【課題】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)【教學(xué)目標(biāo)】1、能用對比的方法分析雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率).2、能說明離心率的大小對雙曲線形狀的影響,領(lǐng)會雙曲線與漸近線的關(guān)系.3、明確標(biāo)準(zhǔn)方程中、、的幾何意義.abc4、了解等軸雙曲線的概念和特征.5、能運(yùn)用雙曲線發(fā)幾何性質(zhì)或圖形特征,確定焦點(diǎn)的位置,會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【教學(xué)重點(diǎn)】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法.【教學(xué)難點(diǎn)】雙曲線的漸近線【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入22復(fù)習(xí)回顧橢圓xy1(a＞b＞0)的幾何性質(zhì)及其研究方法a2b2二、講解新課我們依照研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)的方法和步驟來研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。22對于雙曲線y1(a＞0,b＞0)的幾何性質(zhì)x22bayB2MA1F1OA2F2xB1（一）范圍，|x|≥a,即x≥a,x≤-a2x2x由標(biāo)準(zhǔn)方程可知與一個(gè)非負(fù)數(shù)的差等于a21，所以≥1，由此推得x的范圍.a2y除受到式子本身的制約外，沒有任何限制，說明雙曲線位于x≥a與x≤-a的區(qū)域內(nèi).（二）對稱性：雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都是對稱的，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，即雙曲線的中心.討論方法是以-y代y，方程不變，所以雙曲線關(guān)于x軸對稱；以-x代x，方程不變，所y軸對稱；同時(shí)以-y代y，以-x代x，方程不變，所以雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱±a,0）.令y=0,得x=±a,因此雙曲線以雙曲線關(guān)于.（三）頂點(diǎn)：只有兩個(gè)，即（討論方法是和它的一條對稱軸——x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1（－a,0），A2(a,0)，所以雙曲線的頂點(diǎn)是（令x=0時(shí)，=-b,無實(shí)數(shù)解，說明雙曲線與它的另一條對稱軸——y軸沒有交點(diǎn)，±a,0）.解得2y2故雙曲線頂點(diǎn)只有兩個(gè).2x2注意：雙曲線y1(a＞0,b＞0)與y軸沒有交點(diǎn)，但我們也把B1（0，－b),B2（0，22bab）畫在y軸上.線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，線段BB叫做雙曲線的虛軸，實(shí)軸的長為2a,虛軸的長12為2b，a是實(shí)半軸的b是虛半軸的長，長，焦點(diǎn)始終在實(shí)軸上.cc離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的叫做雙曲線的離心率.e=且e∈(1,+比eaa（四）∞)，這是因?yàn)閏＞a＞0.（五）漸線近：經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y=±b，這四條直線圍成一個(gè)矩形，矩形的兩b條對角線所在的直線的方程是y=±x，從圖中可以看a出，雙曲線y1的各支向外延伸時(shí)，與條直線逐漸接近.2x2這兩22ba證明：先取雙曲線在第一象限的設(shè)M（x,y）是它上面的點(diǎn)，N（x,y）是部分進(jìn)行證明，這一部分的方程可寫成y=b2(x＞a)2xaa直線y=bx上與aM有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則y=bxa∵y=ba2=bx1(a)2b2xaxYaax∴|MN|=Y－y=b(2)2xxaa∴|MN|=b(xx2a2)(xx2a2)axxa22ab∴|MN|=xxa22b設(shè)|MQ|是點(diǎn)x無限增大，|MN|接近于下方逐漸接近于ON.M到直線y=x的距離，則|MQ|＜|MN|，當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，a0，|MQ|也接近于0，就是說，雙曲線在第一象限部分從射線ON的在其他象限內(nèi)，也可以證明類似的情況.by=±x叫做雙曲線的漸近線.a我們把兩條直線【注1】等軸雙曲線221中，如果a=b，那么雙曲線的方程為x2－y在方程xy=ax=±a,y=±a圍成正方形.漸近線方程為y=±x，它們且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角，實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線,它的實(shí)軸和虛軸的長22a2b2都等于2a，這時(shí)四條直線互相垂直，并.【注2】雙曲線的畫法利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖，具體做法：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置，然后再過這兩個(gè)點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分.最后根據(jù)雙曲線的對稱畫性出完整的雙曲線.【注3】離心率與雙曲線的張口的大小有了雙曲線的漸近線，我們再來討論離心率對雙曲線張口大小的影響，就方便了.由等式c－a=b可得222bac2a2a(c)21e21abb由上式可以看出，e越大，也越大，即漸近線y=±x的斜率的絕對值越大，這時(shí)雙aa曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，由此可知，雙曲線的離心率越大，它的張口就越大.三、例題講解【例1】（課本110頁例1）求雙曲線9y標(biāo)、離心率、漸近線方程.解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：yx1.－16x=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐22224232由此可知，實(shí)半軸長a=4，虛半軸長b=3.ca2b242325.焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，－5），（0，5）.c5離心率e.a4漸近線方程為3，即34x.xyy4【注意】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程的方法有兩種：1、畫出以實(shí)軸長、虛軸長為鄰邊的矩形，寫出其對角線方程，特別要注意對角線的斜率的確定.2、將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為0，即得雙曲線的漸近線方程，再據(jù)此推出y=kx的形式.另外需要注意的是：若已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程則可以寫出其漸近線方程，但若已知雙曲線的漸近線方程，則不能僅據(jù)此確定a、b的值，只能確定a、b的關(guān)系，這點(diǎn)與離心率是類同的.【例2】（課本110頁例2）雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.解：如圖8—17，建立角直坐標(biāo)系xOy，使A圓的徑直AA′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上、下口的徑直CC′、BB′平行于x軸，且=13×2(m)，BB=25×2(m).CCyO1312C'CA'Ax25B'B(1)(2)2x2設(shè)雙曲線的方程為y1（a>0,b>0）2b2a令點(diǎn)C的坐標(biāo)為（13，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（25，y－55）.因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以252(y55)21,b2122132y1.2122b2252(y55)21(1)(2)122b2解方程組1322y1122b2由方程（y2）得5（負(fù)值舍去）.b12代入方程（1）得5b(55)22521221,12b2化簡得19b+275b－18150=0（3）2解方程（3）得b≈25(m).2xy21.所以所求雙曲線方程為：144625【例3】設(shè)橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)F(─4,0),F2(4,0),并且橢圓長軸長是雙曲線實(shí)軸1長的2倍，試求橢圓與雙曲線的交點(diǎn)的軌跡.解法1：設(shè)交點(diǎn)為P(x,y)，雙曲線的實(shí)半軸長為a(2<a<4)，則橢圓長半軸長為2a,2y22xy2x由半焦距為4,得它們的方程分別為：1(1)和=1(2)22a16a24a4a216(a24)(16a2)(2)4─(1)得：y2(3)化簡得：(x─5)2：用定義法求解.|FP|+|F2P|=2||F1P|─F2P||,解得：(3),代入(1)得：a2=2|x|4再代入2+y2=9或(x+5)+y=9.22解法|FP|=3|F2P|或3|F1P|=|F2P|.11即：(x4)2y23(x4)2y2或(x4)2y23(x4)2y2,化簡得：(x─5)+y=9或(x+5)+y=9.2222【備用例題】【例4】已知雙曲線C的實(shí)半軸長與虛半軸長的乘積為3,C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，12直線l過F且與直線FF的夾角為，tg=21，l與線段FF的中垂線交點(diǎn)為P，線段PF1121222與雙曲線C的交點(diǎn)為Q，且PQ：QF2=2：1，求雙曲線的方程.22F(c,0),ab=3,直線l的斜率k=tg=21，2解：設(shè)雙曲線的方程為：y=1，焦點(diǎn)為x222ba∴l(xiāng)的方程是：y=21(x─c)。令x=0,得P(0,21c)，22x02c12Q221∵=PQ=2:1，∴21c0,即Q(c)，且cc=,2ab2.36QF22y12Q4(a2b2)7(a2b2)將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得：=1，9a212b2b16()4─41()aab化簡得：2─21=0,()=3或(b)2=─7(舍).即b=3a(1)b解得：216aa又ab=3(2)由(1),(2)解得：a=1,b=3.2∴所求雙曲線的方程為：y=12x322C：y1(a＞0,b＞0)上任意一點(diǎn)xP，作x軸的平行線，交雙曲【例5】過雙曲線2b2a線的兩條漸近線于Q、R兩點(diǎn)。求證：｜PQ｜·｜PR｜為定值.22=1P（x,y0),則yx證明：設(shè)00b202aby=±xa雙曲線漸近線方程為yy0a由，得R(y,y0)byx0bayy0b由，得Q（－ay0,y0）byxa∴|PQ|·|PR|=|－ay－x0|·|ay－x0|00bb=|x02－a2y02|b2=|x02－x02+a2|=a2∴|PQ|·|PR|為定值四、課堂練習(xí)1、方程mx2＋ny2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B(A)(0,mn)(B)(0,nm)(C)(mn,0)(D)(nm,0)2、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是Dx2y2x2x2x2-y2=1和y2-=1(A)-y2=1和-=1(B)(D)39333x2y2x2x2y2(C)y2-=1和x2-3=1-y2=1和9-3=133x2y21(3,23}A的雙曲線的一個(gè)焦3、與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)916點(diǎn)到一條漸近線的距離是(C)（A）8（B）4（C）2（D）14、以y3x為漸近線，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，2）的雙曲線方程為(A)x21（B）xy21（C）2y1（D）2y1yx2x2（A）223322335、雙曲線kx2+4y2=4k的離心率小于2，則k的取值范圍是(C)（A）（-∞,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1)6、已知平面內(nèi)有一固定線段AB,其長度為4，動點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為D(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.57、已知雙曲線b2x2－a2y2=a2b2的兩漸近線的夾角為2，則離心率e為(C)acosb(D)tg2(A)arcsin(B)(C)sec8、一條直線與雙曲線兩支交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(B)(A)1(B)2(C)3(D)49、雙曲線頂點(diǎn)為（2，－1），（2，5），一漸近線方程為3x－4y＋c=0，則準(zhǔn)線方程為(D)1616(C)x29(D)y29(A)x25(B)y255510、與雙曲線x2y2mn=1(mn<0)共軛的雙曲線方程是(D)xyxyxyxy222222(A)(B)(C)(D)221mn111mnmnmn五、小結(jié)六、課后練習(xí)1.求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程：y21（1）x-8y=32；(2)9x-y=81；(3)x-y=-4；(4)x22222224925答案：（1）2a=82,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)為（42，0），（-42，0）；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(-6,0);e=32;漸近線方程為y=±2x.44（2）2a=6,2b=18;頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），（-3，0）；焦點(diǎn)坐標(biāo)（310，0），（-3