袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？?1.4條件概率袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次1若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？2設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率解：設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球這就是利用縮減的樣本空間來做的一、條件概率例1設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，3S=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球S=ABA——第一次取到紅球,4

顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有NA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有NAB個(gè)樣本點(diǎn)，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩5“條件概率”是“概率”嗎？?條件概率的性質(zhì):(P(A)≠0)(1)P(B|A)≥0P(S|A)=1對(duì)一列兩兩互不相容的事件A1,A2,···,有

P(A1

A2

···|A

)＝P(A1|A)＋P(A2|A)+···“條件概率”是“概率”嗎？?條件概率的性質(zhì):(P(A)≠06設(shè)A,B,C是樣本空間S中的三個(gè)事件,且P(C)≠0,試用概率的運(yùn)算性質(zhì)證明:P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)例2條件加法公式設(shè)A,B,C是樣本空間S中的三個(gè)事件,且P(C)≠0,試用7而所求概率為解：設(shè)A={3個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩}

B={3個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩}已知某家庭有3個(gè)小孩，且至少有一個(gè)是女孩，求該家庭至少有一個(gè)男孩的概率．例3用公式法求條件概率而所求概率為解：設(shè)A={3個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩8一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。解：設(shè)A——從盒中隨機(jī)取到一只紅球.B——從盒中隨機(jī)取到一只新球.AB這就是利用縮減的樣本空間來做的例4縮減的樣本空間法求概率一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下9設(shè)A、B

S，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A)上式就稱為事件A、B的概率乘法公式。

上式還可推廣到三個(gè)事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)

二、乘法公式設(shè)A、BS，P（A）>0,則上式還可推廣到10例5

盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，i=1,2,3,4,則作業(yè)4.4可參照此例題例5利用乘法公式求交集的概率例5盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏11解：令A(yù)i=“第i次抽到合格品.”

i=1,2,3

則所求的事件為：例6

一批零件共100個(gè)，其中有10個(gè)次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？例6利用乘法公式求交集的概率解：令A(yù)i=“第i次抽到合格品.”12定義：事件組A1，A2，…，An(n可為

)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：A1A2……………AnB三、全概率公式與貝葉斯公式A1B，A2B，…，AnB是B

的一個(gè)劃分。定義：事件組A1，A2，…，An(n可為)，稱為樣本13例：S={南理工全體本科生}Ai=“南理工本科i年級(jí)學(xué)生”i=1,2,3,4“南理工本科生中男學(xué)生”“南理工本科生中女學(xué)生”概率論意義：若A1，A2，···，An是S的一個(gè)劃分，則，A1，A2，···，An任意兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生但必有一個(gè)發(fā)生。例：S={南理工全體本科生}概率論意義：若A1，A2，···14定理1、設(shè)A1，…,An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B

S有

上式稱為

。全概率公式定理1、設(shè)A1，…,An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，15全概率公式的證明:由于A1,A2,…,An兩兩互不相容所以由概率的有限可加性，得全概率公式的證明:由于A1,A2,…,An兩兩互不相容所16全概率公式的說明我們把事件B看作某種結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率．全概率公式的說明我們把事件B看作某種結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每17例7.市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。B例7-9利用全概率公式求一般概率例7.市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三18例8有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球．這六個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A——從甲袋放入乙袋的是白球；

B——從乙袋中任取一球是紅球；

甲乙作業(yè)4.5可參照此例題例8有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩19例9在某次世界女排錦標(biāo)賽中，中、日、美、古巴4個(gè)隊(duì)爭(zhēng)奪決賽權(quán)，半決賽方式是中國(guó)對(duì)古巴，日本對(duì)美國(guó)，并且中國(guó)隊(duì)已經(jīng)戰(zhàn)勝古巴隊(duì)，現(xiàn)根據(jù)以往的戰(zhàn)績(jī)，假定中國(guó)隊(duì)?wèi)?zhàn)勝日本隊(duì)和美國(guó)隊(duì)的概率分別為0.9與0.4，而日本隊(duì)?wèi)?zhàn)勝美國(guó)隊(duì)的概率為0.5，試問中國(guó)隊(duì)取得冠軍的可能性有多大？解：設(shè)A1——日本隊(duì)勝美國(guó)隊(duì)；

A2——美國(guó)隊(duì)勝日本隊(duì)；

B——中國(guó)隊(duì)取得冠軍；例9在某次世界女排錦標(biāo)賽中，中、日、美、古巴4個(gè)隊(duì)爭(zhēng)奪決20若已知中國(guó)隊(duì)獲得了冠軍，問中國(guó)隊(duì)是與美國(guó)隊(duì)決賽而獲勝的概率是多少？解:定理2

設(shè)A1，…,An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B,P(B)>0,有

上式稱為

。貝葉斯公式若已知中國(guó)隊(duì)獲得了冠軍，問中國(guó)隊(duì)是與美國(guó)隊(duì)決賽而獲勝的概率是21貝葉斯公式的說明我們把事件B看作某種結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)B發(fā)生是由第i個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公式貝葉斯公式的說明我們把事件B看作某種結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每22

托馬斯貝葉斯(ThomasBayes，1702-1761)英國(guó)數(shù)學(xué)家.1702年出生于倫敦，1761年4月7日逝世.1742年成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.后來成為了一名Presbyterianminister(長(zhǎng)老會(huì)牧師).和他的同事們不同：他認(rèn)為上帝的存在可以通過方程式證明.貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論.他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn).1763年發(fā)表了這方面的論著，對(duì)于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用.

托馬斯貝葉斯(ThomasBayes，1702-1723貝葉斯理論是非常令人著迷的、強(qiáng)大的工具，當(dāng)我們需要處理多個(gè)變量系統(tǒng)的時(shí)候尤其有用.正因?yàn)槿绱耍谧匀豢茖W(xué)及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的眾多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.

他對(duì)統(tǒng)計(jì)推理的主要貢獻(xiàn)是使用了"逆概率"這個(gè)概念，并把它作為一種普遍的推理方法提出來.貝葉斯的另一著作《機(jī)會(huì)的學(xué)說概論》發(fā)表于1758年.貝葉斯所采用的許多術(shù)語被沿用至今.雖然他看到了自己的兩篇論文被發(fā)表了，但是于1763年發(fā)表在倫敦皇家學(xué)會(huì)哲學(xué)學(xué)報(bào)上的那一篇提出著名的貝葉斯公式的論文《論有關(guān)機(jī)遇問題的求解》(《EssayTowardSolvingaProblemintheDoctrineofChances》)卻是在他死后的第三年才被發(fā)表.200多年后，經(jīng)過多年的發(fā)展與完善，貝葉斯公式以及由此發(fā)展起來的一整套理論與方法，已經(jīng)成為概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)冠以“貝葉斯”名字的學(xué)派，他的這一理論照亮了今天的計(jì)算領(lǐng)域，成了21世紀(jì)計(jì)算機(jī)軟件的理論基礎(chǔ)，尤其是在數(shù)據(jù)管理軟件領(lǐng)域.貝葉斯理論是非常令人著迷的、強(qiáng)大的工具，當(dāng)我們需要處理多個(gè)變24商店論箱出售玻璃杯，每箱20只。其中每箱僅可能含0，1，2只次品，其相應(yīng)的概率分別為0.8,0.1,0.1。某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.若已知顧客買下了一箱，則這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)B:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.A0,A1,A2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1由貝葉斯公式:例10-11利用貝葉斯公式求條件概率商店論箱出售玻璃杯，每箱20只。其中每箱僅可能含0，1，2只25例11數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”。現(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)，則發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：設(shè)A—發(fā)射端發(fā)射0，B—接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)例11數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)026條件概率縮減的樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式有限可加性條件概率示意圖條件概率縮減的樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝27本節(jié)要求內(nèi)容1、條件概率與乘法公式；2、全概率公式與貝葉斯公式。要求1、會(huì)用公式法和縮減的樣本空間法求條件概率；2、會(huì)用乘法公式計(jì)算交集的概率；3、會(huì)用全概率公式與貝葉斯公式計(jì)算一般概率與條件概率。本節(jié)要求內(nèi)容要求28練習(xí)題11

袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹梗笕×薾次都未取出黑球的概率．解：則由