2-03數(shù)列極限的存在準(zhǔn)那么數(shù)列極限的兩大問(wèn)題數(shù)列極限的存在性；〔此問(wèn)題為最關(guān)鍵的問(wèn)題〕數(shù)列的極限值是什么？〔存在后，才想方法計(jì)算極限〕最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的特性證明數(shù)列極限的存在性!按照數(shù)列極限的定義證明;按照奇、偶子列的收斂性證明;依據(jù)任意子列的收斂性證明;利用夾逼準(zhǔn)那么證明。幾種證明極限存在的方法：幾何解釋:單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)那么I單調(diào)有界準(zhǔn)那么定理1(單調(diào)有界定理)

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

證明

曲邊三角形面積A的計(jì)算1oxy我們通常的做法是：將區(qū)間[0，1]n等份，用小矩形的面積來(lái)近似地表示小曲邊梯形的面積。缺乏近似過(guò)剩近似關(guān)于e極限證明：

的展開(kāi)式中共有項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)。

的展開(kāi)式中共有項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)有：嚴(yán)格增加下面證明有上界：注意:第一種證法盡管過(guò)程略繁，但易于著手，處理問(wèn)題平直、樸素,不失為證法之上選.第二、三種證法都使用了平均不等式，略帶技巧，但處理過(guò)程仍然簡(jiǎn)單、清晰。比較起來(lái)，教材的做法那么顯得技巧性過(guò)強(qiáng)，如此獨(dú)特的做法不易發(fā)現(xiàn).證法一可謂“以拙勝巧〞!大音希聲,大道低回,大象無(wú)形,大巧假設(shè)拙.—老子例1計(jì)算以下極限數(shù)列的子列的極限例2證明：數(shù)列遞增性顯然，下面證明有上界：極限的保序性例3

例4

證明數(shù)列單調(diào)有界,并求極限.解由均值不等式,有

注意到對(duì)

準(zhǔn)那么IICauchy收斂準(zhǔn)那么定理2Cauchy收斂準(zhǔn)那么必要性的證明Cauchy收斂準(zhǔn)那么說(shuō)明,收斂數(shù)列中項(xiàng)數(shù)充分大的任意兩項(xiàng)的距離能夠任意小,即越到后面,各項(xiàng)之間幾乎“擠〞在了一起。Cauchy收斂準(zhǔn)那么的優(yōu)點(diǎn)在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù),只須根據(jù)數(shù)列自身各項(xiàng)之間的相互關(guān)系就能判別該數(shù)列的斂散性。Cauchy收斂準(zhǔn)那么的缺點(diǎn)就是具體使用起來(lái)有時(shí)比較困難,比方收斂時(shí)與相應(yīng)的N確實(shí)定有些不易.Cauchy收斂準(zhǔn)那么的否認(rèn)形式Cauchy收斂準(zhǔn)那么的肯定形式證明下面我們用Cauchy收斂準(zhǔn)那么再來(lái)證明一下例2的結(jié)論.用Cauchy收斂準(zhǔn)那么的否認(rèn)形式定理(單調(diào)有界定理)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。Cauchy收斂準(zhǔn)那么定理(確界原理)