現實復雜條件下sirs型傳染病模型的穩定性與控制

染相分離的最佳組合策略傳染病動態研究不僅在預防疾病方面發揮著重要作用，而且在社會科學領域也發揮著巨大的作用，比如由人類因素引起的集體行為。在傳染病動力學中,假設群內個體總量為常數的傳染病研究,人們已經取得相當豐碩和完整的成果。然而,種群內一般都存在出生、(自然和非自然)死亡、外來個體遷入等情況發生,這些經常導致種群總量并不固定。因此,部分文獻轉向了種群數量不定情形下的傳染病模型研究,如文獻研究個體會死亡的傳染病模型;文獻研究了含有脈沖生育的傳染病模型;文獻則聯合考慮了傳染密度與出生和死亡有關的傳染病模型;文獻研究存在外來遷入情形的傳染病模型;文獻[10-12]研究通過垂直傳播的傳染病模型;文獻研究了具有隔離干預的SIRS傳染病模型;文獻則聯合考慮了生育、死亡、外來遷入以及疾病垂直傳播等因素的傳染病模型。上述文獻均通過模型的穩定性定理獲得一些有意義的疾病控制定性策略。然而,到目前為止,在一個模型中同時考慮個體出生與死亡、遷入、疾病水平和垂直傳播、實施隔離措施卻不完全到位等這些復雜而又具有廣泛現實代表性的SIRS型傳染病模型的相關研究,并不多見。從疾病控制角度來看,由單純考慮生育(或死亡,或外來遷入等)的傳染病模型推導出來的疾病控制策略(如控制疾病垂直傳播、滅絕染病個體、隔離染病個體等),往往具有極端傾向性,要么違背人道主義,要么不計較成本代價,都無法勝任現實復雜情形下的傳染病控制。顯然,組合策略是必須的。然而,組合策略中各種純策略的輕重緩急該如何考慮,組合策略中的人道主義、救治代價與傳染病控制效果又該如何折衷等等,這些問題都亟待解決。本文研究的SIRS型傳染病模型,就是考慮到現實世界中的傳染病傳播和控制過程中可能存在下列情形:1)疾病可通過水平和垂直傳播;2)群內個體會生育;3)群內個體有死亡(自然和非自然);4)對染病個體采取隔離措施但不完全到位;5)群外易感個體遷入。首先對此復雜情形下的SIRS類型傳染病的傳播機理建立數學模型,證明該傳染病模型的無病平衡點及地方病平衡點的存在性以及漸近穩定性,繼而從基本再生數以及折衷考慮人道主義、救治代價與疾病控制效果的原則,針對流行于人類的傳染病,提出“優先隔離染病個體、提高疾病治愈率以及控制傳染病垂直傳播”的傳染病綜合控制策略。該策略的新穎之處在于,它既不茍同于“不計成本地提高疾病治愈率”建議,也相異于“不顧人道主義精神、滅絕染病個體或剝奪染病個體生育權”策略;而是通過優先采取控制傳染源、提高疾病治愈率、控制傳染病垂直傳播等措施,既迅速地控制住傳染病傳播,又降低控制疾病傳播代價。最后,對模型穩態結論及傳染病控制策略進行數值仿真。本研究有助于深入理解傳染病的傳播機理和制定量化的疾病控制策略。1傳染病模型及其穩定性分析1.1模型的兼容性將所研究的種群分為易感個體、染病個體以及康復個體,并以S=S(t),I=I(t),R=R(t)分別表示三類個體的數量。在建立模型之前,先做如下基本假設:(1)假設傳染病既可通過有效接觸傳播,也可通過垂直傳播。(2)β(N)是傳染病通過有效接觸進行傳播的傳播系數,N為某時刻種群數量,β(N)I為傳染率。假定β(N)是連續可微、非負函數,且β′(N)≤0,[Nβ(N)]′≥0。(3)假設對染病個體采取隔離措施,并以ε∈表示隔離率,因此,染病個體I被細分為I1(未被隔離染病個體)和I2(被隔離染病個體)。(4)允許外界易感個體遷入到種群中,并假設易感個體的輸入率為大于0的常數SA。但原則上禁止外界染病個體遷入群內。(5)以b>0表示群體的自然生育率。假設傳染病會對患者的生育能力造成影響,并用1-δ(0≤δ≤1)表示染病者的生育能力。假設染病個體生產的新生個體不一定全部染病,并以ρ(0≤ρ≤1)表示新生個體中非染病的比例。(6)d∈表示種群的自然死亡率;d∈為染病個體的死亡率。(7)γ∈表示治愈率。σ∈表示康復個體失去免疫力轉變為易感個體的幾率,從而σ=0表示康復個體具有永久免疫力(即SIR模型),σ=1則表示康復個體等同于易感個體(即SIS模型)。因此,本文研究的模型具有兼容性。根據上述假設以及均勻場理論,建立如下傳染病數學模型式中,S≥0,I=I1+I2,I1≥0,I2≥0,R≥0。1.2d>b時無病平衡及模型的構建下面僅討論種群的自然死亡率大于種群自然的生育率情況,即d>b。至于其他情形,如d=b以及d<b可類似討論,限于篇幅,不贅述。若以N(t)=S(t)+I(t)+R(t)表示種群成員總數量,并簡記為N,則由式(1)可得從而因此,易知集合?={(S,I,R)S,I,R≥0;S+I+R≤N0}為模型(1)的正不變集。以下定理均在此集合內討論。定理1當d>b時,模型(1)在正不變集?內總存在唯一無病平衡點P0(S0,I0,R0)=(N0,0,0),其中N0=As(d-b);當N*是方程在(0,N0)上的唯一解;證明:在平衡點處應有S′=0,I1′=0,I2′=0和R′=0,即:(1)若I1=0和I2=0,則式(4)可簡化為當d>b時,直接計算得到無病平衡點(2)若I1≠0或I2≠0,即I≠0,則首先合并式(4)的第二、三個等式得由式(4)的第三個等式以及I=I1+I2分別得從而式(A2)可簡化為由式(4)的第四個等式得由式(4)中四個等式相加并整理得將S=N-I-R代入式(6)得令上式左邊為F(N),則由假設(2)(β′(N)≤0和[Nβ(N)]′≥0)以及d>b,知F′(N)≥0。又因為(上式成立是因為β(0)>0,d>b以及0≤ρ,δ≤1)(上式成立是因為N0=As(d-b)以及假設0R>1),由中值定理知,方程F(N)=0在(0,N0)上有唯一解N*。從而,當0R>1時,模型(1)存在唯一地方病平衡點P*(S*,I*,R*)。[證畢]定理2對于模型(1),當d>b和0R≤1,無病平衡點0P是全局漸近穩定的;當d>b和0R>1時,地方病平衡點P*是局部漸近穩定的。證明:對模型(1)進行變量代換N=S+I+R,得到等價模型相應地,模型(1)的平衡點就變換為方程(7)的平衡解P′0(S0,I0,I10,N0)=(N0,0,0,N0)以及P′*(S*,I*,I1*,N*),其中N0=As(d-b),N*由式(3)確定,下面分別分析無病平衡點與地方病平衡點的穩定性。(1)模型(7)在平衡點0P′處的Jacobian矩陣為容易看出,(b-d-σ)和(b-d)均為J(P0′)的負特征根;其余2個特征根則由決定。由(上式成立是因為0R<1),知K(P′0)的2個特征根均具有負實部。從而,當d>b和0R<1時,J(P0′)的4個特征根均具有負實部。因此,模型(7)的平衡點P′0是局部漸近穩定的。這等價于模型(1)的無病平衡點0P也是局部漸近穩定的。又由于在正不變集內,(2)模型(7)在平衡點P′*處的Jacobian矩陣分別為決定。由于(a)J′(P′*)的所有奇數階順序主子式(上式成立,是因為d>b,β(N)≥0,β′(N)≤0以及(b)J′(P′*)的所有偶數階順序主子式知J′(P′*)為負定矩陣。進而知J(P′*)所有4個特征根均具有負實部。因此,當0R>1時,模型(7)的平衡點P′*是局部漸近穩定的。這等價于模型(1)的地方病平衡點P*也是局部漸近穩定的。【證畢】2“復配”的效果注意到模型(1)推導出的基本再生數其中N0=AS(d-b)。根據定理2,知當d>b時(即種群的自然死亡率大于種群自然的生育率),要控制此類傳染病傳播并最終消滅它(即達到無病平衡點0P),就要使0R≤1,即因此,通過直接分析式(8),可得到如下傳染病控制策略:(1)增大ε,并盡可能地使ε→1,即在傳染病傳播期間,對染病人群采取及時有效的強制隔離措施(即控制傳染源)。(2)考慮到“對所有染病個體進行完全有效的隔離”措施也不太切合實際,而且種群的自然死亡率d以及種群正常的生育率b不可能在短時間內有太大變化,我們注意到(8)式的左邊含有β(N0)N0,而[β(N)N]′N≥0,N0=AS(d-b),從而減小SA(即控制外來易感人群的遷入),N0減小,從而降低疾病接觸傳播的平均幾率β(N0)N0。(3)提高染病個體的死亡率,比如捕殺疫區的染病個體;然而,對于染病人類,滅絕措施是非人道的,則可考慮采取提高染病人群的治愈率γ。(4)控制染病個體的生育率(即增大δ)以及提高醫療技術水平降低新生個體中染病幾率(即增大ρ),來減少產生新的染病個體。注意到參數σ(表示康復個體失去免疫力重新轉變為易感個體的幾率)并沒有進入(8)式,這表明通過改變參數σ對控制傳染病傳播并最終消滅它并不能發揮重要作用。然而,提高σ,對于改善群體整體健康水平大有幫助。不難發現,上述四種傳染病控制措施,在人們斗爭SARS、禽流感、甲型HINI流感等傳染病的實踐中均被采納過;然而,它們都不是以單純策略的形式出現。在現實世界中,控制傳染病的策略往往要綜合考慮人道主義、無條件救治代價與疾病控制效果:對于那些可以盡快得到治愈的傳染傳染病,對染病個體優先采取隔離措施,總比采取滅絕措施要人道的多;但如果傳染病治愈花費高昂且存在極大的擴散風險,則應考慮提高染病個體死亡率,必要時可放棄治療或人為滅殺染病個體,既減少不必要的全力救助代價,又避免引起社會恐慌。3數值模擬3.1理論與仿真結果對SIRS模型(1)進行數值仿真時,取初始群體為2000,并任意設置易感人群總數為500,占總體25.%;感染人群總數為50,占2.5%,期初無染病個體隔離;其余為康復人群。任意選擇滿足β′(N)≤0和[Nβ(N)]′≥0約束條件的表達式,如β(N)≡1N45;并取如下2組參數:代入式(4)中,得基本再生數0R=0.9980和0R=2.8523。由定理1和定理2知,參數組(1)對應于唯一無病平衡點P0(S0,I0,R0)=(50,0,0);參數組(2)對應于唯一地方病平衡點P*(S*,I*,R*)=(16,149,74)。仿真結果(見圖1)與理論計算結果一致。由圖1(a)和(b)不難看出,盡管初始感染人群僅占總群體的2.5%,但病毒在均勻混合的SIR群體中得到快速傳播:圖1(a)顯示染病個體最高峰為213人,圖1(b)則顯示染病個體一度達到1200人;不同的是,圖1(a)顯示傳染病迅速得到控制,代價是絕大多數個體死亡(包括正常和非正常);而圖1(b)顯示,盡管短期內傳染病爆增,但隨后逐漸減少,直至形成穩定的地方病狀態。圖1的仿真結果驗證了定理1和定理2。3.2傳染病防控策略針對流行于人類的傳染病,前文第2節建議“折衷考慮人道主義、無條件救治代價與疾病控制效果”的傳染病綜合控制策略,提出“優先隔離染病個體、提高疾病治愈率以及控制傳染病垂直傳播”的措施。本節并對此綜合策略進行效果仿真。仿真時取下面參數組:得到圖2所示的傳染病動態傳播過程。圖2顯示,采取綜合控制策略后,盡管穩態結果是地方病(388,80,357)狀態,但傳染病在整個動態傳播過程中,既沒有惡性地爆發到如同圖1(b)所示的1200人染病高峰值(本次仿真結果的染病個體最高峰值為301人);地方病的穩態結果也優于圖1(b)(低于圖1(b)顯示的穩定染病個體數為149);更為重要的是,本次仿真的總存活群體數量825人,要遠大于仿真圖1(b)顯示的240人,這表明采取綜合控制策略,沒有發生如同圖1(b)那樣的嚴重個體死亡現象。與第2節提出的純策略相比較,綜合策略的優越性表現為:它既不需要對全體染病個體實施最嚴格的隔離措施(即要求ε=1,從而導致控制成本過高),也不要求完全禁止外來易感個體自由進入群內(即要求SA=0),更不需要完全剝奪染病個體的生命權和生育權利(即要求d=1,δ=1,從而導致社會恐慌);而是通過優先采取隔離染病個體(ε=0.9)、提高疾病治愈率(γ=0.9)以及適當控制傳染病垂直傳播(ρ=0.5,δ=0.1)等措施,既迅速地控制住了傳染病傳播,又降低了傳染病控制代價。綜合控制策略的成功之處,在于折衷考慮人道主義、疾病控制代價(如隔離成本、傳染病救治成本、社會恐慌代價等等)以及傳染病控制效果。4對傳染病控制策略的價值本文研究的現實復雜情形(包含非線性