第第頁2022-2023學年遼寧省沈陽市某中學八年級（下）期中數學試卷（含解析）2022-2023學年遼寧省沈陽市某中學八年級（下）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.小明每分鐘跳繩次數的正常范圍為少于次，但不少于次，若表示小明每分鐘跳繩的次數，則用不等式表示為()

A.B.C.D.

2.使分式有意義的的取值范圍為()

A.B.C.D.

3.下列從左邊到右邊的變形是因式分解的是()

A.B.

C.D.

4.把某不等式組中兩個不等式的解集表示在數軸上，如圖所示，則這個不等式組可能是()

A.B.C.D.

5.下列分式是最簡分式的是()

A.B.C.D.

6.如圖所示，點是內一點，平分，于點，連接，若，，則的面積是()

A.

B.

C.

D.

7.若分式中的，都擴大倍，則該分式的值()

A.不變B.擴大倍C.擴大倍D.縮小為原來的

8.如圖，在中，，為上一點，，，則的度數為()

A.B.C.D.

9.用反證法證明命題“三角形中必有一個內角不小于”時，首先應假設：這個三角形中()

A.有一個內角小于B.有一個內角大于

C.每一個內角都小于D.每一個內角都大于

10.若關于的不等式組的整數解恰有個，則的取值范圍為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.多項式因式分解時，應提取的公因式是______．

12.如圖，將沿所在的直線平移得到若，，則______．

13.對于非零實數，，規定，若，則______．

14.如圖，正方形的兩邊、分別在軸、軸上，點在邊上，以為中心，把旋轉，則旋轉后點的對應點的坐標是___________．

15.某自來水公司的收費標準如下：若每戶每月用水不超過立方米，則每立方米收費元；若每戶每月用水超過立方米，則超出部分每立方米收費元小穎家每月水費都不少于元，則小穎家每月用水量至少是______立方米．

16.如圖，在中，，，，點為上一點，將線段繞點順時針旋轉得線段，點在射線上，當的垂直平分線經過一邊中點時，的長為______．

三、解答題（本大題共9小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．

18.本小題分

把下列各式因式分解：

；

．

19.本小題分

已知，求代數式的值．

20.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標分別為，，．

解答下列問題：

與關于點成中心對稱，請畫出點，，的對應點分別為點，，；

將先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到請畫出點，，的對應點分別為點，，；

格點滿足射線平分，則點的坐標為______．

21.本小題分

下面是小明設計的“作一個含角的直角三角形”的尺規作圖過程．

已知：如圖，直線及直線上一點求作：，使得，．

作法：如圖，

在直線上取點；

分別以點，為圓心，長為半徑畫弧，交于點，；

作直線，交直線于點；

連接．

為所求作三角形．

根據小明的設計，解答下列問題：

使用直尺和圓規，依作法補全圖形保留作圖痕跡；

寫出證明過程和依據．

證明：連接，，．

，

是______三角形，

，

，______，

點，在線段的垂直平分線上______，

，

，

______，

．

22.本小題分

如圖，在中，，為外一點，且，，請寫出線段，與之間的數量關系，并證明你的結論．

23.本小題分

某小區改造一段總長米的下水道管線，實際施工時，每天的施工效率比原計劃提高了，可提前天完成任務．

求實際施工時，每天改造下水道管線的長度；

施工進行天后，為了減少對小區居民日常生活的影響，施工單位決定再次加快施工進度以確保總工期不超過天，那么以后每天改造下水道管線至少還要增加多少米？

24.本小題分

在中，，，將繞點按逆時針方向旋轉，得到，旋轉角為，點的對應點為點，點的對應點為點．

如圖，設邊與交于點，邊分別交，于點，．

求證：；

當為等腰三角形時，請直接寫出的長；

當時，連接，，請直接寫出的面積；

在旋轉過程中，當的面積的最大時，請直接寫出的長．

25.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，直線：與軸交于點，與直線交于點．

求，的長；

直線分別交直線，于點，，直線與直線，交于點，，若，求的值；

在的條件下，將沿射線的方向以每秒個單位長度的速度勻速平移，設移動時間為秒在移動的過程中，點到直線，的距離相等，請直接寫出此時的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根據題意得：．

故選：．

根據“小明每分鐘跳繩次數的正常范圍為少于次，但不少于次”，即可列出關于的一元一次不等式組，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．

2.【答案】

【解析】解：分式有意義，

．

解得：．

故選：．

分式有意義的條件是分母不等于零．

本題主要考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不等于零是解題的關鍵．

3.【答案】

【解析】解：，從左邊到右邊的變形是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；

B.多項式在實數范圍內不能因式分解，故本選項不符合題意，

C.，從左邊到右邊的變形是因式分解，故本選項符合題意；

D.，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

故選：．

根據因式分解的定義逐個判定即可．

本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關鍵，把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．

4.【答案】

【解析】解：依題意得這個不等式組的解集是：．

A、解集是：，故A錯誤；

B、解集是：，故B錯誤；

C、解集是：，故C正確；

D、解集是：，故D錯誤；

故選：．

本題根據數軸可知的取值為：，將不等式變形，即可得出關于的不等式組．把各個選項的解的集合寫出，進行比較就可以得到．

考查不等式組解集的表示方法．實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，向右、向左．

5.【答案】

【解析】解：、，不是最簡分式，不符合題意；

B、，不是最簡分式，不符合題意；

C、，是最簡分式，符合題意；

D、，不是最簡分式，不符合題意；

故選：．

根據分式的基本性質、最簡分式的概念判斷即可．

本題考查的是最簡分式，一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．

6.【答案】

【解析】解：過作于點，

平分，，

，

，

故選：．

根據角平分線的性質求出，最后用三角形的面積公式即可解答．

此題考查角平分線的性質，關鍵是根據角平分線的性質得出解答．

7.【答案】

【解析】解：根據題意得：，

即若分式中的，都擴大倍，則該分式的值不變．

故選：．

根據題意列出算式，再根據分式的基本性質進行計算即可．

本題考查了分式的基本性質，能根據分式的基本性質進行化簡是解此題的關鍵．

8.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

，

又，

，

，

故選：．

可得，可得，，可得，在中利用三角形內角和定理可求出．

本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等邊對等角是解題的關鍵，注意三角形內角和定理和方程思想的應用．

9.【答案】

【解析】解：反證法證明命題“三角形中必有一個內角不小于”時，首先應假設：這個三角形中每一個內角都小于，

故選：．

根據反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立解答即可．

本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．

10.【答案】

【解析】解：不等式整理得，

關于的不等式組的整數解恰有個，

．

故選：．

分別解出兩個一元一次不等式的解集，再根據已知條件，原一元一次不等式組的整數解恰有個，確定該不等式組解集的公共解集，進而求得的取值范圍．

本題考查一元一次不等式組的整數解、不等式的解集等知識，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

11.【答案】

【解析】解：多項式因式分解時，應提取的公因式是．

故答案為：．

根據找公因式的方法找出各項的公因式即可．

本題考查了因式分解提公因式法，能熟記找公因式的方法系數找多項式各項系數的最大公因數，相同字母找最低次冪是解此題的關鍵．

12.【答案】

【解析】解：由平移變換的性質可知，

，

．

故答案為：．

判斷出，再利用線段的和差定義求解．

本題考查平移的性質，解題的關鍵是學會利用平移變換的性質解決問題，屬于中考常考題型不．

13.【答案】

【解析】解：由題意得：

，

解得：．

經檢驗，是原方程的根，

．

故答案為：．

利用新規定對計算的式子變形，解分式方程即可求得結論．

本題主要考查了解分式方程，本題是新定義型題目，準確理解新規定并熟練應用是解題的關鍵．

14.【答案】或

【解析】解：因為點在邊上，

所以，；

若把順時針旋轉，

則點在軸上，，

所以；

若把逆時針旋轉，

則點到軸的距離為，到軸的距離為，

所以，

綜上，旋轉后點的對應點的坐標為或．

故答案為：或．

根據題意，分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，求出點到軸、軸的距離，即可判斷出旋轉后點的對應點的坐標是多少．

此題主要考查了坐標與圖形變化旋轉，考查了分類討論思想的應用，解答此題的關鍵是要注意分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況．

15.【答案】

【解析】解：設小穎家每月用水量是立方米，

根據題意得：，

解得：，

的最小值為，

即小穎家每月用水量至少是立方米．

故答案為：．

設小穎家每月用水量是立方米，利用每月水費超出立方米的部分，結合小穎家每月水費都不少于元，可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．

本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．

16.【答案】或或

【解析】解：，，，

，，

的垂直平分線經過一邊中點，可分為以下三種情況：經過的中點；經過的中點；經過的中點．

當經過的中點時，交于點，如圖：，

繞點順時針旋轉得線段，

，

，

是的外角，

，

垂直平分，

，

是等邊三角形，

，

，

；

當經過的中點時，交于點，如圖：，

，垂直，

，

，

在中，，

，

，

點在上，

，

，

是的外角，

，

，

，

在中，，

，

由勾股定理得：；

當經過的中點時，交于點，如圖：，

同理可證：，

在中，，，

．

綜上：的長為：或或．

故答案為：或或．

本題需考慮經過各邊中點，共三種情況，依次討論即可．

本題綜合考查了垂直平分線，含角的直角三角形，三角形外角的性質，勾股定理，等腰三角形的性質等知識點．分類討論思想是解題的關鍵，同時也是本題的易錯點．

17.【答案】解：由得：，

由得：，

則不等式組的解集為，

將解集表示在數軸上如下：

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

18.【答案】解：

；

．

【解析】先提公因式，再利用平方差公式繼續分解即可解答；

先利用完全平方公式，再利用平方差公式繼續分解即可解答．

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．

19.【答案】解：原式

，

，

，

原式．

【解析】根據分式的加法法則、除法法則把原式化簡，根據等式的性質把已知等式變形，整體代入得到答案．

本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．

20.【答案】

【解析】解：即為所求；

即為所求；

點的坐標為，

故答案為：．

根據網格線的特點及中心對稱的性質作圖；

根據網格線的特點及平移的性質作圖；

根據正方形的性質求解．

本題考查了作圖旋轉和平移，掌握網格線的特點、中心對稱的性質及平移的性質是解題的關鍵．

21.【答案】等邊與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上直角三角形兩個銳角互余

【解析】解：如圖，即為補全的圖形；

證明：如圖，連接，，．

，

是等邊三角形．

．

，，

點，在線段的垂直平分線上與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．

．

．

直角三角形的兩個銳角互余．

．

故答案為：等邊；；與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；直角三角形兩個銳角互余．

根據作圖過程即可補全圖形；

根據作圖過程可得是等邊三角形．根據線段垂直平分線的性質和直角三角形兩個銳角互余即可完成證明．

本題考查了作圖復雜作圖，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．

22.【答案】解：，

證明：延長到點，使，連接，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

是等邊三角形，

，

，

．

【解析】延長到點，使，連接，由，得，所以，則，即可證明≌，得，，而，所以，則是等邊三角形，所以，即可證明．

此題重點考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．

23.【答案】解：設原計劃每天改造下水道管線米，則實際施工時每天改造下水道管線米，

由題意得：，

解得：，

經檢驗，是原方程的解，且符合題意．

，

答：實際施工時，每天改造下水道管線的長度是米；

設以后每天改造下水道管線還要增加米，

由題意得：，

解得：，

答：以后每天改造下水道管線至少還要增加米．

【解析】設原計劃每天改造下水道管線米，則實際施工時每天改造下水道管線米，根據比原計劃提前天完成任務．列出分式方程，解方程即可；

設以后每天改造下水道管線還要增加米，根據確保總工期不超過天，列出一元一次不等式，解不等式即可．

本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程；找出數量關系，正確列出一元一次不等式．

24.【答案】證明：如下圖，過點作于點，

，則，則；

如題干圖左圖，將繞點按逆時針方向旋轉，得到，

則，

，

，

≌，

；

設：，

時，則點、、重合，構不成三角形，

故該種情況不存在；

當時，如下圖：

，則，

而，

，

則，

由知，