青藤教育內部資料：高中數學PAGEPAGE6高中數學解析幾何公式兩點間距離：若，則平行線間距離：若則：點到直線的距離：則P到l的距離為：直線與圓錐曲線相交的弦長公式：消y：，務必注意若l與曲線交于A則：若A，P（x，y）。P在直線AB上，且P分有向線段AB所成的比為，則，特別地：=1時，P為AB中點且變形后：（1）傾斜角，；（2）；（3）直線l與平面；（4）l1與l2的夾角為，，其中l1//l2時夾角=0；（5）二面角；（6）l1到l2的角直線的傾斜角與斜率k的關系每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。若直線存在斜率k，而傾斜角為，則k=tan。直線方程的五種形式11、直線與圓的位置關系有三種若，12、兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，13、圓錐曲線定義、標準方程及性質（一）橢圓定義Ⅰ：若F1，F2是兩定點，P為動點，且（為常數）則P點的軌跡是橢圓。定義Ⅱ：若F1為定點，l為定直線，動點P到F1的距離與到定直線l的距離之比為常數e（0<e<1），則P點的軌跡是橢圓。標準方程：定義域：值域：長軸長=，短軸長=2b焦距：2c準線方程：焦半徑：，，，等（注意涉及焦半徑①用點P坐標表示，②第一定義。）注意：（1）圖中線段的幾何特征：，，等等。頂點與準線距離、焦點與準線距離分別與有關。（2）中經常利用余弦定理、三角形面積公式將有關線段、、2c，有關角結合起來，建立+、等關系（3）橢圓上的點有時常用到三角換元：；（4）注意題目中橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上，請補充當焦點在y軸上時，其相應的性質。二、雙曲線（一）定義：Ⅰ若F1，F2是兩定點，（為常數），則動點P的軌跡是雙曲線。Ⅱ若動點P到定點F與定直線l的距離之比是常數e（e>1），則動點P的軌跡是雙曲線。（二）圖形：（三）性質方程：定義域：；值域為R；實軸長=，虛軸長=2b焦距：2c準線方程：焦半徑：，，；注意：（1）圖中線段的幾何特征：，頂點到準線的距離：；焦點到準線的距離：兩準線間的距離=（2）若雙曲線方程為漸近線方程：若漸近線方程為雙曲線可設為若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）（3）特別地當離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；（4）注意中結合定義與余弦定理，將有關線段、、和角結合起來。（5）完成當焦點在y軸上時，標準方程及相應性質。二、拋物線（一）定義：到定點F與定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線。即：到定點F的距離與到定直線l的距離之比是常數e（e=1）。（二）圖形：（三）性質：方程：；焦點：，通徑；準線：；焦半徑：過焦點弦長注意：（1）幾何特征：焦點到頂點的距離=；焦點到準線的距離=；通徑長=頂點是焦點向準線所作垂線段中點。（2）拋物線上的動點可設為P或P解析幾何新題型【例題解析】考點1.求參數的值求參數的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質入手,構造方程解之.例1．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（）A．B．C．D．考查意圖:本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質.解答過程：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D.考點2.求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質入手,找出點的坐標,利用距離公式解之.例2．已知拋物線y-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于A.3B.4C.3D.4考查意圖:本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系和距離公式的應用.解：設直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，∴，由弦長公式可求出．故選C例3．如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則____________.考查意圖:本題主要考查橢圓的性質和距離公式的靈活應用.解答過程：由橢圓的方程知∴故填35.考點3.曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一,其解法為充分利用:(1)橢圓的離心率e＝∈(0,1)(e越大則橢圓越扁);(2)雙曲線的離心率e＝∈(1,＋∞)(e越大則雙曲線開口越大).結合有關知識來解題.例4．已知雙曲線的離心率為2，焦點是，，則雙曲線方程為A．B．C．D．考查意圖:本題主要考查雙曲線的標準方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念.解答過程：所以故選(A).小結:對雙曲線的標準方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念，要注意認真掌握.尤其對雙曲線的焦點位置和雙曲線標準方程中分母大小關系要認真體會.例5．已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于（）A.B.C.2D.4考查意圖:本題主要考查雙曲線的性質和離心率e＝∈(1,＋∞)的有關知識的應用能力.解答過程：依題意可知．考點4.求最大(小)值求最大(小)值,是高考題中的熱點題型之一.其解法為轉化為二次函數問題或利用不等式求最大(小)值:特別是,一些題目還需要應用曲線的幾何意義來解答.例6．已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是.考查意圖:本題主要考查直線與拋物線的位置關系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:設過點P(4,0)的直線為故填32.考點5圓錐曲線的基本概念和性質圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統一性，都是考試的重點內容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧要熟記于心.例7．在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.（1）求圓C的方程；（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.[考查目的]本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．[解答過程](1)設圓C的圓心為(m,n)則解得所求的圓的方程為(2)由已知可得，．橢圓的方程為,右焦點為F(4,0);假設存在Q點使,．整理得，代入．得:,．因此不存在符合題意的Q點.例8．如圖,曲線G的方程為.以原點為圓心，以為半徑的圓分別與曲線G和y軸的 正半軸相交于A與點B.直線AB與x軸相交于點C.（Ⅰ）求點A的橫坐標a與點C的橫坐標c的關系式；（Ⅱ）設曲線G上點D的橫坐標為,求證：直線CD的斜率為定值.[考查目的]本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標素中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關系，考查運算能力與思維能力，綜合分析問題的能力.[解答過程]（I）由題意知，因為由于（1）由點B（0，t），C（c，0）的坐標知，直線BC的方程為又因點A在直線BC上，故有將（1）代入上式，得解得.（II）因為，所以直線CD的斜率為，所以直線CD的斜率為定值.例9．已知橢圓，AB是它的一條弦，是弦AB的中點，若以點為焦點，橢圓E的右準線為相應準線的雙曲線C和直線AB交于點，若橢圓離心率e和雙曲線離心率之間滿足，求：（1）橢圓E的離心率；（2）雙曲線C的方程.解答過程：（1）設A、B坐標分別為，則，，二式相減得：，所以，，則；（2）橢圓E的右準線為，雙曲線的離心率，設是雙曲線上任一點，則：，兩端平方且將代入得：或，當時，雙曲線方程為：，不合題意，舍去；當時，雙曲線方程為：，即為所求.小結：（1）“點差法”是處理弦的中點與斜率問題的常用方法；（2）求解圓錐曲線時，若有焦點、準線，則通常會用到第二定義.考點6利用向量求曲線方程和解決相關問題利用向量給出題設條件，可以將復雜的題設簡單化，便于理解和計算.典型例題：例10．雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=為C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當，且時，求Q點的坐標.考查意圖:本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運用數形結合思想,方程和轉化的思想解決問題的能力.解答過程：（Ⅰ）設雙曲線方程為,由橢圓,求得兩焦點為，對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線解得，雙曲線的方程為（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零.設的方程：，,則.,.在雙曲線上，.同理有：若則直線過頂點，不合題意.是二次方程的兩根.,，此時.所求的坐標為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設的方程，，則.，分的比為.由定比分點坐標公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設的方程：，則.，.，，，又，,即.將代入得.，否則與漸近線平行解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設的方程：，,則,..同理 ..即 . （*）又 消去y得.當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，.由韋達定理有：代入（*）式得 .所求Q點的坐標為.例11．設動點P到點A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d1和d2，∠APB＝2θ,且存在常數λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2sin2θ＝λ．（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；（2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點,試確定λ的范圍,使·＝0,其中點O為坐標原點．[考查目的]本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．[解答過程]解法1：（1）在中，，即，，即（常數），點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．方程為：．（2）設，①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．即，因為，所以．②當不垂直于軸時，設的方程為．由得：，由題意知：，所以，．于是：．因為，且在雙曲線右支上，所以．由①②知，．解法2：（1）同解法1（2）設，，的中點為．①當時，，因為，所以；②當時，．又．所以；由得，由第二定義得．所以．于是由得因為，所以，又，解得：．由①②知．考點7利用向量處理圓錐曲線中的最值問題利用向量的數量積構造出等式或函數關系，再利用函數求最值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關系容易.例12．設橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為，過點的直線交橢圓E于A、B兩點，且，求當的面積達到最大值時直線和橢圓E的方程.解答過程：因為橢圓的離心率為，故可設橢圓方程為，直線方程為，由得：，設，則…………①又，故，即…………②由①②得：，，則＝，當，即時，面積取最大值，此時，即，所以，直線方程為，橢圓方程為.小結：利用向量的數量積構造等量關系要比利用圓錐曲線的性質構造等量關系容易.例13．已知，，且，求的最大值和最小值.解答過程：設，，，因為，且，所以，動點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為6的橢圓，橢圓方程為，令，則＝，當時，取最大值，當時，取最小值.小結：利用橢圓的參數方程，可以將復雜的代數運算化為簡單的三角運算.考點8利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉化成方程是否有解或轉化成求函數的值域問題.例14．（2006年福建卷） 已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點.（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；（II）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.考查意圖:本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.解答過程：（I）圓過點O、F，圓心M在直線上.設則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根.記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為例15．已知雙曲線C：，B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足成等比數列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為P，（1）求證：；（2）若與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D,E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.解答過程：（1）因成等比數列，故，即，直線：，由，故：，則：，即；（或，即）（2）由，由得：（或由）小結：向量的數量積在構造等量關系中的作用舉足輕重，而要運用數量積，必須先恰當地求出各個點的坐標.例16．已知，，，（1）求點的軌跡C的方程；（2）若直線與曲線C交于A、B兩點，，且，試求m的取值范圍.解答過程：（1）＝，＝，因，故，即，故P點的軌跡方程為.（2）由得：，設，A、B的中點為則，，，，即A、B的中點為，則線段AB的垂直平分線為：，將的坐標代入，化簡得：，則由得：，解之得或，又，所以，故m的取值范圍是.小結：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會產生增根現象.考點9利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題存在性問題，其一般解法是先假設命題存在，用待定系數法設出所求的曲線方程或點的坐標，再根據合理的推理，若能推出題設中的系數，則存在性成立，否則，不成立.例17．已知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心O，且，，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實數，使得？請說明理由；解答過程：（1）以O為原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則，設橢圓方程為，不妨設C在x軸上方，由橢圓的對稱性，，又，即為等腰直角三角形，由得：，代入橢圓方程得：，即，橢圓方程為；（2）假設總存在實數，使得，即，由得，則，若設CP：，則CQ：，由，由得是方程的一個根，由韋達定理得：，以代k得，故，故，即總存在實數，使得.評注：此題考察了坐標系的建立、待定系數法、橢圓的對稱性、向量的垂直、向量的共線及探索性問題的處理方法等，是一道很好的綜合題.考點10利用向量處理直線與圓錐曲線的關系問題直線和圓錐曲線的關系問題，一般情況下，是把直線的方程和曲線的方程組成方程組，進一步來判斷方程組的解的情況，但要注意判別式的使用和題設中變量的范圍.例18．設G、M分別是的重心和外心，，，且，（1）求點C的軌跡方程；（2）是否存在直線m，使m過點并且與點C的軌跡交于P、Q兩點，且？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由.解答過程：（1）設，則，因為，所以，則，由M為的外心，則，即，整理得：；（2）假設直線m存在，設方程為，由得：，設，則，，＝，由得：，即，解之得，又點在橢圓的內部，直線m過點，故存在直線m，其方程為.小結：（1）解答存在性的探索問題，一般思路是先假設命題存在，再推出合理或不合理的結果，然后做出正確的判斷；（2）直線和圓錐曲線的關系問題，一般最終都轉化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組成的方程組的求解問題.【專題訓練與高考預測】一、選擇題1．如果雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，那么雙曲線方程是（）A．B．C．D．2．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的的漸近線方程為（）A.B.C.D.3．已知為橢圓的焦點，M為橢圓上一點，垂直于x軸，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.4．二次曲線，當時，該曲線的離心率e的取值范圍是（）A.B.C.D.5．直線m的方程為，雙曲線C的方程為，若直線m與雙曲線C的右支相交于不重合的兩點，則實數k的取值范圍是（）A.B.C.D.6．已知圓的方程為，若拋物線過點，，且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點的軌跡方程為（）A.B.C.D.二、填空題7．已知P是以、為焦點的橢圓上一點，若，則橢圓的離心率為______________.8．已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，點A的坐標是______________.9．P是橢圓上的點，是橢圓的左右焦點，設，則k的最大值與最小值之差是______________.10．給出下列命題：①圓關于點對稱的圓的方程是；②雙曲線右支上一點P到左準線的距離為18，那么該點到右焦點的距離為；③頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且經過點的拋物線方程只能是；④P、Q是橢圓上的兩個動點，O為原點，直線OP,OQ的斜率之積為，則等于定值20.把你認為正確的命題的序號填在橫線上_________________.三、解答題11．已知兩點，，動點P在y軸上的射影為Q，，（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）設直線m過點A，斜率為k，當時，曲線E的上支上有且僅有一點C到直線m的距離為，試求k的值及此時點C的坐標.12．如圖，，是雙曲線C的兩焦點，直線是雙曲線C的右準線，是雙曲線C的兩個頂點，點P是雙曲線C右支上異于的一動點，直線、交雙曲線C的右準線分別于M,N兩點，（1）求雙曲線C的方程；（2）求證：是定值.13．已知的面積為S，且，建立如圖所示坐標系，（1）若，，求直線FQ的方程；（2）設，，若以O為中心，F為焦點的橢圓過點Q，求當取得最小值時的橢圓方程.14．已知點，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，，（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；（2）過點作直線m與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點，使得為等邊三角形，求的值.15．已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量． （1）求橢圓的離心率e； （2）設Q是橢圓上任意一點，、分別是左、右焦點，求∠的取值范圍；16．已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數列， （Ⅰ）點P的軌跡是什么曲線？ （Ⅱ）若點P坐標為，為的夾角，求tanθ．【參考答案】一.1．C.提示，設雙曲線方程為，將點代入求出即可.2．D.因為雙曲線的焦點在x軸上，故橢圓焦點為，雙曲線焦點為，由得，所以，雙曲線的漸近線為.3．C.設，則，，.4.C.曲線為雙曲線，且，故選C；或用，來計算.5．B.將兩方程組成方程組，利用判別式及根與系數的關系建立不等式組.6．B.數形結合，利用梯形中位線和橢圓的定義.