學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年福建省廈門市高二（上)期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．不等式x2﹣4x+3＜0的解集為（）A．（1,3) B．（﹣3,﹣1） C．(﹣∞，﹣3）∪(﹣1,+∞） D．(﹣∞，1）∪（3，+∞）2．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列，若a3=﹣3,a4=6,則a6=（）A．﹣24 B．12 C．18 D．243．已知a＞b，c∈R，則（）A．＜ B．|a|＞|b| C．a(chǎn)3＞b3 D．a(chǎn)c＞bc4．向量=（2﹣x，﹣1,y），=（﹣1，x，﹣1）．若∥,則x+y=()A．﹣2 B．0 C．1 D．25．p：m＞﹣3,q：方程+=1表示的曲線是橢圓,則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．雙曲線C:﹣=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點(diǎn)P滿足｜PF2｜=7,則△F1PF2的周長等于（)A．16 B．18 C．30 D．18或307．4支水筆與5支鉛筆的價格之和不小于22元,6支水筆與3支鉛筆的價格之和不大于24元，則1支水筆與1支鉛筆的價格的差的最大值是（)A．0。5元 B．1元 C．4.4元 D．8元8．在△ABC中,角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a：b：c=4：5:6,則=(）A． B． C．1 D．9．p：?x0∈R，x+m≤0，q：?x∈R，x2+mx+1＞0，如果p，q都是命題且（￢p)∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(）A．m≤﹣2 B．﹣2≤m≤0 C．0≤m≤2 D．m≥210．如圖，在平行六面體A1C中，AD=AB=AA1=4,∠A1AB=60°，∠BAD=90°，∠A1AD=120°,cos∠A1AC=（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．11．等差數(shù)列｛an}的首項(xiàng)為a，公差為1，數(shù)列｛bn｝滿足bn=．若對任意n∈N*，bn≤b6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣8,﹣6） B．（﹣7，﹣6） C．（﹣6，﹣5） D．（6，7)12．橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F,P為橢圓C上的一點(diǎn)，且位于第一象限，直線PO，PF分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)．若△POF為正三角形，則直線MN的斜率等于（）A．﹣1 B．﹣ C．2﹣ D．2﹣二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分)13．命題“若m2+n2=0,則mn=0”的逆否命題是．14．1934年，來自東印度(今孟加拉國）的學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”，其數(shù)字排列規(guī)律與等差數(shù)列有關(guān),如圖,則“正方形篩子”中,位于第8行第7列的數(shù)是．15．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：﹣=1（b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2=2px（p＞0)交于點(diǎn)O，A，B．若△OAB的垂心為拋物線C2的焦點(diǎn)，則b=．16．在△ABC中，∠A的角平分線交BC于點(diǎn)D，且AD=1，邊BC上的高AH=，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍,則BC=．三、解答題(本大題共有6小題，共70分）17．(10分）在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b，c，且2cosA?(acosB+bcosA）=c．（Ⅰ)求A的大小;（Ⅱ）若△ABC的面積S=10,a=7，求△ABC的周長．18．（12分）設(shè)數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an﹣2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列{bn﹣an｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和Tn．19．(12分）如圖,四棱錐P﹣ABCD中，O為AD的中點(diǎn),AD∥BC，CD⊥平面PAD，PA=PD=5．（Ⅰ）求證:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ）若AD=8，BC=4，CD=3,求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．20．（12分）拋物線E:y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，過點(diǎn)H(3，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，其中點(diǎn)A，C在x軸上方．（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)，求△ABC的面積；（Ⅱ)若p=2,直線BC過點(diǎn)F，求直線CD的方程．21．（12分）如圖，兩個工廠A，B相距8(單位:百米），O為AB的中點(diǎn)，曲線段MN上任意一點(diǎn)P到A,B的距離之和為10（單位：百米），且MA⊥AB，NB⊥AB．現(xiàn)計劃在P處建一公寓，需考慮工廠A，B對它的噪音影響．工廠A對公寓的“噪音度”與距離AP成反比，比例系數(shù)為1;工廠B對公寓的“噪音度"與距離BP成反比，比例系數(shù)為k．“總噪音度”y是兩個工廠對公寓的“噪音度”之和．經(jīng)測算：當(dāng)P在曲線段MN的中點(diǎn)時，“總噪音度"y恰好為1．（Ⅰ）設(shè)AP=x（單位：百米），求“總噪音度"y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出該函數(shù)的定義域；（Ⅱ)當(dāng)AP為何值時，“總噪音度"y最小．22．（12分)點(diǎn)P是圓O:x2+y2=4上一點(diǎn)，P在y軸上的射影為Q，點(diǎn)G是線段PQ的中點(diǎn),當(dāng)P在圓上運(yùn)動時,點(diǎn)G的軌跡為C．(Ⅰ）求軌跡C的方程；（Ⅱ)動直線l與圓O交于M，N兩點(diǎn),與曲線C交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)鈍角△OMN的面積為時，∠EOF的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是,說明理由．

2016—2017學(xué)年福建省廈門市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分)1．不等式x2﹣4x+3＜0的解集為（）A．（1，3) B．（﹣3，﹣1） C．（﹣∞,﹣3）∪(﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化為（x﹣1）（x﹣3）＜0,求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣4x+3＜0可化為（x﹣1)(x﹣3)＜0，解得1＜x＜3,∴不等式的解集為（1，3）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2．?dāng)?shù)列｛an｝為等比數(shù)列，若a3=﹣3，a4=6，則a6=（）A．﹣24 B．12 C．18 D．24【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解:設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，∵a3=﹣3，a4=6，∴q==﹣2，則a6==6×（﹣2）2=24．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題．3．已知a＞b,c∈R，則（）A．＜ B．｜a｜＞｜b| C．a(chǎn)3＞b3 D．a(chǎn)c＞bc【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】利用函數(shù)f（x）=x3在R單調(diào)遞增，可知：C正確．再利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出A,B，D不正確．【解答】解:利用函數(shù)f（x)=x3在R單調(diào)遞增，可知:C正確．a(chǎn)＞0＞b時，A不正確；取a=﹣1，b=﹣2，B不正確．取對于c≤0時,D不正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題．4．向量=（2﹣x，﹣1，y），=（﹣1，x，﹣1)．若∥，則x+y=（)A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考點(diǎn)】共線向量與共面向量．【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵向量=(2﹣x，﹣1，y），=（﹣1，x，﹣1）,∥，∴，解得x=1,y=1，∴x+y=2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查兩數(shù)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量平行的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5．p：m＞﹣3，q：方程+=1表示的曲線是橢圓,則p是q的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出方程+=1表示的曲線是橢圓充要條件，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：若方程+=1表示的曲線是橢圓，則，解得：m＞1，故q：m＞1，則p是q的必要不充分條件,故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了集合的包含關(guān)系,考查橢圓的定義，是一道基礎(chǔ)題．6．雙曲線C:﹣=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若雙曲線上一點(diǎn)P滿足|PF2｜=7,則△F1PF2的周長等于()A．16 B．18 C．30 D．18或30【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的a=3,c=5，運(yùn)用雙曲線的定義,可得｜|PF1|﹣｜PF2|｜=2a，解方程得｜PF1|=13,即可得到△F1PF2的周長．【解答】解：雙曲線C：﹣=1的a=3,c=5由雙曲線的定義可得:｜|PF1｜﹣｜PF2|｜=2a=6，即有||PF1|﹣7｜=6，解得|PF1｜=13（1舍去）．∴△F1PF2的周長等于7+13+10=30．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義和方程，注意定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題．7．4支水筆與5支鉛筆的價格之和不小于22元，6支水筆與3支鉛筆的價格之和不大于24元，則1支水筆與1支鉛筆的價格的差的最大值是（）A．0.5元 B．1元 C．4.4元 D．8元【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】設(shè)1支水筆與1支鉛筆的價格分別為x元、y元,根據(jù)條件列出不等式以及目標(biāo)函數(shù)，利用簡單線性規(guī)劃即可求得結(jié)論【解答】解：設(shè)1支水筆與1支鉛筆的價格分別為x元、y元，則，對應(yīng)的區(qū)域如圖設(shè)1支水筆與1支鉛筆的價格的差z=x﹣y，即y=x﹣z,則直線經(jīng)過A（3,2)時使得z最大為3﹣2=1，所以1支水筆與1支鉛筆的價格的差的最大值是4；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查利用簡單線性規(guī)劃解決實(shí)際應(yīng)用問題，需要根據(jù)題意列出約束條件以及目標(biāo)函數(shù)；著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用等知識．8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c,若a：b：c=4：5：6，則=（）A． B． C．1 D．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知可求a=，c=，利用余弦定理可求cosA，利用二倍角的正弦函數(shù)公式,正弦定理化簡所求即可計算得解．【解答】解：∵a:b：c=4：5：6，∴a=，c=，∴cosA===,∴====1．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9．p:?x0∈R，x+m≤0,q：?x∈R,x2+mx+1＞0，如果p，q都是命題且（￢p）∨q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≤﹣2 B．﹣2≤m≤0 C．0≤m≤2 D．m≥2【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【分析】p:?x0∈R，x+m≤0，可得m≤，因此m≤0．可得￢p．q：?x∈R，x2+mx+1＞0,△＜0，解得m范圍．即可得出(￢p）∨q．【解答】解：p：?x0∈R，x+m≤0，∴m≤，因此m≤0．∴￢p：m＞0．q：?x∈R，x2+mx+1＞0,△=m2﹣4＜0,解得﹣2＜m＜2．∴（￢p)∨q為：﹣2＜m．如果p，q都是命題且（￢p)∨q為假命題，∴m≤﹣2．故選:A．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題．10．如圖,在平行六面體A1C中,AD=AB=AA1=4,∠A1AB=60°，∠BAD=90°,∠A1AD=120°，cos∠A1AC=（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】運(yùn)用向量的三角形法則和向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合勾股定理的逆定理，計算即可得到所求余弦值．【解答】解:在平行六面體A1C中，AD=AB=AA1=4，∠A1AB=60°，∠BAD=90°，∠A1AD=120°，可得||2=|+|2=|++｜2=｜|2+｜｜2+|｜2+2?+2?+2?=16+16+16+2×4×4×cos60°+2×4×4×cos90°+2×4×4×cos120°=48+16+0﹣16=48，又｜|2=||2+｜|2+2?=16+16+0=32,｜|2+｜｜2=16+32=48=｜|2，即為⊥，可得cos∠A1AC=0．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查角的余弦值的求法，注意運(yùn)用向量法,以及向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查勾股定理的逆定理，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．等差數(shù)列{an｝的首項(xiàng)為a,公差為1，數(shù)列{bn}滿足bn=．若對任意n∈N＊，bn≤b6,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣8，﹣6） B．（﹣7，﹣6) C．（﹣6，﹣5) D．（6,7）【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求得數(shù)列{an｝的通項(xiàng)，進(jìn)而求得bn,再由函數(shù)的性質(zhì)求得．【解答】解：∵｛an｝是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，∴an=n+a﹣1．∴bn==．又∵對任意的n∈N＊，都有bn≤b6成立，可知，則必有7+a﹣1＜0且8+a﹣1＞0，∴﹣7＜a＜﹣6；故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用函數(shù)處理數(shù)列思想的方法求解，是基礎(chǔ)題．12．橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓C上的一點(diǎn),且位于第一象限,直線PO,PF分別交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．若△POF為正三角形,則直線MN的斜率等于（）A．﹣1 B．﹣ C．2﹣ D．2﹣【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由于|OF|為半焦距c，利用等邊三角形性質(zhì)，即可得點(diǎn)P的一個坐標(biāo)，PF方程為：y=﹣(x﹣c）代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可得N坐標(biāo),再用斜率公式，求解【解答】解：∵橢圓上存在點(diǎn)P使△AOF為正三角形，設(shè)F為左焦點(diǎn)，|OF|=c，P在第一象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）代入橢圓方程得，．又因?yàn)閍2=b2+c2，得到．橢圓C：+=1（a＞b＞0）的方程可設(shè)為:2x2+(4+2）y2=（2+3）c2…①．PF方程為：y=﹣（x﹣c）…②由①②得N(（)c,)，M，P兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴M（﹣c）直線MN的斜率等于．故選：D【點(diǎn)評】本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，計算量較大,屬于中檔題．二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分）13．命題“若m2+n2=0，則mn=0"的逆否命題是“若mn≠0，則m2+n2≠0”．【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”，寫出對應(yīng)的命題即可．【解答】解:命題“若m2+n2=0，則mn=0”的逆否命題是“若mn≠0,則m2+n2≠0”．故答案為：“若mn≠0，則m2+n2≠0”．【點(diǎn)評】本題考查了命題和它的逆否命題的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．1934年，來自東印度（今孟加拉國）的學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”，其數(shù)字排列規(guī)律與等差數(shù)列有關(guān)，如圖，則“正方形篩子”中，位于第8行第7列的數(shù)是127．【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】通過圖表觀察,每一行的公差為3，5，7，…2n+1．再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求值．【解答】解:第一行的數(shù)字是加3遞增，第二行加5遞增,第三行加7遞增，第n行，3+2×（n﹣1)遞增．則第8行為3+2×（8﹣1)=17遞增．第8行的第7個數(shù)就是4+（8﹣1）×3+（7﹣1）×17=127．故答案為：127．【點(diǎn)評】本題給出“正方形篩子”的例子，求表格中的指定項(xiàng)，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用的知識，屬于基礎(chǔ)題．15．平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1：﹣=1(b＞0)的漸近線與拋物線C2:x2=2px（p＞0)交于點(diǎn)O，A，B．若△OAB的垂心為拋物線C2的焦點(diǎn)，則b=．【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即kBF?kOA=﹣1，由此可得b．【解答】解：聯(lián)立漸近線與拋物線方程得A(pb，）,B（﹣pb，),拋物線焦點(diǎn)為F（0,），由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即kBF?kOA=﹣1,又kBF=,kOA=，所以（)=﹣1，∴b=．故答案為：,【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì),聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì),得BF⊥OA是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．16．在△ABC中，∠A的角平分線交BC于點(diǎn)D，且AD=1，邊BC上的高AH=，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，則BC=．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計算．【分析】由題意,AB：AC=BD:DC=2：1,DH=，設(shè)DC=x，則BD=2x，可得+(2x+）2=4[+(x﹣）2]，求出x=,即可得出結(jié)論．【解答】解:由題意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=設(shè)DC=x，則BD=2x，∴+（2x+)2=4[+(x﹣）2］，∴x=,∴BC=3x=．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查三角形角平分線的性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有6小題，共70分）17．（10分）（2016秋?廈門期末）在△ABC中,A，B，C的對邊分別為a,b，c，且2cosA?（acosB+bcosA）=c．(Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面積S=10,a=7，求△ABC的周長．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得2cosAsinC=sinC，結(jié)合sinC≠0,可求cosA=，進(jìn)而可求A的值．（Ⅱ）由余弦定理得b2+c2﹣bc=49，由三角形面積公式可求bc=40，聯(lián)立解得b+c，從而可求三角形周長．【解答】本小題滿分(10分）．解：（Ⅰ）由正弦定理:，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC則由已知可得：2cosA（sinAcosB+sinBcosA)=sinC,…（1分）∴2cosAsin(A+B）=sinC，…（2分)∴2cosAsinC=sinC，…(3分)∵0＜C＜π,有sinC≠0，∴cosA=，解得A=，…(4分)（Ⅱ)由（Ⅰ）知A=，又a=7由余弦定理得：b2+c2﹣bc=49,（＊)…(6分）∵△ABC的面積S=bcsinA=10,即bc=40，（*＊)…（7分）由(＊)（*＊）得,b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=49,…（8分)解得b+c=13，…（9分)∴△ABC的周長為a+b+c=20．…（10分)【點(diǎn)評】本小題考查正、余弦定理、三角形面積公式、兩角和三角公式；考查計算求解能力、推理論證能力能力;考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）(2016秋?廈門期末）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an﹣2．（Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）數(shù)列{bn﹣an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（I）當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1﹣2，解得a1．當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出an．（Ⅱ)由數(shù)列｛bn﹣an}是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，可得bn﹣an=3n﹣2，bn=2n+3n﹣2．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：(Ⅰ）當(dāng)n=1時，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化為an=2an﹣1．∴數(shù)列｛an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．則．(Ⅱ）∵數(shù)列｛bn﹣an｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，∴bn﹣an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．∴bn=2n+3n﹣2．則Tn=+=2n+1﹣2+﹣n．【點(diǎn)評】本小題主要考查通過遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)以及數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．(12分）(2016秋?廈門期末)如圖，四棱錐P﹣ABCD中,O為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，CD⊥平面PAD,PA=PD=5．（Ⅰ)求證：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AD=8,BC=4，CD=3，求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PO⊥AD,CD⊥PO，由此能證明PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）連接OB,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD,OP分別為x,y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．【解答】證明:（Ⅰ）△PAD中，∵PA=PD，且O為AD的中點(diǎn),∴PO⊥AD,（1分）∵CD⊥平面PAD，OP?平面PAD，∴CD⊥PO，(2分）∵AD?平面ABCD,CD?平面ABCD,AD∩CD=D，（3分)∴PO⊥平面ABCD．（4分）解:（Ⅱ）∵CD⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴CD⊥AD，連接OB,∵BC∥OD且BC=OD=4，∴OB∥AD，∴OB⊥AD;以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣4，0）,B（3,0，0）,C（3,4，0），D（0，4，0)，P（0，0，3），（6分）=（3，4，0），=(0,4，3)，=（3,0，0），=（0,﹣4,3），設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z),則，令y=3，得=(0，3，4），(8分）設(shè)平面ABP的法向量為=（x，y，z)，則，令x=4,則=（4,﹣3，4），(10分）設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α，則cosα===，（11分)∴平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為．（12分）【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查利用空間向量求二面角的大小；考查邏輯推理與空間想象能力，運(yùn)算求解能力;考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想．20．（12分）(2016秋?廈門期末）拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，過點(diǎn)H（3，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C,D，其中點(diǎn)A，C在x軸上方．（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,2），求△ABC的面積；（Ⅱ)若p=2，直線BC過點(diǎn)F，求直線CD的方程．【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）點(diǎn)C（2,2）在拋物線E上，可得4=4p,解得p,可得拋物線E的方程為y2=2x．由AB⊥CD，可得kAB?kCD=﹣1，解得kAB，由直線AB過點(diǎn)H（3，0)，可得直線AB方程為y=(x﹣3)，設(shè)A(x1,y1），B(x2，y2），與拋物線方程聯(lián)立化簡得y2﹣4y﹣6=0；可得｜AB｜=，｜CH｜，S△ABC=|AB｜?|CH|．（Ⅱ）設(shè)C（x3，y3），D（x4,y4）,則=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3）,利用AB⊥CD，可得?=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0．根據(jù)直線BC過焦點(diǎn)F(1，0），且直線BC不與x軸平行，設(shè)直線BC的方程為x=ty+1，聯(lián)立,得y2﹣4ty﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵點(diǎn)C（2,2）在拋物線E上,∴4=4p，p=1，∴拋物線E的方程為y2=2x,∵kCD==﹣2，且AB⊥CD,∴kAB?kCD=﹣1，∴kAB=，又∵直線AB過點(diǎn)H（3,0）,∴直線AB方程為y=（x﹣3）,設(shè)A（x1，y1），B（x2,y2），聯(lián)立，化簡得y2﹣4y﹣6=0;所以△=40＞0，且y1+y2=4，y1?y2=﹣6，此時|AB|==10,｜CH｜==，∴S△ABC=｜AB|?|CH|==5．（Ⅱ）設(shè)C(x3，y3），D（x4，y4)，則=（x2﹣3,y2)，=（x3﹣3,y3),∵AB⊥CD，∴?=（x2﹣3）(x3﹣3）+y2y3=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0,（1)∵直線BC過焦點(diǎn)F(1,0），且直線BC不與x軸平行，∴設(shè)直線BC的方程為x=ty+1，聯(lián)立，得y2﹣4ty﹣4=0,△=16t2+16＞0，且y2+y3=4t，y2?y3=﹣4，(2）∴x2+x3=ty2+1+ty3+1=t(y2+y3）+2=4t2+2，x2?x3===1．代入（1）式得：1﹣3（4t2+2）+9﹣4=0，解得t=0，代入（2）式解得:y2=﹣2,y3=2，此時x2=x3=1；∴C（1，2），∴kCD==﹣1,∴直線CD的方程為y=﹣x+3．【點(diǎn)評】本小題考查直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識;考查學(xué)生基本運(yùn)算能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查學(xué)生函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．21．（12分）（2016秋?廈門期末）如圖，兩個工廠A，B相距8（單位：百米），O為AB的中點(diǎn),曲線段MN上任意一點(diǎn)P到A，B的距離之和為10(單位：百米）,且MA⊥AB，NB⊥AB．現(xiàn)計劃在P處建一公寓，需考慮工廠A，B對它的噪音影響．工廠A對公寓的“噪音度”與距離AP成反比，比例系數(shù)為1;工廠B對公寓的“噪音度”與距離BP成反比，比例系數(shù)為k．“總噪音度"y是兩個工廠對公寓的“噪音度"之和．經(jīng)測算：當(dāng)P在曲線段MN的中點(diǎn)時，“總噪音度”y恰好為1．（Ⅰ)設(shè)AP=x（單位：百米），求“總噪音度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出該函數(shù)的定義域；(Ⅱ）當(dāng)AP為何值時，“總噪音度”y最小．【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）連接AP，BP，以AB為x軸,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出曲線段MN的方程，即可求“總噪音度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出該