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問題1：建模時碰到導數模型怎么辦？前提條件：22023/7/29初值問題數值解的提法32023/7/29對微分方程進行數值求解,首先要將微分方程離散化.一般采用以下幾種方法:(1)用差商近似導數42023/7/29(2)用數值積分近似積分實際上是矩形法寬高52023/7/29(3)用Taylor多項式近似并可估計誤差Taylor展開方法的處理手續繁瑣，演繹過程冗長繁雜。所以，現實中應用較少。62023/7/29差分方法目標：將尋求微分方程的解y(x)的分析問題轉化為計算離散值{yn}的代數問題差分：相鄰函數值之差采用差分格式（步進方式），求解過程隨著節點排列的次序一步一步向前推進，即利用yn,yn-1,yn-2,…,計算yn+1的遞推公式由于計算模型僅含一個變元yn+1

，問題規模減小72023/7/29兩類差分格式單步法：直接利用上一步的信息yn設計某種嵌套結構來提高差分格式的精度，如Runge-Kutta方法線性多步法：利用前面多步的老信息yn,yn-1,yn-2,…通過線性組合生成高精度的差分格式82023/7/29用差商近似區間左端點的導數問題轉化為Euler格式1.Euler方法92023/7/29例解初值問題的迭代公式為:102023/7/29近似解精確解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321112023/7/29122023/7/29Y=y(x)abEuler格式精度較低，僅為1階！注：這是“折線法”而非“切線法”，即除第一個點是曲線切線外，其余點則不是！132023/7/29則得隱式Euler格式：隱式Euler格式精度仍很低，還是1階！142023/7/29則得Euler兩步格式：Euler兩步格式精度較前兩種有所提高！但：需借助于某種一步法另提供一個開始值y1。152023/7/29對上面第一個方程的兩端從xn到xn+1進行積分:是顯式Euler格式與隱式Euler格式的算術平均，比Euler精度高一些（2階），但計算量較大梯形格式162023/7/29實際計算中只迭代一次，這樣建立的預報校正系統稱作改進的歐拉公式。改進的Euler方法將梯形格式與顯式Euler格式結合，形成預報校正系統：預報值校正值172023/7/29例解182023/7/29Euler近似解精確解01.0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.41640.61.48600.71.55250.81.61650.91.67821.01.7379改進Euler近似解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321192023/7/29Euler方法的收斂性和精度分析Euler顯式、隱式格式與改進的Euler格式是收斂的稱某個差分格式具有m階精度，如果其對應的近似關系式對于次數≤m的多項式均能準確成立，而對于y=xm+1不準確顯式Euler格式：1階隱式Euler格式：1階梯形格式：2階202023/7/292.龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法理論上,公式階數越高，精確度越高，但計算量過大觀察只要對平均斜率提供一種算法，便可由上式導出一種計算格式平均斜率212023/7/29共同的特點是:給我們的啟示：設法在[xn,xn+1]上多預報幾個點的斜率，對它們進行加權平均作為平均斜率222023/7/29Euler中點格式特例2：當p=1/2,

λ=1時當r＝2時，二階R-K格式當r＝1時，一階R-K格式Euler格式改進的Euler格式特例1：當p=1,λ=1/2時232023/7/29三階R-K方法.四階經典R-K格式242023/7/29例解252023/7/29精確解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改進Euler近似解01.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263階R-K近似解262023/7/29精確解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263階R-K近似解0.010.11.095450.21.183220.31.264910.41.341640.51.414220.61.483244階R-K近似解272023/7/29問題：重點研究由于函數f(x)的復雜性，在絕大多數情況下沒有根的顯式表達式。出發點：數值方法求根的近似值282023/7/29一般提法與結論292023/7/29搜索法：先求出使的點，然后將這些點放在定義域內，從而將定義域分成幾部分，算出駐點處的函數值，即可知道方程的有根區間。1.根的搜索302023/7/29根的二分搜索法根存在，但未必好求，可用二分法。不妨假設f(a)<0，f(b)>0，取中點x0=(a+b)/2，312023/7/29322023/7/29332023/7/29優點：對函數要求低，計算簡單缺點：收斂慢且對有偶數重根的情況不適合二分法的特點：342023/7/29例

解：如此二分下去即可。現估計二分次數所以，二分6次可達到要求。352023/7/29基本思想

構造不動點方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0變換為其等價形式x=(x)，然后建立迭代格式

當給定初值x0后,由迭代格式可求得數列{xk}。此數列可能收斂，也可能不收斂。如果{xk}收斂于x*，則它就是方程的根。因為：2.迭代法及其收斂性362023/7/29

按上述方法構造迭代格式來求解方程的方法稱為簡單迭代法或逐次迭代法。372023/7/29求方程將方程改寫成下列形式

據此建立迭代公式例

解:382023/7/29求方程將方程分別改寫成下列形式

據此建立迭代公式例解392023/7/29定理402023/7/29提示412023/7/29迭代法的局部收斂性定義：對于方程定理422023/7/29求方程將方程分別改寫成下列形式。例解,所以迭代法發散.所以迭代法收斂.432023/7/29求方程例442023/7/29迭代過程的收斂速度452023/7/293.Newton法462023/7/29牛頓法對應的迭代方程為，故其迭代函數為

假設x*

是方程f(x)=0的單根，即f(x*)=0,則