第六章平面向量及其應用6.3.1平面向量基本定理教學目標

了解平面向量基本定理（重點）

01

理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（重點）

02

初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法（難點）

03

能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.

04學科素養

平面向量基底定理理解數學抽象

平面向量基底定理理解直觀想象

用基底表示向量邏輯推理

用基底表示向量數學運算

數據分析

用向量解決實際問題數學建模01知識回顧RetrospectiveKnowledgeOABACB向量的加法：三角形法則中強調“首尾相連”；平行四邊形法則中強調的是“共起點，不共線”.向量的減法（三角形法則）：(1)起點相同；

(2)減向量的終點指向被減向量的終點.

一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，它的長度與方向規定如下∶設λ、μ為實數，那么(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(1)|λa|=|λ||a|；(2)λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；

向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量的線性運算的結果仍是向量.02知識精講

ExquisiteKnowledge

我們學習了向量的運算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.類似地，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢？

我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力．我們可以根據解決實際問題的需要，通過作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的合力.

類似地，我們能否通過作平行四邊形，將向量a分解為兩個向量，使向量a是這兩個向量的和呢？探究

如圖（1），設是同一平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量.如圖（2），在平面內任取一點O，作，

.將按的方向分解，你有什么發現？圖（1）圖（2）由共線可知,存在實數，使得：所以即

如圖，過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于點M;過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于點N，根據向量的平行四邊形法則，有也就是說，與都不共線的向量都可以表示成的形式.當與或共線的非零向量時，也可以表示成的形式；當是零向量時，同樣可以表示成的形式.（為什么？）當是與或共線的非零向量時，也可以表示成的形式.當是零向量時，同樣可以表示成的形式.綜上所述：平面內任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的.

（為什么是唯一的？）綜上所述：平面內任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的.

（為什么是唯一的？）如果還可以表示成的形式，那么,

可得：，

所以.

如果不全為0，

不妨設，那么，由此可得共線，這與已知不共線相矛盾.

所以，

即有且只有一對實數，使

平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．

如果e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．

由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一個基底唯一表示，這為我們研究問題帶來了極大的方便【練習】判斷正誤(1)平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底．(

)(2)基底中的向量可以是零向量．(

)(3)平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．(

)(4)已知e1，e2是平面α內兩個不共線向量，若存在實數λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.(

)√ⅹ√√平面向量相等的充要條件

如果e1，e2不共線，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么【練習】已知e1，e2不共線，且a=

e1+

2e2，b=ke1-e2，若a//b,則實數k的值為：

.

【例1】如圖，不共線，且，用表示.【解析】因為，所以因為A，B，P三點共線，所以系數和等于1，即(1-t)+t=1．【例2】如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝

AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形．CADB【證明】如圖，設所以因為，所以CD＝DA．所以．因此CA⊥CB．結論成立．則因為03拓展提升ExpansionAndPromotion已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為________．已知ΔABC的重心為G，求證：.04歸納總結SumUp平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．平面向量相等的充要條件

如果e1，e2不共線，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么05課后作業HomeworkAfter