12一、平面運動的定義

在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變。也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內運動。具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動。§8-1剛體平面運動概述合成

分解剛體的平行移動剛體的定軸轉動簡單運動剛體的平面運動復雜運動3例如:

曲柄連桿機構中連桿AB的運動，A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB

桿的運動既不是平移也不是定軸轉動，而是平面運動。理論力學5二、平面運動的簡化

剛體的平面運動

到固定平面Ⅰ的距離不變平面圖形S在與Ⅰ簡化平行的平面Ⅱ內運動

平面圖形S在其

自身平面內的運動

研究平面運動

不需考慮剛體的形狀和尺寸，只

需研究平面圖形的運動，確定平

面圖形上各點的速度和加速度。理論力學6

三、平面運動方程

為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內任意一條線段的位置。

任意線段AB的位置可用A點的坐標和AB與x軸夾角表示。因此圖形S

的位置決定于

xA,

yA,

三個獨立的參變量。所以理論力學7

xA

f1(t)

平面運動方程

yA

f2(t)

f3(t)

對于每一瞬時

t

，都可以求出對應的

xA,

yA,，

圖形S

在該瞬時的位置也就確定了。四、平面運動分解為平移和轉動

當圖形S

上Ａ點不動時，則剛體作定軸轉動；

當圖形

S上角不變時，則剛體作平移。

故剛體平面運動可以看成是平移和轉動的合成運動。理論力學8

車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平移和相對車廂的轉動的合成。車輪對于靜系的平面運動（絕對運動）動系Ax

y

相對靜系的平移

（牽連運動）車輪相對動系Ax

y

的轉動

（相對運動）例如車輪的運動三種運動都是剛體運動理論力學9隨基點A的平移繞基點A'的轉動我們稱動系上的原點Ａ為基點，于是

剛體的平面運動可以分

解為隨基點的平移（牽

連運動）和繞基點的轉

動（相對運動）。

車輪的平面運動理論力學10②

以B為基點:

隨基點B平移到A''B'后,

繞基點轉①以A為基點:

隨基點A平移到A'B''后,

繞基點轉

1角到A'B'；2角到A'B'。圖中看出：AB

A'B''

A''B'

，1

2

；于是有

lim

lim

;

,

t0再例如:

平面圖形S在t

時間內從位置I運動到位置II理論力學11剛體的平面運動分解合成

基

點

隨基點的平移運動規律與基點的選擇有關任意選取，通常選取運動情況已知的點作為基點

繞基點的轉動

、與

基點無關

運動規律與基

點的選擇無關理論力學13根據速度合成定理va

ve

vr,

則Ｂ點速度為：vB

vA

vBA

一、基點法（速度合成法）

已知：圖形S內一點A的速度vA

，

圖形角速度。求

vB

。

取A為基點,

將動系鉸結于A點，

動系隨基點作平移。

取B為動點，則B點的運動可視為牽連運動為平移和相對

運動為圓周運動的合成，va

vB;ve

vA;vr

vBA,

其中vBA大小：vBA=BA·

；垂直BA并指向與

轉向一致。§8-2平面圖形內點的速度分析理論力學14AB上投影，有vBAB

vAAB—速度投影定理平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影相等。這種求解速度的方法稱為

速度投影法。（對任意一個剛體均成立）

即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動速度的矢量和。這種求解速度的方法稱為基點法，也稱為速度合成法。它是求解平面圖形內一點速度的基本方法。

二、速度投影法（對任意一個剛體均成立）

由于A,

B點是任意的，因此

vB

vA

vBA

表示了圖形上任

意兩點速度間的關系。由于恒有

vBAAB

，因此將上式在OABx已知：vA，AB=l，求：B端的速度以及AB的角速度y解：AB作平面運動OAB已知：OA勻角速度轉動，求：當時，點B的速度解：AB作平面運動二、速度投影定理沿AB連線方向上投影同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。ABOABx已知：vA，AB=l，求：B端的速度以及AB的角速度y解：AB作平面運動由速度投影定理OAB已知：OA勻角速度轉動，求：當時，點B的速度解：由速度投影定理AB作平面運動理論力學15.

三、速度瞬心法

1.問題的提出

若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化。于是，自然會提出，在某一瞬時圖形（或其擴展部分）是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定？

2.速度瞬心的概念

平面圖形S，某瞬時其上一點A速度vA

,

圖形角速度，沿vA

方向取半直線AL,

然后

o

度

AP

vA/

則：vPvAvPA

vPA

AP

vA

,

方向PA,

恰與vA反向

所以

vP

0理論力學16

即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。

3.幾種確定速度瞬心位置的方法①

已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾

動（稱為純滾動）,

則圖形與固定面的接

觸點P為速度瞬心。②

已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度vA,vB

的方向，且vA

不平行

vB

。

過A,

B兩點分別作速度

vA,vB的垂線,交點

P即為該瞬時的速度瞬心。17vA

vB

AB

vA

vB

AB

,

(a)

vA

與vB同向，

(b)

vA

與vB

反向

理論力學③

已知某瞬時圖形上A,B兩點速度

vA,vB

的大小,且

vAAB,

vBAB(b)(a)ABOPvAABvBP理論力學18

④

已知某瞬時圖形上A，B兩點的速度方向相同，且不與

AB連線垂直。此時,

圖形的瞬心在無窮遠處，圖形的角

速度

=0。于是

圖形上各點的速度在該瞬時相等,

這種情況稱為瞬時平移。

特別注意瞬時平移在此瞬時各點的速度相等，剛體的角速度為零，但各點的加速度并不相等，角加速度不等于零。OvAABvB理論力學19而

aA

的方向沿AO的，

BaaA

瞬時平移與平移不同n例如:

曲柄連桿機構在圖示位置時，連桿AB作瞬時平移。

此時連桿AB的圖形角速度AB0

，

此瞬時AB

桿上各點的速度都相等。

但各點的加速度并不相等。設為勻角速，則

aA

aA

OA2()OvAABvBP

vA理論力學20確定瞬心的一般方法：AB

vA

vBA

vBB

PAB

vA

vBA

vA

P

BvBAB

vA

vB

P理論力學21４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法,稱為速度瞬心法。

平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉動中心。

若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度

大小

vAAP

；方向AP，指向與

一致。

５.注意的問題

①速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不

斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。

②

速度瞬心的速度為零,

其加速度一定不為零，不同于定軸轉動。

③剛體作瞬時平移時，雖然各點的速度相同，但各點的加速

度是一定不相同的，不同于剛體作平移。OABx已知：vA，AB=l，求：B端的速度以及AB的角速度y解：AB作平面運動，作出速度瞬心CCOAB已知：OA勻角速度轉動，求：當時，點B的速度解：AB作平面運動，作出速度瞬心CC理論力學23ABvBA/ABl/l

（）

[例2]

已知：曲柄連桿機構OA=AB=l，

取柄OA以勻

轉動。求：當

=45o

時,

滑塊B的速度及AB桿的角速度。解：機構中，OA作定軸轉動，AB作

平面運動，滑塊B作平移。

基點法

研究

AB，以

A為基點，且vA

l

,

方向如圖示。

根據

vBvAvBA,

在Ｂ點做

速度平行四邊形，如圖示。

vB

vA/cos

l/cos45

2l()

vBAvAtgltg45l理論力學24）

AB

vA/APl/l（

vB

BP

AB

2l()

試比較上述三種方法的特點。vAvBcosvBvA/cos速度投影法

研究AB,

方向OA,

vB方向沿BO直線

根據速度投影定理

vBAB

vAAB

l/cos45

2l()

不能求出AB

速度瞬心法

研究AB，已知vA,vB

的方向，因此可確定出P點為速度瞬心

vAl,APl理論力學27CABD[例4]圖示曲柄連桿機構中連桿AB上固連一塊三角板ABD，機構由曲柄O1A帶動。已知曲柄的角速度為＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當O1A⊥O1O2時，AB∥O1O2

，且AD與AO1在同一直線上，

=30o

。試求三

vD

D

解：運動分析：O1A和O2B作定軸轉動；vA

A

CACO

1

O

1A0.1866m

O2

CACD

CA

AD

0.2366mvD

CDABD

0.254m/sAB

vB

r理論力學28[例5]

圖示機構，已知曲柄OA的角速度為，角a

=

b

=

60o,OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運動，11其瞬心分別為P1和P2點，則

vA

OA

r

vA

r

PA

r

vB

PBAB

r213BC

P

B

3r2

33rvC

PCBCOAB

bO1CP1vA

aAB

vBvCP2BCABvA

r

2

3rrl

2

3r

3

O

理論力學3011解：連桿AB作平面運動，瞬心在P1點，則

PA

ABcos30

3l

vB

PBAB

ABsin30

AB

2

3l

3[例6]

曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r以勻角速度轉動，AB

=

BC

=

BD

=

l，當曲柄與水平線成30o

角時，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30o

角。試求圖示位置時，桿AB、BC的角速度以及沖頭C

的速度。vCBC

vA

A30oP2BC連桿BC作平面運動，瞬心在P2點，則2

vBPB3r

3lBC23r

3vC

PCBC

D30o

P

AB1

vB理論力學31AOBC

D30o30ovAvBvCP1ABP2BC

特別提示每個作平面運動的剛體在每一瞬時都有自己的速度瞬心和角速度，并且瞬心在剛體或其擴展部分上，不能認為瞬心在其他剛體上。

例如,

AB桿的瞬心在P1點，BC桿的瞬心在P2點，而且P1也不是DB桿上的點。

2

3

rad/s

(理論力學33122

7mPO2

OB2

2POOBcos120

22

42

224PBvB

PB

2

72

3

4

2118.3

m/s(

PB)）[例7]

平面機構中,

楔塊M:

a

=30o,v=12cm/s

;盤:

r

=

4cm

,

與

楔塊間無滑動。求圓盤的及軸O的速度和B點速度。

解：桿OC,

楔塊M作平移,圓盤作平面運動，

由vA及vO方位可確定P為盤的速度瞬心。

vAv12cm/s

,

vA

12

12

PA

rcosa

4cos300

voPOrsina4sin302

34

3

m/s()理論力學34比較上述兩圖可以看出，不能認為圓輪只滾不滑時，接觸點就是瞬心，只有在接觸面是

固定面時，圓輪上接觸點才是速度瞬心。理論力學56一、概念與內容

1.剛體平面運動的定義

剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變。

2.剛體平面運動的簡化

可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平

面內的運動代替剛體的整體運動。

3.剛體平面運動的分解

分解為隨基點的平移（平移規律與基點的選擇有關）

與繞基點的轉動（轉動規律與基點的選擇無關）。

4.基點

可選擇平面圖形內任意一點，通常是運動狀態已知的點。第八章剛體平面運動習題課理論力學575.速度瞬心(瞬心)

任一瞬時，平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點，瞬心位置隨時間改變，即瞬心有加速度。

每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉動。這種瞬時繞瞬心的轉動與定軸轉動不同。

瞬心位于無窮遠處，

=0。各點速度相同，

剛體作瞬時平移，瞬時平移與平移不同。6.剛體定軸轉動和平面平移是剛體平面運動的特例。7.求平面圖形上任一點速度的方法基點法：速度投影法：A為基點vB

vA

vBA

,vBAB

vAAB

速度瞬心法：

vB

BP

,vBBP,與

一致.P為瞬心其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例。理論力學59二、解題步驟和要點

1.根據題意和剛體各種運動的定義，判斷機構中各剛體的運動形式。注意每一次的研究對象只是一個剛體。

2.對作平面運動的剛體，根據已知條件和待求量，選擇求解速度(圖形角速度)問題的方法,

用基點法求加速度(圖形角加速度)。

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

(基點法:

恰當選取基點，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；

速度投影法:只能求速度的大小，不能求出圖形的

;

速度瞬心法：確定瞬心的位置是關鍵。剛體的平面運動習題課求平面運動剛體的瞬心AB的速度瞬心為B求平面運動剛體的瞬心AB的速度瞬心在無窮遠處woAB設平面圖形的角速度為，角加速度為，當平面圖形作瞬時平移時，有

。(A)(B)(C)(D)正確答案是：C剛體作平面運動，某瞬時平面圖形的角速度為

，角加速度為

，則其上任意兩點A、B的加速度在A、B連線上的投影__。（A）必相等；（B）相差AB·2

；（C）相差AB·

；（D）相差（AB·2

＋AB·）正確答案是：B某一瞬時，作平面運動的平面圖形內任意兩點的加速度在此兩點連線上投影相等，則可以斷定該瞬時平面圖形____。（A）角速度＝0

；（B）角加速度＝0

；（C）

、

同時為零；（D）

、

均不為零。正確答案是：A如圖所示，菱形平面圖形上A、B

兩點的加速度大小相等、方向相同，則該平面圖形的角速度及角加速度為

。(A)(B)(C)(D)正確答案是：A正確答案是：正確答案是：求：該瞬時點B的速度、加速度；桿AB的角速度、角加速度。已知：曲柄OA=r=0.5m，以勻角速度轉動，，；圖示瞬時OA水平，AB鉛直，解：AB作平面運動已知：曲柄滾輪機構，純滾動滾子半徑OA=R=15cm,=2πrad/s。求：=60o時(OAAB),滾輪的Ｂ解：AB作平面運動，根據速度投影定理已知：OA=0.15m,ω=10πrad/s,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平。求：該瞬時的vD解：AB作平面運動BD作平面運動平面機構如圖所示，已知OA=r，在圖示位置時，φ=300

，桿OA的角速度為0

，角加速度為零，求此時滑塊B的速度和加速度。正確答案是：

在四連桿機構OABO1中，

。O1B桿以角速度作逆時針方向勻速轉動。當時，O1B正好在OO1的延長線上。試求此瞬時：（1）AB桿的角速度和角加速度；（2）OA桿的角速度和角加速度。

如圖所示，均質桿AB在鉛直面內繞A軸轉動，推動均質圓盤在水平面上作純滾動。若已知圓盤在圖示位置（）時的角速度為，角加速度為，且圓盤半徑為R，則桿AB在此瞬時的角速度為

；角加速度為

。正確答案：正確答案是：理論力學60[例1]

導槽滑塊機構理論力學61[例1]

導槽滑塊機構

已知

曲柄OA=

r

,

勻角速度

轉動,

連桿AB的中點C處連接

一滑塊C可沿導槽O1D滑動,

AB=l,圖示瞬時O,A,O1三

點在同一水平線上,

OAAB,

AO1C=

=30。

求：該瞬時O1D的角速度。

解：OA,

O1D均作定軸轉動,

AB作平面運動

研究AB:

vA

r

，圖示位置,

作瞬時平移,

所以

vB

r;vC

vA

r

用合成運動方法

求O1D桿上與滑塊C

接觸的點的速度

動點:

AB桿上C

(或滑塊C

),

動系:

O1D桿,

靜系:

機架/sin理論力學62vvv絕對運動：曲線運動，a

vc

r

，方向相對運動：直線運動，

r

?

，方向//

O1D牽連運動：定軸轉動，e

?

，方向

O1D

根據

va

ve

vr

，作速度平行四邊形r

32

3r2l

3

2r

l2

veO1C

O1D

vevCcos

rcos30又ve

O1CO1D

（）

這是一個需要聯合應用點的合成運動和剛體平面運動理論求解的綜合性問題。理論力學63[例2]

平面機構理論力學64

[例2]

平面機構圖示瞬時

O點在AB中點,

a

=60o,BCAB,

已知O,C在同一水平線上,

AB=20cm,vA=16cm/s

,

試求該瞬時AB桿,

BC桿的角速

度及滑塊C的速度。解:

輪A,

桿AB,

桿BC均作平面運動,

套筒O作定軸轉動,

滑塊C平移。