2021全國中考真題分類匯編(函數)

---函數與幾何(2)

1.(2021?四川省眉山市)如圖，直線y=Zx+6與x軸交于點A,與y軸交于點艮直線MN

4

//AB,且與aAOB的外接圓0P相切，與雙曲線y=-毀在第二象限內的圖象交于C、

x

D兩點.

(1)求點A,8的坐標和OP的半徑；

(2)求直線MN所對應的函數表達式;

(3)求ABCN的面積.

2.(2021?四川省南充市)如圖，已知拋物線ynoAbx+d(a#0)與x軸交于點A(1,0)

和B,與)，軸交于點C,對稱軸為直線x=>|.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點P是線段BC上的一個動點(不與點B,C重合)，過點P作y軸的平

行線交拋物線于點Q,連接OQ,當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說

明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是OC的中點，過點。的直線與拋物線交于點E,且

ZDQE=2ZODQ.在y軸上是否存在點F,得ABEF為等腰三角形？若存在，求點F

的坐標；若不存在，請說明理由.

3.（2021?遂寧市）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于1和6（—3,0）兩點，與y軸

交于C（0,-3）,對稱軸為直線％=-1,直線尸一2*+而經過點兒且與y軸交于點〃，

與拋物線交于點E,與對稱軸交于點F.

（1）求拋物線的解析式和r的值；

（2）在y軸上是否存在點。，使得以小￡、P為頂點的三角形與△?（切相似，若存在，求出

點一的坐標；若不存在，試說明理由；

（3）直線尸1上有雙"兩點（"在N的左側），且,W2,若將線段秘V在直線y=l上平

移，當它移動到某一位置時，四邊形,儂W的周長會達到最小，請求出周長的最小值（結果

保留根號）.

4.（2021?四川省自貢市）如圖，拋物線y=（x+D（x-a）（其中。＞1）與x軸交于4、8兩

點，交y軸于點C.

（1）直接寫出NOCA的度數和線段AB的長（用。表示）；

（2）若點。為AABC的外心，且△BC。與△ACO的周長之比為J而：4,求此拋物線

的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線丁=（》+1）（》-。）上是否存在一點「，使得

NC4P=NDBA?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

5.（2021?天津市）己知拋物線y=ox2-2at+c（a,c為常數，。。0）經過點,

頂點為。.

（I）當。=1時，求該拋物線的頂點坐標；

(II)當a>0時，點E(O』+a),若DE=2?)C，求該拋物線的解析式；

(III)當"-1時，點*0,1—。)，過點C作直線/平行于x軸，/(根,0)是x軸上的動

點，N(m+3,—1)是直線/上的動點.當“為何值時，產M+DV的最小值為2碗，并求

此時點M,N的坐標.

6.2021?湖北省恩施州)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形A8C。為正方形，點A,B在

x軸上，拋物線y=/+bx+c經過點8,D(-4,5)兩點，且與直線。C交于另一點￡.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q,F,E,

3為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形.若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明

理由；

(3)。為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連接ME,BP,探究

EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點M的坐標；若不存在，

請說明理由.

備用圖

7.(2021?浙江省金華市)在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-舊，0),點B在直

線/：上，過點B作AB的垂線，過原點。作直線/的垂線，兩垂線相交于點C.

8

(1)如圖，點8,C分別在第三、二象限內，8c與AO相交于點。.

①若84=80,求證：CD=CO.

②若NCBO=45°,求四動形ABOC的面積.

(2)是否存在點B,使得以A,B,C為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求OB

的長；若不存在，請說明理由.

8.(2021?湖北省荊門市)如圖，拋物線y=a?+6x+c交x軸于4(-1,0),/?(3,0)兩

點，交y軸于點C(0,-3),點。為線段BC上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求|。。|+|。川的最小值；

(3)過點Q作PQ〃AC交拋物線的第四象限部分于點P,連接見,PB,記△山。與4

PBQ面積分別為Si,52,設5=5|+52,求點P坐標，使得S最大，并求此最大值.

9.(2021?江蘇省鹽城市)學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時

針旋轉一定的角度a,能得到一個新的點P,經過進一步探究，小明發現，當上述點P

在某函數圖象上運動時.，點P也隨之運動,并且點P的運動軌跡能形成一個新的圖形.

試根據下列各題中所給的定點A的坐標、角度a的大小來解決相關問題.

【初步感知】

如圖1,設A(1,1),a=90°,點P是一次函數圖象上的動點，己知該一次函

數的圖象經過點Pl(-I,1).

(1)點Pi旋轉后，得到的點Pi'的坐標為(1,3):

(2)若點P的運動軌跡經過點尸2,(2,1),求原一次函數的表達式.

【深入感悟】

如圖2,設A(0,0),a=45°,點尸是反比例函數丫=-上(x<0)的圖象上的動點，

x

過點P'作二、四象限角平分線的垂線，垂足為例，求△OMP'的面積.

【靈活運用】

如圖3,設A(1,-V3)>a=60°,點P是二次函數y=L2+2?r+7圖象上的動點，

2

已知點8(2,0)、C(3,0),試探究△BCP的面積是否有最小值？若有，求出該最小

值；若沒有，請說明理由.

10.(2021?重慶市4)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=/+加+。經過A(0,-

1),B(4,1).直線AB交x軸于點C,尸是直線A8下方拋物線上的一個動點.過點P作

PD±AB,垂足為￡>,PE〃x軸，交AB于點E.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)當的周長取得最大值時，求點P的坐標和周長的最大值；

(3)把拋物線y=/+區+。平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點P.M是新拋

物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A,B,M,N為頂點的四

邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來.

11.(2021?重慶市8)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=〃/+以-4(存0)與x軸交

于點A(-1,0),B(4,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點C關于直線/對稱，點P為直線下方拋

物線上一動點，連接以，PD,求△出。面積的最大值.

(3)在(2)的條件下，將拋物線、=加+法-4(存0)沿射線AQ平移4加個單位，得

到新的拋物線》,點E為點P的對應點，點尸為力的對稱軸上任意一點，在力上確定一

點、G,使得以點。,E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G

的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.

備用圖

12.(2021?湖北省十堰市)已知拋物線丁=依2+歷;一5與x軸交于點A(-1,0)和

B(-5,0),與y軸交于點C,頂點為P,點N在拋物線對稱軸上且位于x軸下方，連AN交

拋物線于“，連AC、CM.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當tanNAOM=2時，求M點的橫坐標；

(3)如圖2,過點P作x軸的平行線/,過用作/于若MD=6MN，求N點

的坐標.

13.(2021?湖南省張家界市)如圖，已知二次函數、=。/+。8+。的圖象經過點。(2,—3),

且與x軸交于原點及點3(8,0).

(1)求二次函數的表達式；

(2)求頂點A的坐標及直線AB的表達式；

(3)判斷4180的形狀，試說明理由：

(4)若點P為。。上的動點，且。。的半徑為20,一動點E從點A出發，以每秒

2個單位長度的速度沿線段AP勻速運動到點P,再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB

勻速運動到點B后停止運動，求點E的運動時間，的最小值.

14.(2021?海南省)已知拋物線y=o?+2r+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，

4

且點A的坐標為(-1,0)、點C的坐標為(0,3).

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,若該拋物線的頂點為P,求△PBC的面積；

(3)如圖2,有兩動點￡＞、E在△COB的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們

分別從點C和點B同時出發，點D沿折線COB按C-O-B方向向終點B運動，點E

沿線段BC按8-C方向向終點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止

運動.設運動時間為r秒，請解答下列問題：

①當f為何值時，△8DE的面積等于世；

10

②在點。、E運動過程中，該拋物線上存在點凡使得依次連接A。、DF、FE、EA得到

的四邊形4OFE是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點尸的坐標.

15.（2021?廣西玉林市）已知拋物線：y=?%2-3ox-4a（a>0）與x軸交點為A,B

（A在3的左側），頂點為O.

（1）求點A,8的坐標及拋物線的對稱軸；

3

（2）若直線y=與拋物線交于點”，N,且M，N關于原點對稱，求拋物線的解

析式；

7

（3）如圖，將（2）中拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點以在直線/：y上，

O

設直線/與y軸的交點為0',原拋物線上的點尸平移后的對應點為點Q,若O'P=O'Q,

求點P,。的坐標.

16.（2021?廣西賀州市）如圖，拋物線"/+區+,與X軸交于A、3兩點，且*（T，°）,

對稱軸為直線％=2.

（1）求該拋物線的函數達式：

（2）直線/過點A且在第一象限與拋物線交于點C.當NCAB=45°時，求點。的坐標；

（3）點。在拋物線上與點C關于對稱軸對稱，點P是拋物線上一動點，令尸（號,%）,當

l<xp<a,1W.W5時，求△PCD面積的最大值（可含4表示）.

17.2021?山東省濟寧市)如圖，直線y=-1+3分別交x軸、y軸于點4,B,過點A的

22

拋物線y=-7+bx+c,與x軸的另一交點為C,與y軸交于點0(0,3),拋物線的對稱軸

1交AD于點、E,連接OE交AB于點立

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：OE_LAB；

(3)P為拋物線上的一動點，直線尸。交4。于點M,是否存在這樣的點P,使以A,O,

M為頂點的三角形與△AC。相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

18.（2021?內蒙古包頭市）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-d+4x經過坐標原點,

與x軸正半軸交于點4點是拋物線上一動點.

（1）如圖1,當相>0,〃>0,且〃=3m時，

①求點M的坐標：

②若點在該拋物線上，連接OM,BM,C是線段上一動點（點C與點M,B

不重合），過點C作CD//MO,交x軸于點。，線段0。與MC是否相等？請說明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點K,點在對稱軸上，當機>2,?>0,

且直線EM交x軸的負半軸于點F時，過點A作x軸的垂線，交直線EM于點N,G為y軸

（［8、

上一點，點G的坐標為0,—，連接GF.若EF+NF=2MF,求證:射線FE平分ZAFG.

圖1圖2

19.（2021?齊齊哈爾市）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線^=0￥2+2%+。（。工0）與彳軸交于點4、B,與y軸交

于點C,連接BC,Q4=l,對稱軸為x=2,點。為此拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C,。兩點之間的距離是；

(3)點E是第一象限內拋物線上的動點，連接BE和CE.求ABCE面積的最大值；

(4)點P在拋物線對稱軸上，平面內存在點Q,使以點8、C、P、。為頂點的四邊形為矩

形，請直接寫出點。的坐標.

20.(2021?內蒙古通遼市)如圖，拋物線y=af+灰+3交x軸于A(3,0),8(-1,0)兩

點，交y軸于點C,動點P在拋物線的對稱軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當以P,B,C為頂點的三角形周長最小時，求點尸的坐標及APBC的周長；

(3)若點。是平面直角坐標系內的任意一點，是否存在點。，使得以A,C,P,Q為

頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點。的坐標；若不存在，請

說明理由.

備用圖

21.（2021?黑龍江省龍東地區）如圖，拋物線、=依2+法+3（。工0）與x軸交于點A（l,0）

和點3（—3,0）,與y軸交于點C,連接3C,與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點O.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是對稱軸左側拋物線上的一個動點，點。在射線互>上，若以點尸、Q、E為頂點

的三角形與ABOC相似，請直接寫出點P的坐標.

22.（2021?綏化市）如圖，已知拋物線"辦2+公+55/0）與工軸交于點4（一5,0）,點

3（1,0）,（點A在點8的左邊），與>軸交于點C,點。為拋物線的頂點，連接50.直線

y=%—經過點A,且與y軸交于點E.

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備用題

（1）求拋物線的解析式；

（2）點N是拋物線上的一點，當△8DV是以ON為腰的等腰三角形時，求點N的坐標；

（3）點F為線段AE上的一點，點G為線段OA上的一點，連接FG,并延長FG與線段BD

交于點H（點〃在第一象限）.當NEFG=3N84石且HG=2FG時，求出點尸的坐標.

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