，故A正確；

對于2,由。〃0,mlla,n〃/?，可得m〃ri或帆與"相交或，"與"異面，故2錯誤；

對于C,由。〃0,n///3,得《〃。，又m〃n,則m〃a,故C正確；

對于。，由m〃n,m//a,n//(i,可得a〃。或a與0相交，故。錯誤.

故選：AC.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系逐一分析四個選項得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定及應用，考查空

間想象能力與思維能力，是中檔題.

10.【答案】AD

【解析】解：由橢圓C：亍+y2=],得@=2,6=1,...c=7a?—b2=6,

則6=￡=更，故A正確；

a2

由橢圓性質：到橢圓右焦點距離最大的點是左頂點，可得|配|的最大值為a+c=2+

?故8錯誤；

當產在橢圓短軸的一個端點時,△PF16面積的最大值為:?2c?b=be=6，故C錯誤；

設P(2cos6,sin0)(0W8<2兀),&(一行,0),F2(V3,0),

則麗=(-V3-2cosd,-sin9^而=(百一2cos9,-sin9^

則PF；+PF：=^—4cos6,—2sindy\PF；+PF；|=V16cos20+4sin26=>/4+12cos20，

.?.當cos。=0時，|西+訊|的最小值為2,故。正確.

故選：AD

由橢圓方程求得a,c的值，得到橢圓離心率判斷4由到橢圓右焦點距離最大的點是

左頂點判斷8：求出APFiB面積的最大值判斷C；設出P的坐標，利用向量的坐標加

法運算及向量模的求法判斷O.

本題考查橢圓的幾何性質，考查向量的坐標運算及斜率模的求法，是中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：令f(x)=/nx-；(x>0),則(。)=：-5=簍.

當x€(e,+8)時，e-x<0,/'(x)<0,二/(X)單調遞減；

當xe(0,e)時，e-x>0,f'(x)>0,???f(x)單調遞增；

???當x=e時，/(%)取最大值，f(x)max=/(e)=/ne-1=1-1=0.

?1?f(x)的值域為(一8,0],

A/(x)<0=>/HX-；<0=>/HX<當且僅當％=e時，等號成立.

OO

A：-±<0=m2<±,故4錯；

ee

B：故對；

/n3--e<0e=>7n3<B

C：Imt--<0Inn<故錯；

eeC

。：令g(x)=W(x>0)，g'Q)

當xe(e,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；

當x€(0,e)時，g'(x)>0,，g(x)單調遞增.

e<3<7i,

??.g(3)>g(7r),即等〉竽

vInn>0,3>0,

???S>p故。錯?

故選：ACD.

利用函數單調性進行求解，所以需借助導函數判斷函數的單調性.

本題考查函數單調性的應用，屬于基礎題型.

12.【答案】BC

【解析】解：由題意設k=＜低〉，當n=l時，低=1,＜低＞=1，故A錯誤:

由Vgi＞|VB|J|Vn—k\＜p解得一]vgi-kv],

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可得低＜k+3故B正確；

由心＜訴-k＜$可得k-g＜低＜k+5

兩邊平方可得/—k+Jcnvi+k+j因為〃為自然數，且/-k+J不是整數，

444

其中1—k+1是42_k+；右側的最接近的整數，

所以九＞k2-k+1成立，故C正確；

當九=1,2時，＜樂＞=1,此時的=。2=1；

當ri=3,4,5,6時，＜瓜＞=2,此時，a3=a4=a3=a6=-；

當兀=7,8,9,10,11,12時，＜匹＞=3,此時，a7=a8=...=a12—

n=13,14,20時，＜低＞=4,此時，a13=a14=...=a20=-；

....

歸納可得，｛a.｝中，有2個1,4個;，6個號8個,，…，

又由2,4,6,8,...,構成首項為2,公差為2的等差數列，可得及=］（2+2n）=M+n,

令小+nW2021,解得〃的最大值為44,

則S2021=1*2+?*4+?*6+；*8+~+5*44+5義41=44+,，故。錯誤.

故選：BC.

考慮n=l,計算赤=1,＜赤＞=1,可判斷A；由|迎一＜赤＞|＜；,結合新定義，

可判斷B；由聽-＜低＞|兩邊平方，結合新定義，可判斷C；考慮n=1,2；3,

4,6；7,8,12；結合等差數列的通項公式和求和公式，可得”的最大值

為44,再求和，可判斷D

本題考查等差數列的通項公式和求和公式，以及新定義＜x＞的理解和運用，考查轉化

思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

13.【答案】150°

【解析】解：根據題意，設向量有一石和石的夾角為。，

若I五1=1，|b|=2，\a-b\=V3,則@一。）2=片+12—2方）=5—2五%=3,

則五?b=1，

故（五—b）-b=a-6-&=1-4=-3，

@-S)?石_-3

貝kos。=

[a-b\\b\一2xV3

又由0。weW180。，則J=150。,

故答案為：150。.

根據題意，設向量五-講口方的夾角為仇由數量積的計算公式可得0_加)2=相+或一

2a-b=5-2a-b=3,變形可得益彳=1，由此求出(蒼—方).石的值，由夾角公式可

得cos。的值，結合。的范圍分析可得答案.

本題考查向量數量積的計算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎題.

14.【答案】60

【解析】解：???甲實得分為80分，記為60分，少記20分，乙實得70分，記為90分,

多記20分，

???總分沒有變化，.?.更正前后的平均分沒有變化，都是80分，

設甲乙以外的其他同學的成績分別為。3,。4,…，?40>

???更正前的方差為70,

2222

???(60-80)+(90-80)+(a3-80)+…+(a40-80)=70x40,

2222

(60-80)+(90-80)+(a3-80)+…+(a4o-80)=70x40,

22

???(a3-80)+???+(a4o-80)=2800-400-100=2300,

???更正后的方差為：

_(80-80)2+(70-80)2+(a-80)2+(a-80)2_100+2300_(八

?cj2=-------------------------------------3-----------------4--0---------=----------------OUf

4040

???更正后的方差為60.

故答案為：60.

先判斷更正前后平均分沒有變化都是80分，再根據方差的概念表示出更正前的方差和

更正后的方差，比較其異同，然后整體代入即可求解.

本題考查方差的運算，考查方差的性質等基礎知識，考查運算求解能力等數學核心素養,

是基礎題.

15.【答案】5

【解析】解：(1+無)租+(1+3工產(小,九6%*)展開式中*的系數為*+3盤=11,即

m+3n=11,

展開式中/項的系數為蹤+9鬃=吟工+嗎3=(ll-3n)2-(l；-3n)+9*9n=

9(n2-4n)+110=9(n-2)2+74,

第12頁，共18頁

當n=2時，展開式中一項的系數最小，此時機=5,

5

所以(1+x)+(1+3x)2展開式中一項的系數為璃=5,

故答案為：5.

依題意，可求得，小〃的值，從而可求得小的系數.

本題考查二項式定理，考查組合數公式的應用考查數學運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】恒

2

在直角三角形4F/2中，|F1F2『=|4F1|2+|4F2|2,

即為4c2=5Q2+Q2=6Q2,

則e=￡=4.

a2

故答案為：立.

2

由向量共線定理和雙曲線的定義，推得18al=2a+，=(a,再在直角三角形中，

在直角三角形AF】F2中，分別運用勾股定理，結合離心率公式，可得所求值.

本題考查雙曲線的定義和向量共線定理的運用，以及直角三角形的勾股定理的運用，考

查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)①Ss=5005al+10d=50u>%+2d=10,

2

②S2,S4成等比數列=Si=S1S4=(2%+d)=。式4。1+6d)=d=2%,

③56=3(a6+2)06al+15d=3(?+5d+2),

選①②，解得刖=2,d=4,a九=2+4(n-1)=4幾一2；

選①③，解得—2,d=4,an=2+4(n-1)=4n—2；

選②③，解得=2,d=4,an=2+4(n-1)=4n—2；

(2)由必—at=1,%=2,可得瓦=3,

由b九一％n-i=2an=8n-4,n>2,

可得為=瓦+(匕2—瓦)+(匕3—82)+…+(%—%-1)=3+12+20+28+..?+(8幾—

4)=1n(4+8n—4)—1=4n2-1,

上式枷=1也成立，所以1能="六一盍)，

11

PmPiJl7TL=~(1—+I-----1--.-1-------1--,F...H,----1----------1---)、=—-1/(I1--------)X_=---n---

九2、335572n-l2n+ly2'2n+J2n+l

【解析】(1)由等差數列的通項公式和求和公式，化簡①②③，選①②，①③，②③，

解方程可得首項和公差，進而得到即；

(2)由數列的恒等式求得bn,再由數列的裂項相消求和，計算可得所求和.

本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的恒等式和數列的裂項相消

求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)???cos(A—C)+cosB=cos(A-C)-cos(4+C)=|,得：

3

sinAsinC-

4

由記〃元得〃=QC,由正弦定理得：sinAsinC=sin2A

：?sin25=7,又sinB>0sinB=—,:*B=60°或120°.

42

當B=120。時，cos(/—C)+cosl20。=I，得：cos(/—C)=2>1,不成立.

???只取B=60°.

故B的大小為60。.

(2)把B=60。代入cos(4-C)+cosB=|得：cos(4-0=1,A=C.

由上可知44BC中是等邊三角形，.?.乙4cB=60°,.-.AACD=120°.

設48=3?.24。。的面積5=百，二/(5-1)5譏120。=%，解得：t=l或4.

當t=］時，AD=V12+52-2x1x5cos60°=V21,

當t=4時，AD=V42+52-2x4x5cos600=VH.

故AD的值為

【解析】(1)把cos(A-C)+cosB=5中的cosB化成-cos(A+C),得sirMsinC=7.由

記〃詁得廬=QC,得sim4sinC=siMB.從而求得B的大小.

(2)把B=60。代入cos(4-C)+cosB=|,得A=C,從而得等邊△ABC,設AB=3通

過△4C。的面積S=H，可得r的值，從而求出4。長.

本題考查正余弦定理、三角形面積公式、兩角和與差的三角函數、方程思想、分類討論

第14頁，共18頁

思想，考查數學運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】⑴證明：連接4C,交8。于0,

連接0P,

因為ABC。是菱形，所以AC1BD,0A=0C,

OB=OD,

又因為PA=PC、PB=PD,所以0P_L4C、

OP1BD,

所以04、OB、OP兩兩垂直，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

0A=2-sin600=V3-OP=>JPA2-OA2=巡，

/1(V3,O,0),C(-V3,0,0),B(0,l,0),0(0,-1,0),P(0,0,遍)，叭一號0,手),

府=(一竽,0,乎)，PC=(-V3,0,-V6),

因為PE=PF,所以EF〃BD,于是前=4而=(0,4,0),

因為正?祠=0,所以PC1AM,

因為正?前=0,所以PC_LEF,

又因為AM與EF為平面AMF內兩相交直線，

所以直線PC1平面AMF；

(2)解：由(1)知平面AEMF的法向量為記=配=(一6,0,-V6),

0B=(0,1,0),0M=(-y,O,半)，

設平面MBD的法向量為司=(x,y9z),

(OB-n=y=0

(pyrjTV32V6二令Z=1,H=(272,0,1),

[OM-n=---xz

l3H----3--=0

設平面MQB與平面AEM77所成二面角的大小為6,

必。1=黯=普=冬sin。=A/1-COS^=爭

故平面MDB與平面AEM尸所成二面角的正弦值為由.

3

【解析】(1)只須證明PC垂直于平面AEM尸內相交直線4例和E尸即可；(2)用向量數

量積計算二面角的余弦值，進而求解.

本題考查了直線與平面的值位置關系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意知，”=82,<r=8,

所以P(f>90)=匚，若生儂=上詈=0.16,

故估計該市此次司法考試成績優秀者的人數有20x0.16=3.2萬人.

(2)設抽獎一次獲得手機流量為XG,則P(X=5)=V，P(X=1)=卷，

所以抽獎一次獲得手機流量的期望值為E(X)=5xi+lx^=^=1.4G,

又由于20萬人均參與抽獎，且優秀者抽獎兩次，

所以抽獎總次數為20+3.2=23.2萬次，

故估計此次抽獎活動贈予的手機流量總共有23.2x1.4=32.48(萬G).

【解析】(1)由題意知，〃=82,c=8,再由。&290)=1-0(7[§(9。),得解；

(2)設抽獎一次獲得手機流量為XG,先求出E(X),而抽獎總次數為23.2萬次，再計算

23.2E(X)的值，即可.

本題考查正態分布的性質，數學期望的計算與實際應用，考查邏輯推理能力和運算能力,

屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴函數/⑺的定義域是(0,+8),

Inx4-ax,%>1

由/(%)=I仇+a%=

—Inx+ax,0<%<1

或+a/Nl

Wl人J-11，

1---Fa,0<xV1

Ix

由于a<0,則一｝+a<0,即在區間(0,1)上，/'(%)<0,/(x)遞減,

當一l<a<0時,x,f'(x),f(x)的變化如下：

111

X(1工)(,+8)

aa

f'(x)+0—

f(x)遞增極大值遞減

當aW-l時，:+a=0,即在區間[1,+8)上，/(x)<0,/'(x)遞減，

綜上：當一l<a<0時，/(x)在(0,1)遞減，在區間(1,—》上遞增，在(―1+8)遞減，

當a<一1時，函數f(x)在區間(0,+8)上單調遞減.

(2)結合(1)得當-1<a<0時，函數/'(X)可能存在3個零點，

當一1<a<0時，/(I)=a<0,/(ea)=—ln(ea)+a-ea=a(ea—1