§1.2隨機事件的概率隨機事件是隨機試驗的可能發生也可能不發生的試驗結果,那么,一個事件在一次試驗中發生的可能性有多大?如:修水壩的高度.能否用一個數來表示?

§1.2

隨機事件的概率1概率的統計定義設在n

次試驗中，事件A

發生了m

次，一.概率的統計定義則稱為事件A發生的頻率頻率:頻率越大,事件發生越頻繁,事件在一次試驗中發生的可能性越大.描述事件發生的頻繁程度2頻率的性質頻率的性質

事件A,B互斥，則非負性規范性有限可加性推廣：事件兩兩互斥，則可加性3頻率穩定性的實例投一枚硬幣觀察正面向上的次數

n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005頻率穩定性的實例

蒲豐(Buffon)投幣

皮爾森(Pearson)投幣

4例例

DeweyG.統計了約438023個英語單詞中各字母出現的頻率,發現各字母出現的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.00065頻率的特點頻率的特點隨機波動性：n同，頻率未必同可否用頻率表示事件在一次試驗中發生的可能性大小？穩定性：n小，頻率波動幅度大；n大，頻率呈現穩定性，趨向一數。且對每一事件，都有這樣客觀存在的常數與之對應。此頻率穩定值與試驗無關，由事件自身決定，是其固有屬性。（不適合）（適合）6概率的統計定義概率的統計定義在相同條件下重復進行的n

次試驗中,事件A

發生的頻率穩定地在某一常數p

附近擺動,

且隨n越大擺動幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對本定義的評價優點：直觀易懂缺點：粗糙模糊不便使用7缺陷但在實際中,不可能對每一事件都做大量試驗,從而得到頻率的穩定值.為了理論研究需要,結合頻率的穩定性和性質,給出概率的公理化定義頻率穩定于概率,其本質是概率.8

設

是隨機試驗E的樣本空間，若能找到一個法則，使對于E

的每一事件

A賦予一個實數，記為P(A),稱之為事件A的概率，若滿足下面的三條公理：

非負性：

規范性：

可列可加性：其中為兩兩互斥事件公理化定義由前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年建立的二.概率的公理化定義9概率的性質概率的性質

有限可加性:設

兩兩互斥第五章將證明，n足夠大時，頻率一定意義下接近于概率。有理由用概率度量事件在一次試驗中發生的可能性大小。

10具有兩個條件的隨機試驗E:基本事件的個數有限每個基本事件等可能發生則古典概型記n=Ω

中所包含的基本事件總數m=組成A的基本事件的個數條件：古典(等可能)概型計算公式三.概率的古典定義112o

同一題的樣本空間中基本事件總數n隨試驗設計的不同而不同,一般n越小越好且n、m在同一Ω中注注意事項1o

等可能的.4o

當Ω中元素較多時，一般不一一列出，只需分別求n、m的個數3o

不要重復、遺漏。注意術語：至多，至少，都，不都，都不，是，才是等12兩個原理排列組合加法原理：完成一件事情有n

類辦法，第i

類方法中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

個步驟，第i

個步驟中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法預備知識13排列組合排列全排列可重復排列組合從n個不同的元素中取出m

個(不放回）按一定的次序排成一列,不同的排法共有從n

個不同的元素中可重復地取出m

個排成一列,不同的排法有種從n個不同的元素中取出m

個(不放回）組成一組，不同的分法共有種14模型摸球模型放球模型隨機取數模型配對模型四種模型15摸球模型1.摸球模型從n個不同球中一個個取出m個，按摸球方式