第二課時向量的坐標表示第1頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個

的向量，那么對于這一平面內的任意向量a，

一對實數λ1，λ2，使a＝

.

其中，

叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．不共線有且只有λ1e1＋λ2e2不共線的向量e1、e2(2)平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我們稱它為向量a的

．當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的

．(3)平面向量的坐標表示對于向量a，當它的起點移至原點O時，其終點坐標(x，y)稱為向量a的

，記作a＝

．分解正交分解坐標(x，y)第2頁，課件共22頁，創作于2023年2月2．平面向量的坐標運算 (1)加法、減法、數乘運算向量aba＋ba－bλa坐標(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)第3頁，課件共22頁，創作于2023年2月(2)向量坐標的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標等于該向量

的坐標減去

的坐標．(3)向量平行的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a與b共線?a＝

?

.終點始點x1y2－x2y1＝0λb第4頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．(2010·南京市第九中學高三調研測試)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若(λa＋b)⊥(a－b)，則λ＝________.解析：(λa＋b)·(a－b)＝(λ＋2,2λ＋3)·(－1，－1)＝0.－λ－2－2λ－3＝0，λ＝答案：

第5頁，課件共22頁，創作于2023年2月2.已知點A（2，3），B（-1，5），且則點C，D的坐標分別是________，________.解析：

∵

＝(－3,2)，設C(x，y)，則由

得：(x－2，y－3)＝(－3,2)，

∴x＝1，y＝，∴C(1，)．同理得D(－7,9)．答案：(1，)(－7,9)第6頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．由平面向量基本定理知，平面內的任一向量都可以用一組基底表示， 基底不同，表示的方法也不同．2．利用基底表示向量，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進行 向量的線性運算．第7頁，課件共22頁，創作于2023年2月【例1】如右圖，

在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，

已知

試用c，d表示

思路點撥：直接用c，d表示

有難度，可換一個角度，

由表示，進而求解：解法一：設

則 ，①b＝

，②將②代入①得a＝

，代入②得b＝c＋第8頁，課件共22頁，創作于2023年2月解法二：設

.因M，N分別為CD，BC中點，所以

，因而?

即

第9頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，若已知 有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意 方程思想的運用．2．利用向量的坐標運算解題．主要是根據相等的向量坐標相同這一 原則，通過列方程(組)進行求解．3．利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示 向量的坐標，再用待定系數法求出線性系數．4．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現 了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，就可以使很多幾 何問題的解答轉化為我們熟知的數量運算．第10頁，課件共22頁，創作于2023年2月【例2】已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且

， 求點M、N及

的坐標． 思路點撥：由A、B、C三點的坐標易求得

的坐標， 再根據向量坐標的定義就可求出M、N的坐標．第11頁，課件共22頁，創作于2023年2月解：∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴

＝(1,8)，

＝(6,3)，∴

設M(x，y)，則有

＝(x＋3，y＋4)，∴∴M點的坐標為(0,20)．同理可求得N(9,2)，因此

＝(9，－18)，故所求點M、N的坐標分別為(0,20)、(9,2)，

的坐標為(9，－18)．第12頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．平面向量a與b(b≠0)共線的充要條件是a＝λb，用坐標表示為： a∥b?x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0)．2．向量共線的坐標表示提供了通過代數運算來解決向量共線的方法，也為 點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法．解題時要注意共線向 量定理的坐標表示本身具有公式特征，應學會利用這一點來構造函數和方 程，以便用函數與方程的思想解題．第13頁，課件共22頁，創作于2023年2月【例3】向量

＝(k,12)，

＝(4,5)，

＝(10，k)，當k為何值時，A、B、C三點共線．思路點撥：根據向量共線的充要條件，若A、B、C三點共線， 只要 滿足

(或

)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要條件求出k的值．解：解法一：∵

＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，

＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三點共線，∴

，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴ 解得k＝11或－2.解法二：接解法一，∵A、B、C三點共線，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11或－2.第14頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．向量平行的充要條件是建立向量的坐標及其運算的理論依據；平面向量的基 本定理是平面向量坐標表示的基礎．2．利用平面向量的基本定理，可將幾何問題轉化為向量問題，其具體過程大致為： (1)適當選擇基底(兩個彼此不共線向量)； (2)用基底顯示幾何問題的條件和結論； (3)利用共線向量的充要條件、向量垂直的充要條件，通過向量的運算解決平行、 垂直、成角和距離的證明和計算等問題．【規律方法總結】第15頁，課件共22頁，創作于2023年2月【例4】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t為正實數，

x＝a＋(t2＋1)b，y＝ (1)若x⊥y，求k的最大值； (2)是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范圍；

若不存在，請說明理由.

第16頁，課件共22頁，創作于2023年2月本題最易出錯的是向量的坐標運算，如計算向量x，y時，對數與向量的乘積只乘向量的一個坐標；以坐標形式的向量加減運算時，漏掉其中的某個坐標；當向量x，y垂直時數量積的運算錯誤，向量x，y平行時，向量的坐標之間的關系用錯等．如把x∥y的條件是兩個向量坐標交叉相乘之差等于零寫成交叉之積的和等于零，即： ，其結果是k＝ 這樣只要給正數t一個大于的值，就得到一個正數k，其結果就是存在的．

【錯因分析】第17頁，課件共22頁，創作于2023年2月解：x＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)，y＝(1)若x⊥y，則x·y＝0，即

整理得，k＝ ，當且僅當t＝，即t＝1時取等號，∴kmax＝(2)假設存在正實數k，t，使x∥y，則化簡得＝0，即t3＋t＋k＝0.(2)因為k、t為正實數，故不存在正數k使上式成立，從而不存在k、t，使x∥y.,【答題模板】第18頁，課件共22頁，創作于2023年2月向量的模與數量積．向量的模與數量積之間有關系式|a|2＝a2＝a·a，這是一個簡單而重要但又容易用錯的地方，由這個關系還可以得到如|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2，|a＋b＋c|＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2c·a等公式，是用向量的數量積解決向量模的重要關系式．在解決與向量模有關的問題時要仔細辨別題目的已知條件，用好向量的模與數量積之間的關系.

【狀元筆記】第19頁，課件共22頁，創作于2023年2月1．如圖，在平行四邊形ABCD中，A(1,1)，

＝(6,0)，點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P.(1)若=(3,5)，求點C的坐標；(2)當時，求點P的軌跡方程．

分析：(1)可根據兩個向量相等，對應的坐標相等求出C的坐標；(2)設出點P的坐標，用坐標表示兩個對角線所表示的向量，根據菱形的對角線互相垂直，求出P的軌跡方程．第20頁，課件共22頁，創作于2023年2月解：(1)設點C的坐標為(x0，y0)．∵ =(9,5)，∴(x0-1，y0-1)=(9,5)，∵x0=10，y0=6，即點C的坐標為(10,6)．(2)設點P的坐標為(x，y)，則