習題課導數(shù)的應用一、主要內(nèi)容二、例題分析三、課外練習題第三章(2)

7/26/20231高等數(shù)學習題課導數(shù)的應用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點,漸近線,曲率2.解決最值問題

目標函數(shù)的建立與簡化

最值的判別問題3.其他應用:求不定式極限;幾何應用;相關變化率;證明不等式(單調(diào)、凹凸、泰勒);研究方程實根等.4.補充定理(見下頁)一、主要內(nèi)容：7/26/20232設函數(shù)在上具有n階導數(shù),且則當時證

令則利用在處的n

－1階泰勒公式得因此時定理

7/26/20233單調(diào)增區(qū)間為

;的連續(xù)性及導函數(shù)例1

填空題(1)設函數(shù)其導數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點為

;極大值點為

.提示:的正負作f(x)的示意圖.二、例題分析7/26/20234

.在區(qū)間

上是凸弧;拐點為提示:的正負作f(x)的示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;則函數(shù)

f(x)的圖

(2)

設函數(shù)的圖形如圖所示,7/26/20235例2

證明在上單調(diào)增加.證

令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,得故當

x>0時,從而在上單調(diào)增.7/26/20236例3

設在上，，證明函數(shù)在上是單調(diào)增加的．證當時，有7/26/20237故即是單調(diào)增加的．是單調(diào)增加的．因而根據(jù)拉格朗日中值定理7/26/20238例4

設在上可導,且證明f(x)至多只有一個零點.

證

設則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點.又因因此也至多只有一個零點.思考:

若題中改為其它不變時,如何設輔助函數(shù)?7/26/20239例5

求函數(shù)的零點個數(shù)．對函數(shù)，有解得．當時，即單調(diào)減少；即單調(diào)增加．又，故當時，在內(nèi)，有且只有一個零點，中的唯一零點．解令時，當而此零點即為在定義域7/26/202310例6

證明證

設,則故時,單調(diào)增加,從而即思考:

證明時,如何設輔助函數(shù)更好?提示:P183

題11(2)7/26/202311例7

設，，證明：當時證因為當時，即當時，因而當時，有取，即得所需要的不等式．是單調(diào)增加的，7/26/202312例8證7/26/202313例9

設且在上存在,且單調(diào)遞減,證明對一切有證

設則所以當令得即所證不等式成立.7/26/202314例9’證不妨設7/26/202315例10證法一

只要證7/26/202316例10

證法二

只要證利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.7/26/202317例11證P154

題10(3)7/26/202318例12解極大值極小值無極值7/26/202319-11234560.511.522.537/26/202320例13

求數(shù)列的最大項.證

設用對數(shù)求導法得令得因為在只有唯一的極大點因此在處也取最大值.又因中的最大項.極大值列表判別:P183

題147/26/202321例14

證明當x>0

時,證

令則法1

由在處的二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與1之間)7/26/202322法2

列表判別:即7/26/202323法3

利用極值第二判別法.故也是最小值,因此當時即7/26/202324例15

設函數(shù)求的極值．解令，當時，得單調(diào)增加；當時，當時，得單調(diào)增加．所以，分別為函數(shù)的極大值和極小值．因得得單調(diào)減少；7/26/202325如圖所示，鐵桿的長度為，從而，例16

設有一直角彎道，入口的寬度為，拐彎處的寬度為

，求以水平方向通過的鐵桿的最長長度．解其中7/26/202326令即鐵桿的最大長度為從而得7/26/202327例17

在橢圓上求一點，使它與另兩點，所構(gòu)成的三角形面積為最小．解因線段固定，故欲使面積最小，即要使點離開線段的距離為最小．線段的方程為即點到直線的距離為xyO2aa2bbAB7/26/202328注意到點在直線的下方，即而代入，得，令得代入的表達式，令即所求點的坐標為得，7/26/202329例18

求解法1

利用中值定理求極限原式P182

題47/26/202330解法2

利用泰勒公式令則原式7/26/202331解法3

利用羅必達法則原式7/26/202332三、課外練習題1．證明方程只有一個正根．2．設可導，證明的兩個零點之間一定有

的零點．3．求函數(shù)的極值．4．在第Ⅰ象限內(nèi)作的切線，使其與兩坐標軸所成的三角形面積最小