擢英中學2024屆九年級第一次月考試卷一、選擇題(共10小題．每小題4分)1.下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據二次函數的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．是一次函數，故選項不符合題意；B．右邊是分式，不是二次函數，，故選項不符合題意；C．時，不是二次函數，故選項不符合題意；D．是二次函數，故選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的定義，解題的關鍵是掌握形如的函數叫做二次函數．2.任意下列兩個圖形不一定相似的是（）A.正方形 B.等腰直角三角形 C.矩形 D.等邊三角形【答案】C【解析】【分析】相似圖形的定義：形狀相同的兩個圖形是相似形；如果各角分別相等、各邊對應成比例的兩個多邊形是相似多邊形；根據這兩個定義即可判斷得解．【詳解】解：A、因為任意兩個正方形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意B、因為任意兩個等腰直角三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；C、因為任意兩個矩形的對應邊不一定成比例，對應角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；D、因為任意兩個等邊三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意；故選C．【點睛】此題考查了相似圖形的概念，熟練掌握相似形與相似多邊形的概念是解答此題的關鍵．3.拋物線y＝（x＋1）2＋3的頂點坐標是（）A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3）【答案】C【解析】【分析】根據函數頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【詳解】解：拋物線y＝2（x＋1）2＋3的頂點坐標是（﹣1，3）．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握拋物線的頂點式是解題的關鍵．4.在同一直角坐標系中，一次函數y＝kx+1與二次函數y＝x2+k的大致圖象可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】二次函數圖象與y軸交點的位置可確定k的正負，再利用一次函數圖象與系數的關系可找出一次函數y＝kx+1經過的象限，對比后即可得出結論．【詳解】解：由y＝x2+k可知拋物線的開口向上，故B不合題意；∵二次函數y＝x2+k與y軸交于負半軸，則k＜0，∴一次函數y＝kx+1的圖象經過經過第一、二、四象限，∴A、D選項不符合題意，C符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象、一次函數圖象與待定系數的關系，根據二次函數的圖象找出每個選項中k的正負是解題的關鍵．5.如圖，在中，點D在邊上，，若，則的值是()

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接運用平行線分線段成比例定理得出比例式求解即可．【詳解】解：∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵．6.如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據鏡面反射性質，可求出，再利用垂直求，最后根據三角形相似的性質，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，由圖可知，，，.根據鏡面的反射性質，∴，∴，，，.小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，，，...故選：B.【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質和相似三角形的性質.7.如圖，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是()A.平分 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據相似三角形的判定方法逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵平分，∴，∵，∴，故選項不符合題意；B．∵，∴，不一定能判定和相似，故選項符合題意；C．∵，，∴，故選項不符合題意；D．∵，，∴，故選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．8.將拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位后所得到的拋物線解析式為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據二次函數的平移規律“左加右減，上加下減”即可解答．【詳解】解：∵拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位，∴平移之后二次函數的解析式為，故選．【點睛】本題考查了二次函數的平移規律“左加右減，上加下減”，熟記平移規律“左加右減，上加下減”是解題的關鍵．9.下列關于二次函數的圖像和性質的敘述中，正確的是（）A.點在函數圖像上 B.開口方向向上C.對稱軸是直線 D.與直線有兩個交點【答案】D【解析】【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函數值再與點的縱坐標進行比較；B、化簡二次函數：y＝﹣3x2+3x+6，根據a的取值判斷開口方向；C、根據對稱軸公式計算；D、把函數的問題轉化為一元二次方程的問題，根據判別式的取值來判斷．【詳解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A錯誤；B、化簡二次函數：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函數的圖象開口方向向下，∴B錯誤；C、∵二次函數對稱軸是直線x∴C錯誤；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函數y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象與直線y＝3x有兩個交點，∴D正確；故選：D．【點睛】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征、正比例函數的性質，掌握這幾個知識點的應用，其中函數的問題轉化為一元二次方程的問題是解題關鍵．10.拋物線的頂點為，與軸的一個交點在點和之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①；②圖象上有兩點和，若，且，則一定有；③；④若方程沒有實數根，則；正確的是()A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】①根據拋物線的性質判斷、、的正負性，據此解答即可；②由拋物線開口向下，對稱軸為，，，得在的右側，分與兩種情況討論求解即可；③由拋物線與軸的另一個交點在點和之間，得，根據拋物線的對稱軸，可得，然后根據，判斷出，據此判斷即可；④根據的最大值是，可得方程沒有實數根，則，據此判斷即可．【詳解】解∶∵拋物線的頂點為，與軸的一個交點在點和之間，拋物線開口向下，∴，拋物線與軸的另一個交點在點和之間，拋物線開口向下，∴拋物線與軸的交點在軸的正半軸，∴，∴，故①錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為，，，∴在的右側，當時，∴在拋物線的右側，隨的增大而減小，∵，∴，當時，∵，∴關于對稱軸的對稱點為，∵，∴，∴，綜上所述，故②正確；∵拋物線的對稱軸，∴，∵拋物線與軸的另一個交點在點和之間，∴，∴，∴，故③正確；∵的最大值是，∴方程沒有實數根，則，結論④正確．綜上，可得正確結論的序號是∶②③④．故選∶B．【點睛】此題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖像及性質以及二次函數與一元二次方程的關系．二、填空題〈共6小題．每小題4分)11.已知拋物線與x軸有且只有一個交點，則______．【答案】9【解析】【分析】拋物線與x軸有且只有一個交點，可知對應的方程有唯一解，即，即可求出m的值．【詳解】解：∵拋物線與x軸有且只有一個交點，∴方程有唯一解，即，解得：，故答案為：9．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，解題的關鍵是明確和拋物線與x軸的交點個數之間的關系．12.如圖，中，，于，，，則的長為___________．【答案】2【解析】【分析】先根據題意得出，然后根據相似三角形的性質解答即可．詳解】解：∵中，，∴．∵于點，∴，，∴，，∴，∴，∵，，∴，故答案為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，難度一般，解答本題的關鍵是根據垂直證明三角形的相似，根據對應邊成比例求邊長是解題的．13.如圖，拋物線與x軸相交于點、點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當軸時，______．【答案】4【解析】【分析】與拋物線與x軸相交于點、點，可得拋物線的對稱軸為直線，由軸，可得，關于直線對稱，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點、點，∴拋物線對稱軸為直線，∵當時，，即，∵軸，∴，關于直線對稱，∴，∴；故答案為：4【點睛】本題考查的是利用拋物線上兩點的坐標求解對稱軸方程，熟練的利用拋物線的對稱性解題是關鍵．14.如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是__________．【答案】或##或【解析】【分析】根據函數圖象可知直線在拋物線上方時，取值范圍．【詳解】解：如圖所示∵拋物線與直線交于，∴由圖象可知，不等式的解集為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了圖象法解一元一次不等式的解集的關系，掌握數形結合思想是解題的關鍵．15.如圖，在中，點、在上，點、在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為_________．【答案】【解析】【分析】設交于點，由矩形的邊在．上證明，，則，得，其中，，，可以列出方程“解方程求出的值即可．【詳解】解：設交于點，∵矩形的邊在上，∴，，∴，，，∴，∴，∵于點，∴，∴，∵，，，，∴四邊形是矩形,∴，∵，，∴，∴解得，∴的長為，故答案為∶．【點睛】此題重點考查矩形的性質、兩條平行線之間的距離處處相等、相似三角形的判定與性質等知識，根據“相似三角形對應高的比等于相似比”列方程是解題的關鍵．16.如圖，在中，，，，平分，點D是的中點，與交于點O，則的值__________．【答案】【解析】【分析】：如圖，過點E作，垂足為F，過點D作，交于點G，由角平分線性質定理，得，由三角形面積可求證，由可進一步求證，可得，于是，求證，可得，進一步得證，，從而．【詳解】解：如圖，過點E作，垂足為F，過點D作，交于點G，∵平分，，，∴.∵，∴.∴.∵，∴．又，∴．∴．∴，．∵，∴，又，∴∴．∵，，∴．∴．∴．∴．∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，角平線的性質定理；運用相似三角形的性質推證線段之間的數量關系是解題的關鍵．三、解答題(共9小題，共86分)17.如圖，中，，，．E是上一點，，，垂足為D．求的長．【答案】4【解析】【分析】通過證明，可得，即可求解.【詳解】解：∵∴，∴，【點睛】本題考查了相似三角形判定和性質，證明是本題的關鍵．18.已知拋物線的頂點坐標是（3，2），且經過點（1，-2）．求這條拋物線的解析式．【答案】y=-（x-3）2+2【解析】【詳解】試題解析：拋物線的頂點坐標是,設拋物線解析式為把代入得，解得所以拋物線解析式為點睛：拋物線常見的有三種形式：一般式頂點式交點式根據題意選擇合適的形式,可以簡化運算.19.如圖，已知O是坐標原點，AB兩點的坐標分別為（3，﹣1），（2，1）．（1）以點O為位似中心，在y軸的左側將△OAB放大2倍；（2）分別寫出A，B兩點的對應點A′，B′的坐標．【答案】（1）見詳解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【解析】【分析】(1)把B、A的橫縱坐標都乘以?2得到B′、A′的坐標，然后描點即可；

(2)分別求出點B、A的橫坐標與縱坐標的2倍的相反數即可．【詳解】解：(1)如圖，△OB?A?為所作；

(2)∵∴A，B兩點的對應點A′，B′的坐標為A′（-6,2），B′（-4，-2）.【點睛】本題考查了作圖??位似變換：熟練應用以原點為位似中心的兩位似圖形對應點的坐標的關系確定變換后對應點的坐標是解決問題的關鍵．20.如圖，在中，．在BC的延長線上取一點B，使，連接AE，AE與CD交于點F．（1）求證：；（2）求DF的長．【答案】（1）見解析（2）6【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質可得出，從而得出，即證明；（2）由平行四邊形的性質可得出，，即得出，再根據相似三角形的性質可得出，即，最后結合，即可求出DF的長．【小問1詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，即，∴，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，即．∵，∴，即．∵,∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，三角形相似的判定和性質．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質是解題關鍵．21.拋物線的圖象如圖所示，點О為原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在函數圖象上，四邊形為正方形，求點B的坐標．【答案】【解析】【分析】連接交于點D，設B點坐標為，四邊形為正方形，則，，得到，則，解得，即可得到點B的坐標．【詳解】解：連接交于點D，∵點B在拋物線上，∴可設B點坐標為，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，解得（不合題意，舍去），∴，∴，∴點B的坐標為．【點睛】此題考查了正方形的性質、二次函數的圖象和性質等知識，熟練掌握正方形的性質和數形結合是解題的關鍵．22.為實施“鄉村振興”計劃，某村產業合作社種植雪花梨獲得大豐收，銷售前對本地市場進行調查發現：當批發價為5千元/噸時，每天可售出15噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據測算，每噸平均投入成本3千元，為了搶占市場，薄利多銷，該村產業合作社決定，批發價每噸不低于5千元，不高于7千元，請解答以下問題：（1）求每天銷量y（噸）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）當批發價定為多少千元/噸時，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少千元？【答案】（1），；（2）批發價定為7千元/噸，最大利潤是44千元．【解析】【分析】（1）根據題意直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量的取值范圍；（2）根據銷售利潤銷售量批發價成本價，列出銷售利潤w（千元）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤．【小問1詳解】解：根據題意可得，，所以每天銷量y（噸）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式為，自變量x的取值范圍是；【小問2詳解】解：設每天獲得的利潤為w千元，根據題意得，∵，∴當時，w取最大值；時，w隨x的增大而增大；∴，∴當時，w有最大值，最大值為44，∴將批發價定為7千元/噸時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是44千元．【點睛】本題考查二次函數應用，以及利用二次函數的性質求最大值，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式．23.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交x軸于點、，交y軸于點，在y軸上有一點，連接．（1）求二次函數的表達式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意利用待定系數法將點、，代入，列出關于a、b、c的方程組，解方程組即可得出二次函數的表達式；（2）利用待定系數法求出直線的解析式，過點D作軸于點M，延長交于點H，設，則，表示出，化為頂點式即可得出的面積的最大值．【小問1詳解】解：∵二次函數經過點、，，∴，解得：，∴二次函數解析式為；【小問2詳解】設直線的解析式為，∵過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，如圖，過點D作軸于點M，延長交于點H，設，則，∴，∴，，∴當時，的面積取得最大值為．【點睛】本題屬于二次函數的綜合問題，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式、二次函數的最值等知識點，數形結合是解題的關鍵．24.問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數量關系．問題探究：（1）先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大小；（2）再探究一般情形，如圖（1），求與的數量關系．問題拓展：（3）將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關系即可證明．（3）過點A作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【小問1詳解】延長過點F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．【小問2詳解】解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．【小問3詳解】解：過點作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．【點睛】此題考查菱形性質、三角形全等、三角形相似，解題的關鍵是熟悉菱形性質、三角形全等、三角形相似．25.如圖1，平面直角坐