第第頁2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市礦山高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市礦山高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在中，若，則角等于()

A.B.C.D.

3.要得到的圖象只需將的圖象()

A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位

4.在九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長為的等腰直角三角形，高為，則該“塹堵”的表面積為()

A.B.C.D.

5.如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點(diǎn)，則()

A.

B.

C.

D.

6.已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是()

A.B.C.D.

7.如圖，有一古塔，在點(diǎn)測得塔底位于北偏東方向上的點(diǎn)處，塔頂?shù)难鼋菫椋诘恼龞|方向且距點(diǎn)的點(diǎn)測得塔底位于北偏西方向上在同一水平面，則塔的高度約為()

參考數(shù)據(jù)：

A.B.C.D.

8.若三棱錐的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，，則其外接球的表面積為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知向量，則()

A.B.

C.D.

10.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法不正確的是()

A.若，，則

B.若，，則

C.若，，則

D.若，，，則

11.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，若，，，則()

A.外接圓的半徑為B.外接圓的半徑為

C.D.

12.以下命題正確的是()

A.直線的方向向量為，直線的方向向量，則

B.直線的方向向量，平面的法向量，則

C.兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則

D.平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知，則______．

14.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是______．

15.已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，為空間中任一點(diǎn)，若，則______．

16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為邊上的中線，若，則______；______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，為實(shí)數(shù)．

若，為純虛數(shù)，求的值；

若，求，的值．

18.本小題分

已知，，在同一平面內(nèi)，且．

若，且，求；

若，且，求與的夾角的余弦值．

19.本小題分

如圖，四邊形為正方形，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．

證明：平面；

若平面，求點(diǎn)到平面的距離．

20.本小題分

在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，已知，且．

求角的大小；

若為的中點(diǎn)，且，求的周長．

21.本小題分

在邊長為的菱形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)如圖，將沿折起到的位置，連接，，得到四棱錐如圖．

證明：平面平面；

若，連接，求直線與平面所成角的正弦值．

22.本小題分

如圖所示，底面為菱形的直四棱柱被過三點(diǎn)、、的平面截去一個(gè)三棱錐圖一得幾何體圖二，為的中點(diǎn)．

點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，試問平面與平面是否垂直？請說明理由；

設(shè)，，，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求銳二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法法則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：在中，若，

利用余弦定理：，

由于，

所以．

故選：．

直接利用余弦定理和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的值，余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：，

只需將的圖象向左平移個(gè)單位

故選：．

根據(jù)左加右減的原則進(jìn)行左右平移即可．

本題主要考查三角函數(shù)的平移．三角函數(shù)進(jìn)行平移時(shí)的原則是左加右減上加下減．

4.【答案】

【解析】解：由題意可得，下底面為腰為的等腰直角三角形，又高為，

該“塹堵”的表面積為．

故選：．

直接利用幾何體的表面積公式求解．

本題考查三棱柱表面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：為的重心，

，

為的中點(diǎn)，

．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，以及重心的定義，即可求解．

本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則，以及重心的定義，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查平面法向量的定義，屬基礎(chǔ)題．

由題意可知符合條件的點(diǎn)應(yīng)滿足，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可．

【解答】

解：由題意可知符合條件的點(diǎn)應(yīng)滿足，

選項(xiàng)A，，

，故不在平面內(nèi)；

同理可得：選項(xiàng)B，，，

故在平面內(nèi)；

選項(xiàng)C，，，

故不在平面內(nèi)；

選項(xiàng)D，，，

故不在平面內(nèi)；

故選：．

7.【答案】

【解析】解：如圖，根據(jù)題意，平面，，，，．

在中，因?yàn)椋裕?/p>

所以在中，．

故選：．

根據(jù)題意構(gòu)造四面體，運(yùn)用線面關(guān)系及三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．

本題考查三角形的解法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了長方體的性質(zhì)、三棱錐的外接球，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為可得，利用球的表面積計(jì)算公式即可得出．

【解答】

解：構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為．

則．

其外接球的表面積．

故選：．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于，由題意可知，，

則，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，，

則，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于，，

則，

則，故C正確；

對(duì)于，，，，故D正確．

故選：．

根據(jù)空間向量的模長、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解．

本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：若，，則或，故A不正確；

若，，則或，故B不正確；

若，，則，相交或或，故C不正確；

若，，得，又，則，故D正確．

故選：．

對(duì)于選項(xiàng)，可能，得不正確；

對(duì)于選項(xiàng)，可能，得不正確；

對(duì)于選項(xiàng)，可能或，得不正確；

對(duì)于選項(xiàng)，由，，得，而兩平行線中的一條垂直一個(gè)平面，則另一條也垂直這個(gè)平面，故C正確．

本題主要考查空間中直線和平面，平面和平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：，

，

設(shè)外接圓的半徑為，

則，

外接圓的半徑為，故A正確，B錯(cuò)誤，

由，得，

，

，

，

，

，則，故C正確，D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)已知條件，求出，再結(jié)合正弦定理，求出，再結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，求出，并結(jié)合余弦的兩角和公式，即可求解．

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：直線的方向向量為，直線的方向向量，，則與不垂直，所以不正確．

直線的方向向量，平面的法向量，

，則，所以不正確；

兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，

，則，所以C正確；

平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，

向量是平面的法向量，

可得：，則，所以D正確．

故選：．

利用空間向量的數(shù)量積以及向量共線判斷選項(xiàng)的正誤即可．

本題考查空間向量的數(shù)量積以及空間向量的共線的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．

13.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋裕?/p>

則，

故答案為：．

由已知求出，然后利用正余弦的同角平方關(guān)系，余弦的倍角公式以及弦化切化簡即可求解．

本題考查了正余弦的同角關(guān)系，涉及到弦化切的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，空間向量，，

則，，，

故向量在向量上的投影向量為；

故答案為：

根據(jù)題意，求出、和的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

本題考查空間向量數(shù)量積的計(jì)算，

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以．

因?yàn)椋狞c(diǎn)共面，具有任意性，所以，

故．

故答案為：．

由空間共面定理可將題目中表達(dá)式化為，即可求出的值．

本題主要考查了空間向量的線性表示，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)，則，，，

所以，可得，，

在中，由余弦定理可得解得，負(fù)值舍去，

所以，，

又，

所以．

故答案為：，．

設(shè)，則，，，由余弦定理可求的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，的值，在中，由余弦定理可得的值，可求，的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解．

本題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

17.【答案】解因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以．

又，

所以，，從而．

因此．

因?yàn)椋裕?/p>

即．

又，為實(shí)數(shù)，

所以

解得．

【解析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出．

18.【答案】解：設(shè)，，，且，

，，

解得，；或，，即，或．

，且，

，．

故與的夾角的余弦值為．

【解析】由題意利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出求得的坐標(biāo)．

由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，求得與的夾角的余弦值．

本題主要考查兩個(gè)向量平行垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：證明：取中點(diǎn)，連接、，

四邊形為正方形，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．

，，，

四邊形是平行四邊形，，

平面，平面，

平面；

平面，四邊形為正方形，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，

，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

點(diǎn)到平面的距離為：

．

【解析】取中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面；

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．

本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

20.【答案】解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以，

結(jié)合正弦定理可得，即，

所以，

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)椋裕裕?/p>

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，

所以，

即，因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)椋裕裕?/p>

故的周長為．

【解析】根據(jù)已知條件進(jìn)行變形求解，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及正弦定理、余弦定理進(jìn)行求解；

利用向量及其運(yùn)算，再結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解．

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．

21.【答案】證明：菱形，且，

為等邊三角形，

為的中點(diǎn)，，

，，

又，、平面，

平面，

平面，

平面平面．

解：由知，平面平面，

，平面平面，

平面，

以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，，

設(shè)直線與平面所成角為，

則，，

故直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系、線面角的求法，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理線面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．

易知為等邊三角形，進(jìn)而可得，，再結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理，得證；

由平面平面，推出平面，再以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，由，，即可得解．

22.【答案】解：連接