2024屆湖南省長沙市一中、湖南師大附中數學高一上期末監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義運算，若函數，則的值域是（）A. B.C. D.2．已知與分別是函數與的零點，則的值為A. B.C.4 D.53．圓關于直線對稱的圓的方程為A. B.C. D.4．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結論中錯誤的是A.B.C.三棱錐體積為定值D.5．已知扇形的面積為9，半徑為3，則扇形的圓心角（正角）的弧度數為（）A.1 B.C.2 D.6．已知函數，，則的值域為（）A. B.C. D.7．已知集合，則中元素的個數為A.1 B.2C.3 D.48．已知α，β是兩個不同的平面，給出下列四個條件：①存在一條直線a，使得a⊥α，a⊥β；②存在兩條平行直線a，b，使得a//α，a//β，b//α，b//β；③存在兩條異面直線a，b，使得a?α，b?β，a//β，b//α；④存在一個平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β其中可以推出α//β的條件個數是A.1 B.2C.3 D.49．定義在上的奇函數以5為周期，若，則在內，的解的最少個數是A.3 B.4C.5 D.710．若，則的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則______12．已知函數，是定義在區間上的奇函數，則_________.13．已知圓心為（1,1），經過點（4,5），則圓的標準方程為_____________________.14．在直角坐標系中，直線的傾斜角________15．已知角的終邊經過點，則的值等于_____16．若且，則取值范圍是___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數是定義域為R的奇函數.（1）求；（2）若，求使不等式對一切恒成立的實數k的取值范圍；（3）若函數的圖象過點，是否存在正數，使函數在上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.18．如圖，在棱長為1正方體中：（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求三棱錐體積19．已知是定義在上的偶函數，當時，（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求實數a的取值范圍20．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，，（1）證明：（2）若，求四棱錐的體積21．某班級欲在半徑為1米的圓形展板上做班級宣傳，設計方案如下：用四根不計寬度的銅條將圓形展板分成如圖所示的形狀，其中正方形ABCD的中心在展板圓心，正方形內部用宣傳畫裝飾，若銅條價格為10元/米，宣傳畫價格為20元/平方米，展板所需總費用為銅條的費用與宣傳畫的費用之和（1）設，將展板所需總費用表示成的函數；（2）若班級預算為100元，試問上述設計方案是否會超出班級預算？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】由定義可得，結合指數函數性質即可求出.【題目詳解】由定義可得，當時，，則，當時，，則，綜上，的值域是.故選：C.2、D【解題分析】設，，由，互為反函數，其圖象關于直線對稱，作直線，分別交，的圖象為A，B兩點，點為A，B的中點，聯立方程得，由中點坐標公式得：，又，故得解【題目詳解】解：由，化簡得，設，，由，互為反函數，其圖象關于直線對稱，作直線，分別交，的圖象為A，B兩點，點為A，B的中點，聯立得；，由中點坐標公式得：，所以，故選D【題目點撥】本題考查了反函數、中點坐標公式及函數的零點等知識，屬于難題.3、A【解題分析】由題意得，圓心坐標為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱圓方程為考點：點關于直線的對稱點；圓的標準方程4、D【解題分析】可證，故A正確；由∥平面ABCD，可知，B也正確；連結BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯誤．選D5、C【解題分析】利用扇形面積公式即可求解.【題目詳解】設扇形的圓心角的弧度數為，由題意得，得.故選：C.6、A【解題分析】根據兩角和的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得，結合和正弦函數的單調性即可求出函數的最大值和最小值.【題目詳解】由題意知，，由，得，又函數在上單調遞增，在上單調遞減，令，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，有，所以，故的值域為.故選：A7、A【解題分析】利用交集定義先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的個數【題目詳解】∵集合∴A∩B＝{3}，∴A∩B中元素的個數為1故選A【題目點撥】本題考查交集中元素個數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義的合理運用8、B【解題分析】當α，β不平行時，不存在直線a與α，β都垂直，∴a⊥α，a⊥β?α∥β，故1正確；存在兩條平行直線a，b，a∥α，b∥β，a∥β，b∥α，則α，β相交或平行，所以2不正確；存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，由面面平行的判定定理得α∥β，故3正確；存在一個平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β，則α，β相交或平行，所以4不正確；故選B9、D【解題分析】由函數的周期為5，可得f（x+5）=f（x），由于f（x）為奇函數，f（3）=0，若x∈（0，10），則可得出f（3）=f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，∴f（8）=f（3）=0，∴f（7）=f（2）=0．在f（x+5）=f（x）中，令x=-2.5，可得f（2.5）=f（-2.5）=-f（2.5），∴f（2.5）=f（7.5）=0．再根據f（5）=f（0）=0，故在（0，10）上，y=f（x）的零點的個數是2，2.5，3，5，7，7.5，8，共計7個.故選D點睛：本題是函數性質的綜合應用，奇偶性周期性的結合，先從周期性入手，利用題目條件中的特殊點得出其它的零點，再結合奇偶性即可得出其它的零點.10、A【解題分析】先由得到，利用基本不等式“1的妙用”即可求出最小值.【題目詳解】因為，所以且，所以且，即，所以當且僅當時，即時等號成立.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由二倍角公式，商數關系得，再由誘導公式、商數關系變形求值式，代入已知可得【題目詳解】，所以，故答案為：12、27【解題分析】由于奇函數的定義域必然關于原點對稱，可得m的值，再求【題目詳解】由于奇函數的定義域必然關于原點對稱∴m＝3，故f（m）＝故答案為27【題目點撥】本題主要考查函數的奇偶性，利用了奇函數的定義域必然關于原點對稱，屬于基礎題13、【解題分析】設出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程【題目詳解】設圓的標準方程為（x-1）2+（y-1）2=R2，由圓經過點（4,5）得R2=25，從而所求方程為（x-1）2+（y-1）2=25，故答案為（x-1）2+（y-1）2=25【題目點撥】本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數法，關鍵是確定圓的半徑14、##30°【解題分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角【題目詳解】試題分析：直線化成，可知，而，故故答案為：15、【解題分析】因為角的終邊經過點，過點P到原點的距離為，所以，所以，故填.16、或【解題分析】分類討論解對數不等式即可.【題目詳解】因為，所以，當時，可得，當時，可得.所以或故答案為：或三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解題分析】（1）根據是定義域為R的奇函數，由求解；（2），得到b的范圍，從而得到函數的單調性，將對一切恒成立，轉化為對一切恒成立求解；（3）根據函數的圖象過點，求得b，得到，令，利用復合函數求最值的方法求解.【小問1詳解】解：函數是定義域為R的奇函數，所以，解得，此時，滿足；【小問2詳解】因為，所以，解得，所以在R上是減函數，等價于，所以，即，又因為不等式對一切恒成立，所以對一切恒成立，所以，解得，所以實數k的取值范圍是；【小問3詳解】因為函數的圖象過點，所以，解得，則，令，則，當時,是減函數，，因為函數在上的最大值為2，所以，即，解得，不成立；當時，是增函數，，因為函數在上最大值為2，所以，即，解得或（舍去），所以存在正數，使函數在上的最大值為2.18、（1）45°；（2）【解題分析】（1），則異面直線與所成的角就是與所成的角，從而求得（2）根據三棱錐的體積進行求解即可【題目詳解】解：（1）∵，∴異面直線與所成的角就是與所成的角，即故異面直線與所成的角為45°（2）三棱錐的體積【題目點撥】本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，以及幾何體的體積和異面直線所成角等有關知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題19、（1）2（2）（3）【解題分析】（1）根據偶函數這一性質將問題轉化為求的值，再代入計算即可；（2）設，根據偶函數這一性質，求出另一部分的解析即可；（3）由（2）可知函數的單調性，結合單調性解不等式即可.【小問1詳解】因為是偶函數，所以小問2詳解】設，則，因為是定義在上的偶函數，所以當時，，所以（也可表示為【小問3詳解】由及是偶函數得，由得，在上單調遞增，所以由得，，解得，即a的取值范圍是.20、（1）證明見解析；（2）8.【解題分析】（1）由平行四邊形的性質及勾股定理可得，再由面面垂直的性質有BC⊥面PCD，根據線面垂直的性質即可證結論.（2）取CD的中點E，連接PE，易得，由面面垂直的性質有PE⊥底面ABCD，即PE是四棱錐的高，應用棱錐的體積公式求體積即可.【小問1詳解】在平行四邊形ABCD中因為，即，所以因為面PCD⊥面ABCD，且面PCD面ABCD＝CD，面PCD，所以BC⊥面PCD，又PD平面PCD，所以【小問2詳解】如圖，取CD的中點E，連接PE，因為，所以，又面PCD⊥面ABCD，面PCD面ABCD＝CD，面PCD，所以PE⊥底面ABCD因為，，則，故21、（1）