-PAGE2-專題復習歸納與猜想歸納與猜想問題指的是給出一定條件（可以是有規律的算式、圖形或圖表），讓學生認真分析，仔細觀察，綜合歸納，大膽猜想，得出結論，進而加以驗證的數學探索題。其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發現規律→綜合歸納→猜想得出結論→驗證結論，這類問題有利于培養學生思維的深刻性和創造性。一、知識網絡圖猜想性問題猜想性問題猜想規律型猜想結論型猜想數式規律猜想圖形規律猜想數值結果猜想數量關系猜想變化情況二、基礎知識整理猜想規律型的問題難度相對較小，經常以填空等形式出現，解題時要善于從所提供的數字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規律。其中蘊含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現了總結歸納的數學思想，這也正是人類認識新生事物的一般過程。相對而言，猜想結論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學論證、具體應用的結合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。由于猜想本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發現新知的重要手段，非常有利于培養創造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的又一熱點。范例精講【歸納與猜想】例1觀察右面的圖形（每個正方形的邊長均為1）和相應等式，探究其中的規律：①①1×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)②2×eq\f(2,3)＝2－eq\f(2,3)③3×eq\f(3,4)＝3－eq\f(3,4)④4×eq\f(4,5)＝4－eq\f(4,5)……⑴寫出第五個等式，并在右邊給出的五個正方形上畫出與之對應的圖示：⑵猜想并寫出與第n個圖形相對應的等式。解：⑴5×eq\f(5,6)＝5－eq\f(5,6)⑵。例2〖歸納猜想型〗將一張正方形紙片剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，再將其中的一小片正方形紙片剪成四片，如此循環進行下去，將結果填在下表中，并解答所提出的問題：所剪次數12345…正方形個數47101316…⑴如果能剪100次，共有多少個正方形？據上表分析，你能發現什么規律？⑵如果剪n次共有An個正方形，試用含n、An的等式表示這個規律；⑶利用上面得到的規律，要剪得22個正方形，共需剪幾次？⑷能否將正方形剪成2004個小正方形？為什么？⑸⑹試猜想a1＋a2＋a3＋…＋an與原正方形邊長的關系，并畫圖示意這種關系．解：⑴100×3＋1＝301，規律是：本次剪完后得到的小正方形的個數比上次剪完后得到的小正方形的個數多3個；1a1a2a31a1a2a3⑶若An＝22，則3n＋1＝22，∴n＝7，故需剪7次；⑷若An＝2004，則3n＋1＝2004，此方程無自然數解，∴不能將原正方形剪成2004個小正方形；⑸an＝eq\f(1,2n)；⑹a1＝eq\f(1,2)＜1，a1＋a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＜1，a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)＜1，……從而猜想到：a1＋a2＋a3＋…＋an＜1.直觀的幾何意義如圖所示。例3下圖中，圖⑴是一個扇形AOB，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖⑵所示，以OA的一半OA1為半徑畫弧，再作∠AOB的平分線，得到扇形的總數為6個，分別為：扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1；解：當n＝1時，S＝1；當n＝2時，S＝eq\f(3,4)＝（eq\f(3,4)）2－1；當n＝3時，S＝eq\f(9,16)＝（eq\f(3,4)）3－1；當n＝4時，S＝eq\f(27,64)＝（eq\f(3,4)）4－1；所以，第n個圖形中非陰影部分的面積為（eq\f(3,4)）n－1；點撥：認真分析n、S與eq\f(3,4)三者之間存在的內在關系探求其規律。隨著信息技術的高速發展，電話進入了千家萬戶，據調查某校初三⑴班的同學家都裝上了電話，暑假期間全班每兩個同學都通過一次電話，如果該班有56名同學，那么同學們之間共通了多少次電話？為解決該問題，我們可把該班人數n與通電話次數s間的關系用下列模型來表示：⑴若把n作為點的橫坐標，s作為縱坐標，根據上述模型中的數據，在給出的平面直角坐標系中，描出相應各點，并用平滑的曲線連接起來；⑵根據圖中各點的排列規律，猜一猜上述各點會不會在某一函數的圖象上？如果在，求出該函數的解析式；⑶根據⑵中得出的函數關系式，求該班56名同學間共通了多少次電話．解：⑴略；⑵根據圖中各點的排列規律，猜想各點可能在一個二次函數的圖象上，用待定系數法可求得s＝n2－n；⑶當n＝56時，s＝1540；圖1圖2在數學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），設計如圖1所示的幾何圖形。圖1圖2⑴請你利用這個幾何圖形，求的值為；⑵請你利用圖2，再設計一個能求的值的幾何圖形。解：（1）；（2）如圖1或如圖2或如圖3或如圖4等，圖形正確。如圖，正方形表示一張紙片，根據要求需多次分割，把它分割成若干個直角三角形．操作過程如下：第一次分割，將正方形紙片分成4個全等的直角三角形，第二次分割將上次得到的直角三角形中一個再分成4個全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法進行下去．⑴請你設計出兩種符合題意的分割方案圖；⑵設正方形的邊長為a，請你就其中一種方案通過操作和觀察將第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面積S填入下表：分割次數n123…最小直角三角形的面積Sa2…⑶在條件⑵下，請你猜想：分割所得的最小直角三角形面積S與分割次數n有什么關系？用數學表達式表示出來．解：⑴現提供如下三種分割方案：⑵每次分割后得到的最小直角三角形的面積都是上一次最小直角三角形面積的，所以當n＝2時，S2＝×a2＝a2；當n＝3時，S3＝S2＝a2；⑶當分割次數為n時，Sn＝a2（n≥1，且n為正整數）．下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規律排列而組成的．①①②③……⑴觀察圖形，填寫下表：圖形①②③正方形的個數81318圖形的周長182838⑵推測第n個圖形中，正方形的個數為5n＋3，周長為10n＋8（都用含n的代數式表示）；⑶這些圖形中，任意一個圖形的周長y與它所含正方形個數x之間的關系式為y＝2x＋2．定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形。探究：一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結三角形各邊中點，則可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形。我們把△DEF（圖乙）第一次順次連結各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）……依次規則操作下去。n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數），設此時小三角形的面積為Sn.⑴若△DEF的面積為10000，當n為何值時，2＜Sn＜3？（請用計算器進行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）⑵當n＞1時，請寫出一個反映Sn－1，Sn，Sn＋1之間關系的等式（不必證明）。解：⑴△DEF經n階分割所得的小三角形的個數為，∴Sn＝當n＝5時，S5＝≈9.77；當n＝6時，S6＝≈2.44；當n＝7時，S7＝≈0.61；∴當n＝6時，2＜S6＜3；⑵S＝S×S；（寫出S＝4S，S＝4S可得2分）據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連結得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括為“勾三、股四、弦五”。⑴觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算eq\f(1,2)（9－1）、eq\f(1,2)（9＋1）與eq\f(1,2)（25－1）、eq\f(1,2)（25＋1），并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；⑵根據⑴的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；⑶繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過。運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦。【考生注意】：除第⑵小題中已發現的相等關系之外，你還有其他新的發現，并能正確證明，將酌情另加1～3分。分析：本題是研究勾股數，考查學生觀察、分析、類比、猜想、驗證和證明。解：⑴∵eq\f(1,2)（9－1）＝4，eq\f(1,2)（9＋1）＝5；eq\f(1,2)（25－1）＝12，eq\f(1,2)（25＋1）＝13；∴7，24，25的股的算式為：eq\f(1,2)（49－1）＝eq\f(1,2)（72－1）弦的算式為：eq\f(1,2)（49＋1）＝eq\f(1,2)（72＋1）；⑵當n為奇數且n≥3，勾、股、弦的代數式分別為：n，eq\f(1,2)（n2－1），eq\f(1,2)（n2＋1）。例如關系式①：弦－股＝1；關系式②：勾2＋股2＝弦2；證明關系式①：弦－股＝eq\f(1,2)（n2＋1）－eq\f(1,2)（n2－1）＝eq\f(1,2)［（n2＋1）－（n2－1）］＝1；或證明關系式②：勾2＋股2＝n2＋［eq\f(1,2)（n2－1）］2＝eq\f(1,4)n4＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)（n2＋1）2＝弦2；∴猜想得證。⑶例如探索得，當m為偶數且m＞4時，股、弦的代數式分別為：（eq\f(m,2)）2－1，（eq\f(m,2)）2＋1。【另加分問題】例如：連結兩組勾股數中，上一組的勾、股與下一組的勾的和等于下一組的股。即上一組為：n，eq\f(1,2)（n2－1），eq\f(1,2)（n2＋1）（n為奇數且n≥3），分別記為：A1、B1、C1，下一組為：n＋2，eq\f(1,2)［（n＋2）2－1］，eq\f(1,2)［（n＋2）2＋1］（n為奇數且n≥3），分別記為：A2、B2、C2，則：