命題與證明(三)執(zhí)教：潘市鎮(zhèn)第一中學(xué)尹玲第1頁(yè)abab動(dòng)腦筋復(fù)習(xí)回顧判斷一個(gè)命題是不是真命題需要講道理，講道理過程叫證實(shí)。怎樣證實(shí)？從一個(gè)命題條件出發(fā)，經(jīng)過講道理（推理），得出它結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)推理過程叫作證實(shí)。怎樣判斷一個(gè)命題是不是真命題？如圖，線段a、b一樣長(zhǎng)嗎？第2頁(yè)圖中兩個(gè)正方形哪個(gè)大？

觀察、操作、試驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物主要伎倆，而且人們能夠從中猜測(cè)發(fā)覺出一些結(jié)論.直觀是主要,但它有時(shí)也會(huì)騙人.第3頁(yè)經(jīng)過觀察,先猜測(cè)結(jié)論,再動(dòng)手驗(yàn)證:1.如圖,一組直線a,b,c,d是否都相互平行?abcdabcd動(dòng)腦筋2.當(dāng)n=0,1,2,3,4時(shí),代數(shù)式n2-3n+7值分別是7,5,5,7,11,它們都是素?cái)?shù),那么,命題“對(duì)于自然數(shù)n,代數(shù)式n2-3n+7值都是素?cái)?shù)”是真命題嗎?第4頁(yè)

做一做采取剪拼或度量方法，猜測(cè)“三角形外角和”等于多少度.從剪拼或度量能夠猜測(cè)三角形三個(gè)外角之和等于360°

，不過剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是靠近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能靠近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得360°．

另外，因?yàn)椴灰粯有螤钊切斡袥]有數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量方法來一一驗(yàn)證，所以，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形外角和都為360°．此時(shí)猜測(cè)出命題僅僅是一個(gè)猜測(cè)，未必都是真命題．要確定這個(gè)命題是真命題，還需要經(jīng)過推理方法加以證實(shí).第5頁(yè)證實(shí)命題“三角形外角和為360°”是真命題.動(dòng)腦筋已知：如圖∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC三個(gè)外角.求證︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°證實(shí):∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第6頁(yè)經(jīng)過剛才三站“證實(shí)”之旅，你能說出完整幾何命題證實(shí)需要哪幾個(gè)步驟嗎？（1）依據(jù)題意，畫出圖形。（2）結(jié)合圖形，寫出已知求證（3）寫出證實(shí)過程，而且步步有依據(jù)。結(jié)論依據(jù)(定義)(定理)(推論)(基本事實(shí))（真命題）條件結(jié)論

數(shù)學(xué)上證實(shí)一個(gè)命題時(shí)，通常從命題條件出發(fā)，利用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證實(shí)了定理和推論，通過一步步推理，最終證實(shí)這個(gè)命題結(jié)論成立.

證實(shí)每一步都必須要有依據(jù).推理第7頁(yè)

例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA延長(zhǎng)線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.舉例證實(shí)：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），

∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）第8頁(yè)例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中最少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題結(jié)論是“最少有一個(gè)”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.假如直接來證實(shí)，將很繁瑣，所以，我們將從另外一個(gè)角度來證實(shí).證實(shí)假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個(gè)角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.所以，∠A，∠B，∠C中最少有一個(gè)角大于或等于60°.第9頁(yè)

像這么，當(dāng)直接證實(shí)一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們能夠先假設(shè)命題不成立，然后利用命題條件或相關(guān)結(jié)論，經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證實(shí)命題正確，這種證實(shí)方法稱為反證法.

反證法是一個(gè)間接證實(shí)方法，其基本思緒可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，必定結(jié)論”.反證法步驟：假設(shè)結(jié)論反面成立→邏輯推理得出矛盾→必定原結(jié)論正確結(jié)論第10頁(yè)(1).證實(shí)命題：一個(gè)角兩邊分別平行于另一個(gè)角兩邊，且方向相同，則這兩個(gè)角相等。已知：如圖，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求證：∠B=∠B’

證實(shí)：∵AB∥A’B’

（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’

（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知兩直線平行，同位角相等

已知兩直線平行，同位角相等等量代換練習(xí)1.在括號(hào)內(nèi)填上理由.第11頁(yè)(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證實(shí)：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°（

）.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證實(shí)：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）第12頁(yè)3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證實(shí)：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對(duì)頂角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.求證：a//bAabc證實(shí)：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A

就有兩條直線a、b分別與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾,故假設(shè)不成立。

∴a//b.第13頁(yè)已知：如圖，AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD，EG、FH分別是∠AEF和∠EFD平分線；求證：EG∥FH1)兩條平行線一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角平分線相互平行.ABCDEFGH2)垂直于同一直線兩直線平行；3)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；鞏固練習(xí)abc1233)abc122)2、3題請(qǐng)畫出圖形，寫出已知、求證。1、證實(shí)下述命題。第14頁(yè)2、如圖，AB∥CD，MG、NH分別平分∠BMF和∠CNE，求證：MG∥NH3、如圖，已知AB∥CD，∠C=∠D，求證∠AMB=∠ENFNABCHMEFGD(2題)ABCMNFED(3題)中考試題1.如圖∠1=∠2，那么∠3+∠4=

。2、如圖AB∥CD，∠1=115°，∠A=75°，則∠E=

。abcd12341題ABCDE12題180°40°第15頁(yè)中考試題3、如圖AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，則∠CAB=

.4、如圖AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，則∠C=

.5、已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBD=37°，則∠BDE=

.6、如圖AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，則∠BAC=

.ABCD3題ABCDE124題ACBDE5題ADBC