第第10講講中心對稱概述概述適用學科初中數學適用年級初三適用區域人教版區域課時時長（分鐘）120知識點1、兩個圖形關于一個點對稱或中心對稱的性質。2、中心對稱圖形的概念和性質.3、兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y），關于原點的對稱點為P′（-x，-y）及其運用．教學目標1、了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱等概念。2、理解關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；理解關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形；掌握這兩個性質的運用．3、理解P與點P′點關于原點對稱時，它們的橫縱坐標的關系，掌握P（x，y）關于原點的對稱點為P′（-x，-y）的運用．教學重點利用中心對稱、對稱中心、解決問題；中心對稱的兩條基本性質及其運用．兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反及運用．教學難點體會從一般旋轉中導入中心對稱；區別關于中心對稱的兩個圖形和中心對稱圖形；運用中心對稱的知識導出關于原點對稱的點的坐標的性質及其運用它解決實際問題．【教學建議】中心對稱是在學生掌握了軸對稱圖形的概念、性質，并具備了一定旋轉知識的基礎上進行學習的，為經后學習圓的知識奠定了基礎。運用旋轉的方法揭示了中心對稱圖形的實質，實現了對新知的建構。，也為進一步學習幾何知識作必要的知識儲備。【知識導圖】教學過程教學過程一、導入一、導入【教學建議】導入是一節課必備的一個環節，是為了激發學生的學習興趣，幫助學生盡快進入學習狀態。導入的方法很多，僅舉兩種方法：情境導入，比如講一個和本講內容有關的生活現象；溫故知新，在知識體系中，從學生已有知識入手，揭示本節知識與舊知識的關系，幫學生建立知識網絡。提供一個教學設計供講師參考：1、如果將一個圖形繞一點旋轉180度得到一個新的圖形，這樣的兩個圖形是什么關系呢？2、（多媒體演示62頁思考）(1)、把其中一個圖案繞點O旋轉180°,你有什么發現?(2)、線段AC，BD相交于點O，OA=OC，OB=OD．把△OCD繞點O旋轉180°,你有什么發現?OOBCBC二、復習預習二、復習預習如圖，△ABC繞點O旋轉，使點A旋轉到點D處，畫出旋轉后的三角形，并寫出簡要作法．分析：本題已知旋轉后點A的對應點是點D，且旋轉中心也已知，所以關鍵是找出旋轉角和旋轉方向．顯然，逆時針或順時針旋轉都符合要求，一般我們選擇小于180°的旋轉角為宜，故本題選擇的旋轉方向為順時針方向；已知一對對應點和旋轉中心，很容易確定旋轉角．如圖，連結OA、OD，則∠AOD即為旋轉角．接下來根據“任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角”和“對應點到旋轉中心的距離相等”這兩個依據來作圖即可．作法：（1）連結OA、OB、OC、OD；（2）分別以OB、OB為邊作∠BOM=∠CON=∠AOD；（3）分別截取OE=OB，OF=OC；（4）依次連結DE、EF、FD；即：△DEF就是所求作的三角形，如圖所示．三、知識講解三、知識講解考點1考點1中心對稱的概念問題：作出如圖的兩個圖形繞點O旋轉180°的圖案，并回答下列的問題：1．以O為旋轉中心，旋轉180°后兩個圖形是否重合？2．各對稱點繞O旋轉180°后，這三點是否在一條直線上？可以發現，如圖所示的兩個圖案繞O旋轉180°都是重合的，即甲圖與乙圖重合，△OAB與△COD重合．像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．考點2考點2中心對稱的作圖與性質隨便畫一三角形，以三角形一頂點為對稱中心，畫出這個三角形關于這個對稱中心的對稱圖形，并分組討論能得到什么結論．畫一個三角形ABC，分兩種情況作兩個圖形（1）作△ABC一頂點為對稱中心的對稱圖形；（2）作關于一定點O為對稱中心的對稱圖形．第一步，畫出△ABC．第二步，以△ABC的C點（或O點）為中心，旋轉180°畫出△A′B′和△A′B′C′，如圖1和用2所示．(1)(2)從圖1中可以得出△ABC與△A′B′C是全等三角形；分別連接對稱點AA′、BB′、CC′，點O在這些線段上且O平分這些線段．下面，我們就以圖2為例來證明這兩個結論．證明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB≌△A′OB′∴AB=A′B′同理可證：AC=A′C′，BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（2）點A′是點A繞點O旋轉180°后得到的，即線段OA繞點O旋轉180°得到線段OA′，所以點O在線段AA′上，且OA=OA′，即點O是線段AA′的中點．同樣地，點O也在線段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即點O是BB′和CC′的中點．因此，我們就得到1．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分．2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．考點3考點3中心對稱的圖形概念與性質作圖．（1）作出線段AO關于O點的對稱圖形，如圖所示．（2）作出三角形AOB關于O點的對稱圖形，如圖所示．（3）延長AO使OC=AO，延長BO使OD=BO，連結CD，則△COD為所求的，如圖所示．則△COD為所求的，如圖所示．二、探索從另一個角度看，上面的（1）題就是將線段AB繞它的中點旋轉180°，因為OA=OB，所以，就是線段AB繞它的中點旋轉180°后與它重合．上面的（2）題，連結AD、BC，則剛才的兩個關于中心對稱的兩個圖形，就成平行四邊形，如圖所示．∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD∴AB=CD也就是，ABCD繞它的兩條對角線交點O旋轉180°后與它本身重合．因此，像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．線段、平行四邊形都是中心對稱圖形外，舉出一些圖形，它們也是中心對稱圖形．中心對稱圖形具有什么特點？------中心對稱圖形具有勻稱美觀、平穩．考點4考點4關于原點對稱的點的坐標【教學建議】可以通過問題串的形式，由特殊到一般，學生通過找特殊點的對稱點，找到對稱點和對稱中心的關系（位置關系和數量關系），然后再探索一般的對稱點是否有這些性質。如圖23-74，在直角坐標系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F點關于原點O的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答：這些坐標與已知點的坐標有什么關系？畫法：（1）連結AO并延長AO（2）在射線AO上截取OA′=OA（3）過A作AD′⊥x軸于D′點，過A′作A′D″⊥x軸于點D″．∵△AD′O與△A′D″O全等∴AD′=A′D″，OA=OA′∴A′（3，-1）同理可得B、C、D、E、F這些點關于原點的中心對稱點的坐標．討論：關于原點作中心對稱時，①它們的橫坐標與橫坐標絕對值什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對值又有什么關系？②坐標與坐標之間符號又有什么特點？從上可知，橫坐標與橫坐標的絕對值相等，縱坐標與縱坐標的絕對值相等．（2）坐標符號相反，即設P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-y）．兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-y）．三、例題三、例題精析類型一中心對稱的概念例題1例題1如圖，已知△ABC和點O，畫出△DEF，使△DEF和△ABC關于點O成中心對稱．類型二中心對稱的作圖與性質例題2例題2如圖等邊△ABC內有一點O，試說明：OA+OB>OC．類型三中心對稱的圖形概念與性質例題3例題3如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點和A點重合，求折痕EF的長．類型四關于原點對稱的點的坐標例題4例題4（2018?成都）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣5）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）四、課堂運用四、課堂運用基礎基礎1.（2018?德州）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2.（2016秋?廈門期末）已知△ABC和△DEF關于點O對稱，相應的對稱點如圖所示，則下列結論正確的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．點A關于點O的對稱點是點D D．點D在BO的延長線上3.（2017?大慶）若點M（3，a﹣2），N（b，a）關于原點對稱，則a+b=．4.如圖，已知AD是△ABC的中線，畫出以點D為對稱中心，與△ABD成中心對稱的三角形．鞏固鞏固1.（2017秋?利川市期末）已知點M在第一象限，若點N與點M關于原點O對稱，則點N在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.（2017?河北）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來7個小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，這個位置是（）A．① B．② C．③ D．④3.（2017?樂山）如圖，直線a、b垂直相交于點O，曲線C關于點O成中心對稱，點A的對稱點是點A'，AB⊥a于點B，A'D⊥b于點D．若OB=3，OD=2，則陰影部分的面積之和為6．拔高拔高1.如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D（5，3）在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉90°，則旋轉后點D的對應點D′的坐標是（）A.(2,10)B.(-2,0)C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2）或（-2，0）2.在直角坐標系中，已知點A（3，2）．作點A關于y軸的對稱點為A1，作點A1關于原點的對稱點為A2，作點A2關于x軸的對稱點為A3，作點A3關于y軸的對稱點為A4，…按此規律，則點A8的坐標為．3.（2018?濰坊）在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系叫做極坐標系．如圖，在平面上取定一點O稱為極點；從點O出發引一條射線Ox稱為極軸；線段OP的長度稱為極徑．點P的極坐標就可以用線段OP的長度以及從Ox轉動到OP的角度（規定逆時針方向轉動角度為正）來確定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，則點P關于點O成中心對稱的點Q的極坐標表示不正確的是（）A．Q（3，240°）B．Q（3，﹣120°） C．Q（3，600°） D．Q（3，﹣500°）五、課堂小結五、課堂小結本節課我們學習了哪些內容呢？1.兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱；2．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．3.中心對稱圖形的概念;對稱中心的概念及其它們的運用．4.兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y），關于原點的對稱點為P′（-x，-y）及其運用．

六、課后作業六、課后作業基礎基礎1.在圓、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形等圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是__________.2.（2018?鹽城）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3.如圖，已知△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱圖形，則下列判斷不正確的是（）A．∠ABC=∠A′B′C′ B．∠BOC=∠B′A′C′ C．AB=A′B′ D．OA=OA′4.（2017?嘉祥縣模擬）將點P（﹣2，3）向右平移3個單位得到點P1，點P2與點P1關于原點對稱，則P2的坐標是．鞏固鞏固1.（2018?遵義模擬）已知點A（a，2015）與點A'（﹣2104，b）是關于原點O的對稱點，則a+b的值為（）A．1 B．﹣1 C．6 D．42.如圖，△DEC是由△ABC經過了如下的幾何變換而得到的：①以AC所在直線為對稱軸作軸對稱，再以C為旋轉中心，順時針旋轉90°；②以C為旋轉中心，順時針旋轉90°得△A′B′C′，再以A′C′所在直線為對稱軸作軸對稱；③將△ABC向下向左各平移1個單位，再以AC的中點為中心作中心對稱，其中正確的變換有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①