§6小波變換的應用簡介

小波在信號消噪中的應用小波分析與信號的奇異性檢測

小波變換在圖像處理中的應用

小波變換在電力系統諧波檢測中的應用

小波在信號消噪中的應用降噪實例降噪原理閾值的確定硬閾值和軟閾值去噪降噪原理

在小波分析中，應用最廣泛的無疑是信號處理和圖像處理，而在這兩個領域中，應用最多的就是信號(圖像)的降噪和壓縮。由于在正交小波中，正交基的選取璧傳統方法更接近實際信號本身，所以通過小波變換可以更容易地奮力出噪聲或其他我們不需要的信息，因此在這類應用中小波分析有著傳統方法無可比擬的優勢。降噪和壓縮這兩種應用有一個共同點在于他們都是盡量把無用的信息從原始信號中剔除，所以Matlab提供了一條通用的命令wdencmp，同時處理降噪和壓縮。降噪準則

光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號應該至少和原信號具有同等的光滑性；相似性：降噪后的信號和原信號的方差估計應該是最壞情況下的方差最小；(MinmaxEstimator)降噪過程小波分析用于降噪的過程，可細分為如下幾段：

(1)分解過程：選定一種小波，對信號進行N層小波

(小波包)分解；

(2)作用閾值過程：對分解得到的各層系數選擇一個閾值，并對細節系數作用軟閾值處理；

(3)重建過程：對處理后的系數通過小波(小波包)重建恢復原始信號。降噪原理

基本降噪模型假設一個信號被噪聲污染后為

，那么基本的噪聲模型就可以表示為：

其中

為噪聲，

為噪聲強度。在最簡單的情況下可以假設為高斯白噪聲，且

小波變換的目的就是通過抑制降噪原理

種方法的效率很高。這種可以分解為稀疏小波系數的函數的一個簡單例子就是有少數間斷點的光滑函數。

的分解系數比較稀疏(非零項很少)的情況下，這閾值的確定

從原始信號確定各級閾值

在小波分析用于降噪的過程中，和信號的步驟就是在系數上作用閾值。因為閾值的選取直接影響降噪的質量，所以人們提出了各種理論和經驗的模型。但沒有一種模型時通用的，他們都有自己的使用范圍。中的來表示，從中提取的方法有很多種，在假定噪聲為白噪聲的情況下(噪聲數學期望為0)，一般是用原信號的小波分解的各層系數的標準差來衡量。小波變換中，對各層系數降噪所需的閾值一般是根據原信號的信號噪聲比來取得，從理論模型里這個量用式(1)在得到信號的噪聲強度以后，我們就可以根據噪聲強度

來確定各層的閾值，對噪聲強度為

的白噪聲，閾值的確定主要有以下幾個數學模型：

其中n為信號的長度，在ddencmp命令中，若使用其降噪功能，求得的閾值就是用這個規則確定的。

缺省的閾值確定模型，閾值由如下的公式給出閾值的確定

Birge-Massart策略所確定的閾值，閾值通過如下的規則求得：

(1)給定一個指定的分解層數j，對j+1以及更高層所有系數保留；式中M和為經驗系數。降噪情況下取(2)對第i層(1≤i≤j)，保留絕對值最大的ni個系數，ni由下式確定：缺省情況下取，也就是第一層分解后系數的長度。一般情況下，滿足的取值因用途不同而不同，閾值的確定

壓縮情況下一般取令t*為使得函數從原始信號確定閾值的函數有ddencmp，wbmpen，wdcbm和wdcbm2，其中自動降噪的命令wdencmp在用于信號的時候采用的是默認的閾值。

小波包變換中的penalty閾值，閾值由下式給出：取得最小值的為小波包分解系數排序后第大的系數。為系數的總數，那么閾值式中的

為信號的噪聲強度，

為經驗系數，

必須為大于1的實數，隨著

的增大，降噪后信號的小波系數系數會變稀疏，重建后的信號也會變的更加光滑。

的典型值為2。閾值的確定

例1：利用sym6小波對信號noisbump做5層分解。并使用用penalty閾值降噪方法、Birge-Massart閾值降噪方法以及缺省閾值降噪方法對信號進行降噪。其結果見圖6-1。使用penalty策略確定降噪的閾值

thr1=2.7681使用Birge-Massart策略確定降噪的閾值

thr2=3.13122.61694.04439.59607.0858nkeep=123511使用缺省閾值確定閾值并用硬閾值對系數進行處理thr=3.7856sorh=skeepapp=1

閾值的確定

幾種閾值降噪方法在降噪中的使用圖6-1閾值的確定

基于樣本估計的閾值選擇通過例1可以看到，除了Birge-Massart策略確定的閾值外，其余方法的到的降噪信號太過于光滑，失去了原信號本身的一些信息，這在以前講述的降噪準則中，不符合相似性原則，保留相似性的方法有很多，在數學上有一個常用的標準就是在最壞情況下方差最小的約束下的樣本估計。除了前面講的通過舍去部分系數以外，還有一種方法就是信號作無偏似然估計，然后根據最壞情況下降噪信號與原信號方差最小的原則確定一個統一的閾值，然后截去超過這個閾值的系數。閾值的確定

最小極大方差閾值(minimaxi)：使得選取的閾值產生最小的極大方差。通過統計學上估計其的構造方法得到。因為降噪后的信號可以看成與未知回歸函數的估計式相似，所以這種方法通過求得未知回歸函數與原信號在最壞情況下的最小值來獲得閾值。得到閾值；

系數長度對數閾值(sqtwolong)：從得到最小極大方差的閾值t乘以一個啟發式sure閾值(heursure)：前兩種方式的綜合形式，因為基于sure

產生的閾值在高信號噪聲比的情況下抑制噪聲的效果不明顯，這種方法利用啟發函數自動在前兩種閾值選擇中選取一個；閾值的確定

基于stein無偏似然估計(sure)的軟閾值估計(rigsure)。對于給定的閾值t，得到它的似然估計，然后將似然函數最小化，得到所需要的閾值；各種閾值的選取

閾值的確定

例2：產生一個長度為1000的隨機信號y，y的SURE閾值為thr=2.7316；y的對數長度閾值為thr=3.7169y的啟發式SURE閾值為thr=3.7169y的minimaxi閾值為thr=2.2163硬閾值和軟閾值去噪硬閾值和軟閾值在求得閾值以后，有兩種在信號上作用閾值的方法，一種是令絕對值小于閾值的信號點的值為零，成為硬閾值，這種方法的缺點是在某些點會產生間斷。另一種軟閾值方法是在硬閾值的基礎上將邊界處向不連續點收縮到零。這樣可以可以有效的避免間斷，使得重建信號比較光滑。例3：對于定義在[-1,1]上的直線，定義閾值為0.4，分別作用硬閾值和軟閾值，結果如圖6-2所示圖6-2硬閾值和軟閾值的圖形表示硬閾值和軟閾值去噪降噪實例

Matlab中用于降噪的函數自動對信號進行降噪，包括wden，wdencmp對閾值進行處理的命令，包括thselect,wthrmngr根據信號噪聲強度求得閾值，包括ddencmp，wbpen，wdcmb直接對分解系數作用閾值的命令，包括wpthcoef，wthcoef，

wthresh估計噪聲的命令，包括wnoisest生成噪聲的命令，包括wnoise例4：降噪后的ca信號在原信號的能量成分per1=0.9302；降噪后的x2信號在原信號的能量成分per2=0.9387；將ca作為降噪信號，其與原信號的標準差err1=48.8734；將x2作為降噪信號，其與原信號的標準差err2=32.4658。

在一個光滑的信號上加入一個高斯白噪聲，使用db4小波對其作5層分解，觀察信號在時間-頻率域上的成分。再通過作用閾值抑制噪聲信號，重建信號達到降噪的目的。在小波分解過程中，每次分解得到的系數比以前更光滑，舍去的細節信息就存在各層近似系數中。一個簡單的思想就是重建第i層近似系數達到降噪的目的。此例中取第5層近似信號ca作為降噪后的信號。但為了保持原信息的相對完整可以有選擇地抑制各層的細節系數，通過抑制后的系數重建信號x2作為降噪信號，達到降噪的目的。見圖6-3。降噪實例

通過抑制細節系數實現降噪例4：通過抑制細節系數實現降噪圖6-3降噪實例

由此例可看出，使用單純抑制細節系數的方式(因為求重建近似信號等于將所有細節的系數抑制到0)，確實可以實現消除信號噪聲的目的，但這種方式過于粗略，因為這樣做沒有利用到噪聲本身的信息，沒有通過噪聲本身來確定降噪的方法，所以作為衡量相似性的標準差仍然很大，而且降噪后的信號損失了很多原信號的能量成分(6%左右)，這就說明在降噪的過程中，不光抑制了噪聲，也抑制了很多有用的信息成分。在小波域中的細節系數若映射到Fourier分析中的頻域，則代表高頻系數，如果只對高頻系數進新抑制，同樣可以達到降噪的效果。降噪實例

通過FFT實現信號降噪的具體流程如下：這個過程其實相當于對原信號在一定范圍內作濾波，還原到時域相當于對信號進行卷積運算。(1)對原始信號進行Fourier變換，求出其頻譜。(2)根據頻譜，對比我們所關心的頻譜成分，對不需要的頻譜成分進行抑制。(3)對變換后的頻譜作Fourier逆變換，得到降噪后的信號。其中

為頻域中的濾波器，用以抑制噪聲信號的頻譜。

降噪實例

，降噪后的信號為，其Fourier設原始信號為。那么這個過程就可以表示為：變換形式分別為例5：

對信號noisdopp作Fourier變換，畫出其頻譜圖，結果見圖6-4。由圖可見，信號的能量主要集中在低頻部分，在20Hz以后迅速衰減到零，50Hz以后幾乎就沒有能量了。降噪實例

通過FFT實現信號降噪從而可以做一個簡單的低通濾波。使用寬度分別為10、30和50的濾波器對頻譜進行濾波，抑制頻譜直接令其為零，然后對經過濾波的頻譜做Fourier變換，得到相應的降噪信號xd1、xd2與xd3，其圖形見圖6-5。

例5：通過FFT實現信號降噪圖6-4降噪實例

例5：通過FFT實現信號降噪圖6-5降噪實例

例5：通過FFT實現信號降噪降噪信號xd1、xd2與xd3的能量比例分別為：per1=norm(xd1)/norm(x)=0.8710per2=norm(xd2)/norm(x)=0.9390per3=norm(xd3)/norm(x)=0.9542各個降噪信號與原信號的標準差分別為：err1=norm(xd1-x)=62.6615err2=norm(xd2-x)=43.3881err3=norm(xd3-x)=36.8576

在這個例子中，信號noisdopp的初始發展階段的振蕩頻率很高，我們認為是系統自身的特性，但對于低通濾波器，這些成分被過濾掉了。所以單純對頻域的濾波有“一刀切”的缺陷，也就是把帶通之外的頻譜不加區分的濾掉。降噪實例

比較例4與例5可以看出，Fourier變換只能在頻域范圍內表述，那么對系數進行處理的方法也相對單一，而小波分解之后可以在各個層次選擇閾值，對噪聲成分進行抑制，手段更加靈活。還有一點值得注意的是，使用小波變換進行噪聲抑制時，降噪結果的能量比(93.87%)雖然沒有使用FFT濾波器的結果(95.42%)高，但是保持了更高的與原信號的相似程度。這一點從降噪信號與原信號的標準差可以看出。小波變換中，對細節系數進行抑制后的濾波結果與原信號的標準差為32.4685，比FFT的結果36.8576還小。而且這種整體縮減抑制細節系數的方法還不是最好的降噪方法。這個例子很客觀地說明了多分辨分析在做變換的時對時間和頻率的兼顧，以及它同傳統頻域方法無可比擬的優勢。降噪實例

以上兩例討論了在小波域和頻域對信號進行抑制的方法，并將兩種方法得到的降噪結果進行了比較。但是嚴格地講，這些都不能很好的符合降噪的兩個基本要求——光滑性和相似性。閾值控制的方法在理論上指出了一種在小波域對系數進行操作，使得降噪信號最大程度滿足這兩個要求的方法，就是所謂的“小波收縮”的方法，其原理就是根據方差最小的原則通過對系數的無偏似然估計確定閾值的方法，這也是Matlab小波工具箱中用于信號降噪的缺省方法。降噪實例

例6：

仍以信號noisdopp為例，利用基于stein無偏似然估計的方法，通過工具箱中自動獲取對信號進行降噪的命令wdencmp來進一步說明小波變換在信號降噪中的應用，其中閾值的選取可通過兩種方式：全局閾值和分層閾值。為了便于和以前的例子對比，這次選擇與db4相似，且對稱性更好的sym4小波對信號作4層分解。降噪實例

Matlab缺省的降噪命令原信號和降噪后的信號的圖形見圖6-6。例6：Matlab缺省的降噪命令圖6-6降噪實例

例6：Matlab缺省的降噪命令

由此可見，全局閾值和分層閾值方法降噪后的信號都很好的保留了信號發展初期的高頻特性，且性能參數由于以前的抑制細節系數的策略和FFT方法。在這兩者之間，分層閾值雖然損失了部分的性能（與原信號的相似性），但比全局閾值的結果光滑很多。而且信號發展初期的高頻系數幾乎不受影響，最大限度地反映了原信號本身的特性。降噪信號的能量成分以及其與原信號的標準差分別為：全局閾值降噪后信號的能量成分per1=0.9774分層閾值降噪后信號的能量成分per2=0.9645全局閾值降噪后信號與原信號的標準差err1=28.0714分層閾值降噪后信號與原信號的標準差err2=31.0548降噪實例

例7：

由此可見，全局閾值和分層閾值方法降噪后的信號都很好的保留了信號發展初期的高頻特性，且性能參數優于以前的抑制細節系數的策略和FFT方法。在這兩者之間，同全局閾值相比，分層閾值在保留同樣能量成分的情況下，有著更好的相似性。從直觀上解釋，是由于區分了不同方向的閾值后，可以更精確地刻畫各個方向上的噪聲分布情況，所以可以獲得更好的相似性。

利用sym4小波對二維信號woman作4層分解，使用全局閾值和分層閾值降噪方法對原信號降噪結果見圖6-7。并求得降噪后信號的能量成分與標準差：全局閾值降噪后信號的能量成分per1=0.9996分層閾值降噪后信號的能量成分per2=0.9996全局閾值降噪后信號與原信號的標準差err1=1.4415e+003分層閾值降噪后信號與原信號的標準差err2=1.3679e+003降噪實例

二維信號的小波降噪例7：二維信號的小波降噪圖6-7降噪實例

小波分析與信號的奇異性檢測

Lipschitz指數與正則性基于小波變換的奇異信號的檢測小波分析與信號的奇異性檢測奇異點在信號和圖象處理中稱為邊緣點或突變點，它包含了信號的重要特征。如在電力信號檢測中，信號的奇異點往往包含了重要的事故信息，因此對奇異點的檢測在故障分析中具有重要的意義。函數（信號）在某點處間斷或某階導數不連續，稱函數在該點處有奇異性，該點稱為奇異點。通常情況下，信號奇異性分為兩種情況：一種是信號在某一個時刻內，其幅值發生突變，引起信號的非連續，幅值的突變處是第一種類型的間斷點；另一種是信號外觀上很光滑，幅值沒有突變，但是信號的一階微分有突變產生，且一階微分是不連續的，稱為第二種類型的間斷點。利用小波變換具有時頻局部化的性能，可以對函數(信號)的奇異性進行分析，并確定奇異點的位置與奇異性的大小。小波分析與信號的奇異性檢測定義

設函數

在點滿足其中為充分小量，

為某常數，為n次多項式。稱在點具有Lipschitz指數若對任意的

，函數都有Lipschitz指數

，其中常數無關，則稱

在區間上具有一致Lipschitz指數小波分析與信號的奇異性檢測函數在某點的Lipschitz指數刻畫了函數在該點的正則性：

Lipschitz指數越大,函數越光滑，奇異性越小；反之，該點的奇異性越大，該點的光滑度就越小。

如果函數在某點的Lipschitz指數小于1,則稱函數在該點是奇異的。

如果函數在某點n次可微，但其n階導數不連續，則函數在該點的Lipschitz指數滿足

函數在一點連續、可微或函數在該點可導，而導數有界但不連續，則在該點的Lipschitz指數為1。

函數在一點不連續但有界,則函數在該點的Lipschitz指數為0。

小波分析與信號的奇異性檢測定義:一個光滑函數可以看成是低通濾波器的沖激響應，的卷積型小波變換為

定義函數

其中

為光滑函數，即它滿足稱一個實函數是光滑函數小波函數的一階導數，即設小波分析與信號的奇異性檢測小波變換光滑之后的一階導數成變量的局部模極值點正比。對一個固定的尺度的拐點，即對應著的突變點。而點的值取決于的鄰域內的特性和尺度的大小，的大小隨尺度的變化發生有規律的變化，且規律與該點的奇異性密切相關。也對應信號的突變點。所以，如果選擇小波為光滑函數的一階導數，則由小波波為光滑函數的二階導數時，信號小波變換模的過零點，的突變點；如果選擇小變換的模極值點可以檢測到信號小波分析與信號的奇異性檢測定理：

設在區間上具有一致Lipschitz，當且僅當存在常數，對任意

有：指數注：

如果小波函數

具有n階消失矩，則上述定理對于

的任何非整的李氏指數仍然成立，但對于整數的李氏指數不一定成立。小波分析與信號的奇異性檢測上式給出小波變換值或對數值隨尺度

和Lipschitz指數

的變化規律：當時,小波變換的極大值將隨尺度的增大而減小；特別地，當時，則有當時,小波變換的極大值將隨尺度的增大而增大；時，小波變換的極大值不隨尺度的變化而變化。當小波分析與信號的奇異性檢測基于小波變換的奇異信號的檢測

電力信號一般是儀器工作的電壓或者電流

，頻率為50Hz，奇異性分析有兩種最基本情況：一種是信號在某一時刻內，其幅值發生突變，引起信號的不連續，信號的幅值突變點是第一種類型的間斷點。另一種是信號的外觀上很光滑，幅值沒有突變，但是信號的一階微分有突變產生，稱此為第二種類型的間斷點。小波分析與信號的奇異性檢測例1.間斷點是指在正常信號情況下的信號突變。在動態系統中,信號突變是非常快的。信號突變的主要特征是信號在時間和空間上存在著局部的變化。根據信號變化的速度快慢,選擇合適的分解尺度,小波分析良好的局部分析功能就能充分發揮,從而方便地解決信號突變點檢測的問題。信號突變點的檢測內容包括:突變點的時機、突變點的類型和振幅的改變。以某工作系統的測試信號為例,其正常工作的信號為一定頻率的的蠕變信號,當系統出現故障時,其信號的頻率發生了變化,如圖6-8中的信號s所示。第一類間斷點的檢測小波分析與信號的奇異性檢測該信號的不連續性是由于低頻特征的信號在后半部分中突然有中高頻特征的信號加入。以下通過采用db3小波變換來分析來檢測信號幅值變化的準確時間，即間斷點的準確位置，從而將中高頻特征的信號的加入時間點檢測出來。從圖1小波分解的第一層系數d1中可以明顯低看出在t=500開始直到t=1000的時間內，系統工作出現了異常情況。顯然，小波變換通過其局部識別特性將故障的間斷點正確的診斷出來。小波分析與信號的奇異性檢測圖6-8工作系統信號的多尺度小波變換

小波分析與信號的奇異性檢測對比通過傳統的傅里葉分析對信號進行處理的情況。由于Fourier變換將信號變換成純頻域中的信號，使它不具有時間分辨的能力，故對信號在時域中的突變點根本無法檢測出來。如圖6-9所示，通過與小波多尺度變化的比較可以明確的說明小波分析比傳統的傅里葉分析有更大的優越性。如果這種信號用傅里葉分析進行分析，顯然是無法檢測出信號的頻率變化點的,而在小波分析中，這種突變點的特征則表現得相當明顯。

小波分析與信號的奇異性檢測圖6-9工作系統信號的傅立葉變換小波分析與信號的奇異性檢測例2.此類間斷點表面看起來很光滑，但是其一階導數存在突變，

通過小波變換可以對信號的奇異點進行有效的識別。假定給定的信號是由兩個獨立的滿足指數方程的信號連接起來的，從圖6-10中可以看出，此信號在外觀上是很光滑的曲線，

但是該信號具有一階微分且突變，如圖6-11所示。第二類間斷點的檢測小波分析與信號的奇異性檢測圖6-10兩個獨立的滿足指數方程的連續信號小波分析與信號的奇異性檢測圖6-11原始信號的一階微分小波分析與信號的奇異性檢測通過db1小波6尺度的變換，可以看到，改信號的一階微分在時間T=100點處，有明顯的不連續。將該信號進行小波分解后，第一層的高頻部分d1將信號的不連續點顯示得相當明顯，這個斷裂點在信號的中部發生，在其他地方可以忽略。從圖6-12可以看出，利用小波分析進行信號的不連續的定位是非常精確的。象這種間斷點的定位，一般來說，是在小波分解的第一層和第二層高頻部分進行判斷的。小波分析與信號的奇異性檢測圖6-12原始信號的多尺度小波變換(db1小波)小波分析與信號的奇異性檢測需要注意的是，在選擇小波的時，正則性是一條很重要的規則。上面的小波變換選用的是Db1小波，這種小波正則性很好，如果選擇Db4小波，會發現在T=100處，高頻部分的值幾乎為0，檢測不出信號的不連續點，見圖6-13。為了檢測出信號的奇異點，所選擇的小波必須很正則，這時的小波可實現一個更長的沖擊響應濾波器。小波分析與信號的奇異性檢測圖6-13原始信號的多尺度小波變換(db4小波)小波分析與信號的奇異性檢測在電力信號奇異性檢測中，信號奇異點包含了重要的信息，小波變換可精確的檢測信號的奇異點，這對調整儀器的工作狀態以及預防事故的發生具有重要作用。需要注意的是：在選擇不同的小波分析電能質量信號奇異性時，所達到的效果也不一樣。因此，選擇合適的小波非常重要。

小波變換在圖像處理中的應用邊緣檢測圖像壓縮圖像增強圖像融合圖像平滑小波變換用于圖像壓縮利用小波變換的局部壓縮圖像

遙感測控圖像：要求在整幅圖像有很高壓縮比的同時，對熱點部分的圖像要有較高的分辨率。醫療圖像：需要對某個局部的細節部分有很高的分辨率。基于離散余弦變換的圖像壓縮算法可以達到這樣的壓縮效果，但該方法在處理過程中并不能提供時域的信息，在比較關心時域特性的時候顯得無能為力。在此方面，小波分析的就優越的多，由于小波分析固有的時頻特性，可以在時頻兩個方向對系數進行處理，這樣就可以對感興趣的部分提供不同的壓縮精度。小波變換用于圖像壓縮例1：從圖6-14可以看出，小波域的系數表示的是原圖像各頻率段的細節信息，并且提供了一種位移相關的信息表述方式，可通過對局部細節系數處理來達到局部壓縮的效果。從壓縮圖像中可很明顯地看出只有中間部分變得模糊(如原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨)，而其他部分的細節信息仍然可以分辨的很清楚。

使用sym4小波對信號wbarb進行一層小波分解。通過將三個