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高考數(shù)學(xué)全國卷（甲卷、乙卷、新課標(biāo)I、新課標(biāo)II）3年（2023-2023）真題分類匯編-數(shù)列（解答題）

一、解答題

1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(1)若，求的值；

(2)若，且，求；

(3)證明：存在，滿足使得．

2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．

(1)求的通項公式；

(2)求數(shù)列的前項和．

3．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．

(1)求的通項公式；

(2)求數(shù)列的前n項和．

4．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．

(1)求的通項公式；

(2)證明：當(dāng)時，．

5．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知是等差數(shù)列，．

(1)求的通項公式和．

(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，

（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；

（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．

6．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．

(1)若，求的通項公式；

(2)若為等差數(shù)列，且，求．

7．（2022年高考天津卷（回憶版）數(shù)學(xué)真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．

(1)求與的通項公式；

(2)設(shè)的前n項和為，求證：；

(3)求．

8．（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．

(1)若，求；

(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．

9．（2022年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；

(3)設(shè)，證明：．

10．（2022年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．

(1)證明：；

(2)求集合中元素個數(shù)．

11．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）記為數(shù)列的前n項和．已知．

(1)證明：是等差數(shù)列；

(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．

12．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．

(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；

(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．

13．（2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．

(1)求的通項公式；

(2)證明：．

14．（2023年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．

（I）求和的通項公式；

（II）記，

（i）證明是等比數(shù)列；

（ii）證明

15．（2023年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求使成立的n的最小值．

16．（2023年北京市高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：

①，且；

②；

③，．

（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；

（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；

（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．

17．（2023年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.

（1）求數(shù)列的通項；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

18．（2023年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）求的通項公式．

19．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.

20．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．

21．（2023年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．

（1）求和的通項公式；

（2）記和分別為和的前n項和．證明：．

22．（2023年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，

（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；

（2）求的前20項和.

參考答案：

1．(1)，，，

(2)

(3)證明見詳解

【分析】（1）先求，根據(jù)題意分析求解；

（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運算求解；

（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.

【詳解】（1）由題意可知：，

當(dāng)時，則，故；

當(dāng)時，則，故；

當(dāng)時，則故；

當(dāng)時，則，故；

綜上所述：，，，.

（2）由題意可知：，且，

因為，且，則對任意恒成立，

所以，

又因為，則，即，

可得，

反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，

當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，

則，

又因為，則，

假設(shè)不成立，故，

即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.

（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，

（ⅰ）若，則可取，滿足使得；

（ⅱ）若，則，

構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，

反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，

則，可得，

這與相矛盾，故對任意，均有.

①若存在正整數(shù)，使得，即，

可取，

滿足，使得；

②若不存在正整數(shù)，使得，

因為，且，

所以必存在，使得，

即，可得，

可取，

滿足，使得；

（ⅲ）若，

定義，則，

構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，

反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，

則，可得，

這與相矛盾，故對任意，均有.

①若存在正整數(shù)，使得，即，

可取，

即滿足，使得；

②若不存在正整數(shù)，使得，

因為，且，

所以必存在，使得，

即，可得，

可取，

滿足，使得.

綜上所述：存在使得．

【點睛】方法點睛：對于一些直接說明比較困難的問題，可以嘗試利用反證法分析證明.

2．(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；

（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由題意可得，即，解得，

所以，

（2）因為，

令，解得，且，

當(dāng)時，則，可得；

當(dāng)時，則，可得

；

綜上所述：.

3．(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)即可求出；

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．

【詳解】（1）因為，

當(dāng)時，，即；

當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，，所以，

化簡得：，當(dāng)時，，即，

當(dāng)時都滿足上式，所以．

（2）因為，所以，

，

兩式相減得，

，

，即，．

4．(1)；

(2)證明見解析.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.

（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，

則，

于是，解得，，

所以數(shù)列的通項公式是.

（2）方法1：由（1）知，，，

當(dāng)為偶數(shù)時，，

，

當(dāng)時，，因此，

當(dāng)為奇數(shù)時，，

當(dāng)時，，因此，

所以當(dāng)時，.

方法2：由（1）知，，，

當(dāng)為偶數(shù)時，，

當(dāng)時，，因此，

當(dāng)為奇數(shù)時，若，則

，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，

當(dāng)時，，因此，

所以當(dāng)時，.

5．(1)，；

(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.

【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.

(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時，，

取，當(dāng)時，，取，即可證得題中的不等式；

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.

【詳解】（1）由題意可得，解得，

則數(shù)列的通項公式為，

求和得

.

（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，

取，則，即，

當(dāng)時，，

取，此時，

據(jù)此可得，

綜上可得：.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，

則數(shù)列的公比滿足，

當(dāng)時，，所以，

所以，即，

當(dāng)時，，所以，

所以數(shù)列的通項公式為，

其前項和為：.

【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益.

6．(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；

（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.

【詳解】（1），，解得，

，

又，

，

即，解得或（舍去），

.

（2）為等差數(shù)列，

，即，

，即，解得或，

，，

又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，

，即，解得或（舍去）

當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；

當(dāng)時，，解得.

綜上，.

7．(1)

(2)證明見解析

(3)

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

（3）先求得，進而由并項求和可得，再結(jié)合錯位相減法可得解.

【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，

由可得（舍去），

所以；

（2）證明：因為所以要證，

即證，即證，

即證，

而顯然成立，所以；

（3）因為

，

所以

，

設(shè)

所以，

則，

作差得

，

所以，

所以.

8．(1)

(2)

【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；

(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.

【詳解】（1）因為，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

所以，

（2）因為，，成等比數(shù)列，

所以，

，

，

由已知方程的判別式大于等于0，

所以，

所以對于任意的恒成立，

所以對于任意的恒成立，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，由，可得

當(dāng)時，，

又

所以

9．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

(2)

(3)見解析

【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.

（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.

（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.

【詳解】（1）當(dāng)時，，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（2）設(shè)，則，

又，設(shè)，

則，

若，則，

因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在，使得，總有，

故在為增函數(shù)，故，

故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.

若，則，

下證：對任意，總有成立，

證明：設(shè)，故，

故在上為減函數(shù)，故即成立.

由上述不等式有，

故總成立，即在上為減函數(shù)，

所以.

當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.

綜上，.

（3）取，則，總有成立，

令，則，

故即對任意的恒成立.

所以對任意的，有，

整理得到：，

故

，

故不等式成立.

【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.

10．(1)證明見解析；

(2)．

【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．

（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．

11．(1)證明見解析；

(2)．

【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；

（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．

【詳解】（1）因為，即①，

當(dāng)時，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以為公差的等差數(shù)列．

（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)

由（1）可得，，，

又，，成等比數(shù)列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，當(dāng)或時，．

[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法

由（1）可得，，，

又，，成等比數(shù)列，所以，

即，解得，

所以，即有.

則當(dāng)或時，．

【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；

法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．

12．(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．

(2)證明見解析．

(3)證明見解析．

【分析】（1）直接利用定義驗證即可；

（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；

（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負數(shù)，再確定負數(shù)只能是，然后分類討論驗證不行即可．

【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．

（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；

當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．

（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，

若，則至多可表個數(shù)，矛盾,

從而若,則，至多可表個數(shù)，

而，所以其中有負的，從而可表1~20及那個負數(shù)（恰21個），這表明中僅一個負的，沒有0，且這個負的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負數(shù)為，

則所有數(shù)之和，，

，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，

（僅一種方式），

與2相鄰，

若不在兩端,則形式，

若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），

，同理，故在一端，不妨為形式，

若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，

，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，

由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、

故只能，①或，②

這2種情形，

對①：，矛盾，

對②：，也矛盾，綜上，

當(dāng)時，數(shù)列滿足題意，

．

【點睛】關(guān)鍵點睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題．

13．(1)

(2)見解析

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.

【詳解】（1）∵，∴,∴,

又∵是公差為的等差數(shù)列，

∴,∴,

∴當(dāng)時，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

顯然對于也成立，

∴的通項公式；

（2）

∴

14．（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；

（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；

（ii）放縮得，進而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.

【詳解】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．

所以，所以，

所以；

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

所以，解得（負值舍去），

所以；

（II）（i）由題意，，

所以，

所以，且，

所以數(shù)列是等比數(shù)列；

（ii）由題意知，，

所以，

所以，

設(shè)，

則，

兩式相減得，

所以，

所以.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.

15．(1)；(2)7.

【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；

(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，

設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，

，

從而：，由于公差不為零，故：，

數(shù)列的通項公式為：.

(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，

則不等式即：，整理可得：，

解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.

【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.

16．（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．

【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；

(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；

(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.

【詳解】(1)因為所以，

因為所以

所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.

(2)性質(zhì)①，

由性質(zhì)③，因此或，或，

若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；

若，由有，矛盾.

因此只能是.

又因為或，所以或.

若，則，

不滿足，舍去.

當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，

當(dāng)時：

若，則，利用性質(zhì)③：

，此時可得：；

否則，若，取可得：，

而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.

同理可得：

，有；

，有；

，又因為，有

即當(dāng)時命題成立，證畢.

綜上可得：，.

(3)令，由性質(zhì)③可知：

，

由于，

因此數(shù)列為數(shù)列.

由（2）可知:

若；

，，

因此，此時，，滿足題意.

【點睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

17．（1）；（2）.

【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；

（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)時，，

，

當(dāng)時，由①，

得②，①②得

，

又是首項為，公比為的等比數(shù)列，

；

（2）由，得，

所以，

，

兩式相減得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

時不等式恒成立；

時，，得；

時，，得；

所以.

【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.

18．（1）證明見解析；（2）.

【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.

【詳解】（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于為數(shù)列的前n項積，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;

[方法二]【最優(yōu)解】：

由已知條件知①

于是．②

由①②得．③

又，④

由③④得．

令，由，得．

所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．

[方法三]：

由，得，且，，．

又因為，所以，所以．

在中，當(dāng)時，．

故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．

[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當(dāng)時顯然成立．

假設(shè)當(dāng)時成立，即．

那么當(dāng)時，．

綜上，猜想對任意的都成立．

即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．

（2）

由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

,

,

當(dāng)n=1時，,

當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,

∴.

【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；

方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；

方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．

（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；

19．證明見解析.

【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.

【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為

∴，

∴，

∴當(dāng)時，

當(dāng)時，，滿足，

∴的通項公式為，

∴

∴是等差數(shù)列.

【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.

20．證明過程見解析

【分析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進行證明.

選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；

選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結(jié)論.

【詳解】選①②作條件證明③：

[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式

設(shè)，則，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

因為也是等差數(shù)列，所以，解得；

所以，，故.

[方法二]：待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，

則，將代入，

化簡得對于恒成立．

則有，解得．所以．

選①③作條件證明②：

因為，是等差數(shù)列，

所以公差，

所以，即，

因為，

所以是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

[方法一]：定義法

設(shè)，則，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

因為，所以，解得或；

當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；

當(dāng)時，，不合題意，舍去.

綜上可知為等差數(shù)列.

[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項公式

因為，所以，，因為也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.

【整體點評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項公式，進而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進而得到；選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出及，進而由等差數(shù)列定義進行證明；選②③時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結(jié)論.

21．（1），；（2）證明見解析.

【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；

（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.

【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和

，

，

．

設(shè)，⑧

則．⑨

由⑧-⑨得．

所以．

因此．

故．

[方法二]【最優(yōu)解】：公