線性代數LinearAlgebraBITFall2011

線性方程組ppt課件1Grading:Homework20%+Midterm10%+FinalExam70%Homework：Everystudentisrequiredtoturninawell-writtenhomeworkeachweek.ThehomeworkassignmentsaredueatthebeginningoftheclassonTuesdays.（每周二上課之前交前一周的作業）Midterm：第一章和第二章課程結束之后，隨堂考試，占總成績的10%

Grading:2課程大綱Chapter1:線性方程組Chapter2:行列式Chapter3：線性方程組的進一步理論Chapter4：矩陣的運算

課程大綱3

第一章

線性方程組

§1.1Gauss-Jordan算法

一般的n元線性方程組：第一章線性方程組4一個解：

元有序數組

使（*）的所有方程變為恒等式。

解集合：（*）的全部解的集合。

不相容線性方程組：解集合為空集。

線性方程組同解：解集合相同。通解（一般解）：解集合中全部元素的通項表達式。

特解（具體解）：解集合中一個特定元素。

一個解：元有序數組5解的存在性：解集合是否為空集。

有解：解集合非空。

解的唯一性：非空的解集合是否只有一個元素。

有唯一解：解集合只含一個元素。

非齊次線性方程組：

不全為零

齊次線性方程組：

全為零解的存在性：解集合是否為空集。6線性方程組的中心問題

（1）解的判別：確定存在性與唯一性

（2）求解：確定解集合（3）解的結構：研究解之間的關系線性方程組的中心問題7線性方程組ppt課件8線性方程組ppt課件9線性方程組ppt課件10上例題求解過程總結：（1）求解線性方程組有兩個過程：消元與回代（2）消元過程需對方程組做如下處理：

（i）用一個非零數乘某一個方程

（ii）一個方程的倍數加到另一個方程上

（iii）互換兩個方程的位置稱上述三種處理為線性方程組的初等變換。

（3）消元的目的是把原方程組化為階梯形方程組（4）一個方程組被其系數與常數項唯一確定，且線性方程組的初等變換只涉及系數與常數項。上例題求解過程總結：11線性方程組ppt課件12線性方程組ppt課件13線性方程組ppt課件14回顧：解線性方程組的過程增廣矩陣的每行對應方程組中的一個方程，故方程組的初等變換等同于對增廣矩陣的行作下列變換：

（1）用一個非零數乘某一行的全部元素

（2）一行的倍數加到另一行上

（3）互換兩行的位置

稱上述對矩陣行的處理為矩陣的初等行變換。

結論：方程組的初等變換

增廣矩陣的初等行變換回顧：解線性方程組的過程15更進一步，階梯形方程組的增廣矩陣也具有相同的形式：（1）零行（所有元素均為零的行）全部在下方，非零行（至少有一個元素不為零的行）全部在上方（2）非零行的首非零元（也稱主元，即行中第一個不為零的元素）隨著行標的增大其列標也嚴格增大

稱上述形式的矩陣為階梯形矩陣。結論：增廣矩陣為階梯形矩陣

方程組為階梯形方程組更進一步，階梯形方程組的增廣矩陣也具有相同的形式：16線性方程組ppt課件17線性方程組ppt課件18線性方程組ppt課件19線性方程組ppt課件20線性方程組ppt課件21線性方程組ppt課件22線性方程組ppt課件23§1.2線性方程組解的情況及判別

定理方程組的初等變換把一個線性方程組變成另一個同解的線性方程組。

定理

任一矩陣均可通過有限次初等行變換化為階梯形矩陣。§1.2線性方程組解的情況及判別24線性方程組ppt課件25假設用初等行變換可以化為假設用初等行變換可以化為26其中都不為0.

不難看出上述矩陣對應的階梯形方程組為

其中都不27情形一：

此時階梯形方程組中出現了這種矛盾方程，因此階梯形方程組無解。

情形一：28情形二：

子情形一：則上述階梯形方程組為

情形二：29其中

均不為零，所以通過回代可唯一確定

的取值，即方程組有唯一解。子情形二：設為除之外的個自由未知量。則上述階梯形方程組為其中30其中均不為零。

只要給定的值，則通過回代可唯一確定的取值，從而得到方程組的解。因為可取無窮多組值，所以方程組有無窮多個解。線性方程組ppt課件31通過上述討論我們得到

定理：就階梯形方程組而言

1．有矛盾方程：無解；

2．無矛盾方程：有解；

（1）方程個數=未知數個數：解唯一；（2）方程個數<未知數個數：解無窮多：通過上述討論我們得到32線性方程組ppt課件33注：

（1）通常總是取非主元未知數為自由未知數(系數不是階梯形矩陣主元的未知數)；

（2）階梯形方程組不含“0=0”的方程。

（3）對齊次方程組消元時，只需對系數矩陣進行初等行變換注：34推論1階梯形齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為方程的個數少于未知數的個數。

推論2

若齊次線性方程組中方程的個數少于未知數的個數，則其必有非零解。

因為任一線性方程組都可化為同解的階梯形方程組，所以上述定理使我們得到了對方程組的解進行判別的有效方法。推論1階梯形齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為方程35線性方程組ppt課件36例

某大學數學系組織全校三年級學生進行數學建模比賽，比賽以組為單位進行。在分組過程中發現，若3個人一組，最后剩余2人，若5人一組，則最后余3人；若7人一組，最后也余2人。已知全校三年級學生人數在800到1000之間。問全校三年級學生有多少人？例某大學數學系組織全校三年級學生進行數學建模比賽，比賽37線