第五章

二元一次方程組認(rèn)識二元一次方程組

問題1:

我們已經(jīng)知道了方程的定義，學(xué)習(xí)了最基本的一類方程，即一元一次方程，你能舉出幾個例子，并說說它的定義嗎？問題2：

哪位同學(xué)能舉例說說你對一元一次方程概念中“元″和“次”含義的理解？元的歷史相傳，用“元”這個字表示未知數(shù)◆源于我國宋元時期的天元術(shù)；◆朱世杰在《四元玉鑒》中將天元術(shù)拓廣為四元術(shù)◆清末，李善蘭用“天、地、人、物”分別代替英文字母x、y、z、w，于是，“天、地、人、物”成表示未知數(shù)的符號，而“元”，即為未知數(shù)的統(tǒng)稱。問題3：類比一元一次方程這個概念，你認(rèn)為我們還有可能學(xué)習(xí)哪些方程？1.通過概念的正反例辨析，能準(zhǔn)確識別出二元一次方程（組），并會判斷一組數(shù)是否是某二元一次方程（組）的解.2.通過類比學(xué)習(xí)和合作交流，歸納總結(jié)出二元一次方程（組）及其解的概念，提高類比分析和歸納概括的能力.3.通過經(jīng)歷由實(shí)際題抽象為二元一次方程（組）的過程，進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，養(yǎng)成良好的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，感悟方程思想；在數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)中，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力.講授新課1知識點(diǎn)二元一次方程知識點(diǎn)設(shè)他們中有x個成人、y個兒童.由此你能得到怎

樣的方程？

昨天，我們8個人去紅山公園哇玩，買門票花了34元.每張成人票5元，每張兒童票3元.他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢？

想一想：

上面兩個問題中，我們分別得到方程x－y＝2，x＋1＝2(y－1)和x+y＝8，

5x+3y＝34．這些方程各含有幾個未知數(shù)？含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少？1、只含有兩個未知數(shù)2、未知數(shù)的最高次數(shù)是1次可以發(fā)現(xiàn)3、方程的兩邊必須是整式

二元一次整式方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．定義(1)二元一次方程的條件：

①整式方程；

②只含有兩個未知數(shù)；

③兩個未知數(shù)的系數(shù)都不為0；

④含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.(2)關(guān)于x，y二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．

例1有下列方程：①xy

＝1;②2x＝3y;③

④x2＋y＝3;⑤其中，二元一次方程有(

)

A．1個B．2個C．3個D．4個解：根據(jù)二元一次方程的條件判斷.

①含未知數(shù)的項(xiàng)xy的次數(shù)是2；③不是整式方程；

④含未知數(shù)的項(xiàng)x2，y中，x2的次數(shù)不是1.②⑤滿足二元一次方程的定義．B總

結(jié)

判斷一個方程是不是二元一次方程的方法：一看原方程是不是整式方程且只含有兩個未知數(shù)；二看化簡整理后的方程是否具備兩個未知數(shù)的系數(shù)都不為0且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.

例2(1)已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是關(guān)于x，y的

二元一次方程，則a的取值范圍是________，

b的取值范圍是________；導(dǎo)引：(1)因?yàn)榉匠?a＋2)x＋(b－3)y＝9是關(guān)于x，y的

二元一次方程，所以a＋2≠0，b－3≠0，所以

a≠－2，b≠3；a≠－2b≠3

(2)已知xm－2－yn＋1＝99是關(guān)于x，y的二元一次

方程，則m＝____，n＝____.

導(dǎo)引：(2)因?yàn)閤m－2－yn＋1＝99是關(guān)于x，y的二元一次

方程，所以m－2＝1，n＋1＝1，所以m＝3，

n＝0.30總

結(jié)

在含有字母參數(shù)的方程中，如果指明它是二元一次方程，那么它必定隱含兩個條件(1)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1且兩個未知數(shù)的系數(shù)都不為0；根據(jù)這兩個條件，可分別得到關(guān)于這個字母參數(shù)的方程或不等式(以后將學(xué)到)，由此可求得這個字母參數(shù)的值或取值范圍．2知識點(diǎn)二元一次方程的解二元一次方程的解：定義：適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，

叫做這個二元一次方程的一個解．例3若是方程4x－3y＝10的一個解，

求m的值．導(dǎo)引：緊扣二元一次方程解的定義，將解代入方程求值．解：將代入方程4x－3y＝10，得4(3m＋1)

－3(2m－2)＝10.解這個方程，得m＝0.

總

結(jié)

已知二元一次方程的解求字母的值的方法：將方程的解代入方程中，得到一個關(guān)于這個字母的新方程，解這個方程即可求出這個字母的值．探究二：二元一次方程組昨天我們8個人去紅山公園玩，買門票花了34元每張成人票5元，每張兒童票3元.他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢？紅山公園成人人數(shù)+兒童人數(shù)=8成人票數(shù)+兒童票數(shù)=34想一想：等量關(guān)系是什么？你是怎么做的？動手寫一寫！x+y=85x+3=34探究三：二元一次方程（組）的解x+y=85x+3y=34的解（1）x=6，y=2適合方程x+y=8嗎？x=5，y=3呢？你還能找到適合方程x+y=8的一組x，y的值嗎？你是怎樣確定的？（2）x=5，y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2，y=8呢？適合該二元一次方程的未知數(shù)x，y的值的個數(shù)有多少？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）你能找到一組同時適合x+y=8和5x+3y=34的x，y值嗎？你是怎樣確定的？還能找到另一組同時適合這兩個方程的未知數(shù)的值嗎？獨(dú)立完成下面三個問題，完成后組內(nèi)交流：（1）x=6，y=2適合方程x+y=8嗎？x=5，y=3呢？你還能找到適合方程x+y=8的一組x，y的值嗎？你是怎樣確定的？想-想：類比一元一次方程的解，你能試著給二元程的解下個定義嗎？它與一次方程的解有何區(qū)別？如何表示？探究三：二元一次方程（組）的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.（2）x=5，y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2，y=8呢？適合該二元一次方程的未知數(shù)x，y的值的個數(shù)有多少？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？探究三：二元一次方程（組）的解（3）你能找到一組同時適合x+y=8和5x+3y=34的x，y值嗎？你是怎樣確定的？還能找到另一組同時適合這兩個方程的未知數(shù)的值嗎？類比二元一次方程的解，你能試著給二元一次方程組的解下個定義嗎？二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解.探究三：二元一次方程（組）的解從歷史上看，二元一次方程組問題和一元一次方程問題幾乎出現(xiàn)得一樣早.對于二元問題，我們既可以選擇一個量作為未知量也可以選擇兩個量作為未知量，前者得到的是一元一次方程，后者得到的則是二元一次方程組.《九章算術(shù)》中的“三禾”問題《四元玉鑒》中的“二果問價(jià)”《孫子算經(jīng)》《算法統(tǒng)宗》一百饅頭一百僧大僧三個更無爭小僧三人分一個大小和尚各幾丁百僧分饃當(dāng)堂練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題2.二元一次方程組的解是()A. B.C.D.Cx+=1，y+x=21.下列不是二元一次方程組的是(

)A.x+y=3，x-y=1B.C.D.6x+4y=9，y=3x+4Bx=1，y=1x=1，y=32x+y=5，3x-2y=4x=1，y=2x=2，y=1x=2，y=-13.關(guān)于x、y的方程ax2+bx+2y=3是一個二元一次方程，則a、b的值分別為（）A.a=0且b=0B.a=0或b=0C.

a=0且b≠0D.a≠0且b≠0C5.已知是方程2x-4y+2a=3一組解，則a=____.6.若方程2x2m+3+3y3n-7=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m=______，n=______；x=3，y=1

12-1

837.寫出方程x+2y=5

在自然數(shù)范圍內(nèi)的所有解.x=1，y=2x=3，y=1x=5，y=08.把一根長13m的鋼管截成2m長和3m長兩種規(guī)格的鋼管，怎樣截不造成浪費(fèi)？你有幾種不同的截法？答案：2種.3m長1根、2m長5根以及3m長3根、2m長2根.課堂小結(jié)1.二元一次方程的特征：(1)是整式方程；(2)只含有兩個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；(4)能整理成ax＋by＝c的形式，且a≠0，b≠0.2．二元一次方程組的特征：(1)整個方程組(不是方程組中的每個方程)含有且只含有兩個未知數(shù)；(2)每個方程都是一次方程；(3)每個方程都是整式方程．認(rèn)識無理數(shù)第二章

實(shí)數(shù)

知識點(diǎn)1

生活中的無理數(shù)以及估計(jì)無理數(shù)的大小1.一個長方形的長與寬分別是6cm,3cm,則它的對角線的長是(D)A.整數(shù) B.分?jǐn)?shù)C.有理數(shù) D.無限不循環(huán)小數(shù)2.一個直角三角形中,兩直角邊的邊長分別為3和4,下列說法正確的是(C)A.斜邊長為25 B.周長為25C.斜邊長為5 D.面積為203.若x2=27,則x介于正整數(shù)

5

和

6

之間.

4.如圖,在3×3的方格中,有一個陰影正方形,設(shè)每一個小方格的邊長為1個單位,請解決下面的問題.(1)陰影正方形的面積是多少?(2)陰影正方形的邊長介于哪兩個整數(shù)之間?解:(1)5.(2)2和3之間.8.下列說法中正確的有(D)A.不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)B.分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)C.有理數(shù)都是有限小數(shù)D.面積為3的正方形的邊長是無理數(shù)9.有下列說法:①有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng);②直角三角形的兩邊長是5和12,則第三邊長是13;③近似數(shù)1.5萬精確到十分位;④無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).其中錯誤的個數(shù)是(B)A.4 B.3 C.2 D.111.若x2=10,則x

不是

分?jǐn)?shù),

不是

整數(shù),

不是

有理數(shù).(填“是”或“不是”)

12.如圖所示的是面積分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形.邊長是有理數(shù)的正方形有

3

個,邊長是無理數(shù)的正方形有

6