線性模型與基本假定2023/7/26第1頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，為第i個(gè)處理觀測(cè)值總體平均數(shù)；為試驗(yàn)誤差、相互獨(dú)立、且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。

若令則（5-1）式可以改寫為（5-4）第2頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，μ為全試驗(yàn)觀測(cè)值總體平均數(shù)；是第i個(gè)處理的效應(yīng)，表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。

顯然有（5-4）式叫做單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型。

第3頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

表示為總平均數(shù)μ、處理效應(yīng)αi、試驗(yàn)誤差εij之和。由εij相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（0，σ2），可知各處理Ai(i=1，2，…，k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(μi,σ2)。盡管各總體的均數(shù)可以不等或相等，σ2則必須是相等的。第4頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

所以，單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型可歸納為：

效應(yīng)的可加性（additivity）

分布的正態(tài)性（normality）

方差的一致性（homogeneity）第5頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月二、平方和與自由度的分解在方差分析中用樣本方差即均方來度量資料的變異程度。在表5-1中，度量全部觀測(cè)值總變異的總均方分解為度量處理間變異的處理間均方和度量處理內(nèi)變異的處理內(nèi)均方兩部分。第6頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡(jiǎn)稱為總平方和，分解為處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，分解為處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實(shí)現(xiàn)的。第7頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）總平方和的分解

在表5-1中，反映全部觀測(cè)值總變異的總平方和是各觀測(cè)值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即因?yàn)榈?頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中第9頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月所以

式中，為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即第10頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即

于是有SST=SSt+SSe

第11頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月3種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式矯正數(shù)

第12頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）總自由度的分解

在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中kn個(gè)觀測(cè)值的離均差要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減一，即kn-1。總自由度記為dfT，dfT=kn-1。第13頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

在計(jì)算處理間平方和時(shí)，k個(gè)處理均數(shù)的離均差要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減一，即k-1。處理間自由度記為dft，dft=k-1

第14頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，kn個(gè)離均差要受k個(gè)條件的約束，即故處理內(nèi)自由度為資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減k

，即kn-k

。處理內(nèi)自由度記為dfe

dfe=kn-k=k(n-1)（i=1,2,…,k）第15頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)樗缘?6頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月各項(xiàng)平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或），即第17頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例5-1】有一水稻施肥的盆栽試驗(yàn)，設(shè)置了5個(gè)處理：A1和A2分別施用兩種不同工藝流程的氨水，A3施碳酸氫銨，A4施尿素，A5不施氮肥。每個(gè)處理各4盆（施氮處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克），共有5×4＝20盆，隨機(jī)置于同一盆栽場(chǎng)。其稻谷產(chǎn)量（g/盆）列于表5-2。第18頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

各項(xiàng)平方和與自由度計(jì)算如下第19頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

方差分析就是通過MSt

與MSe的比較來推斷是否為零即是否相等。三、F檢驗(yàn)相當(dāng)于μ1=μ2=…=μk第21頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明，在的條件下，服從自由度df1=k-1與df2=k（n-1）的F分布。即

第22頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

若實(shí)際計(jì)算的F值大于，則F

值在α=0.05的水平上顯著，我們以95%的可靠性(即冒5%的風(fēng)險(xiǎn))推斷MSt代表的總體方差大于MSe代表的總體方差，即這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷一個(gè)總體方差是否大于另一個(gè)總體方差的方法稱為F檢驗(yàn)(F-test)。第23頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的方差分析:

無效假設(shè)H0：μ1=μ2=…=μk

備擇假設(shè)HA：各μi不全相等或

F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大于處理內(nèi)(誤差)均方。

第24頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，是將由試驗(yàn)資料所算得的F值與根據(jù)df1=dft(大均方即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方即分母均方的自由度)查附表4所得的臨界F值，相比較作出統(tǒng)計(jì)推斷。

第25頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月若F＜，即p＞0.05，不能否定統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異不顯著或簡(jiǎn)述為F值不顯著，在F值的右上方標(biāo)記“ns”，或不標(biāo)記符號(hào)；

H0：第26頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月若≤F＜即0.01＜p≤0.05，否定H0：接受HA:

統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異顯著或簡(jiǎn)述為F值顯著，在F值的右上方標(biāo)記“*”；第27頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月若F≥，即p≤0.01，否定H0：，接受HA:統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異極顯著或簡(jiǎn)述為F值極顯著，在F值的右上方標(biāo)記“**”。

第28頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于【例5·1】，因?yàn)楦鶕?jù)df1=dft=4，df2=dfe=15查附表4，得F0.01(4，15)=4.89，因?yàn)镕＞F0.01(4，15),即p＜0.01，表明五種不同施肥處理的稻谷產(chǎn)量差異極顯著，施肥處理不同，產(chǎn)量亦不同。第29頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月表5-3表5-2資料方差分析表變異來源SSdfMSF值處理間301.2475.3011.19**處理內(nèi)101.0156.73總變異402.219第30頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月四、多重比較

F值顯著或極顯著，否定無效假設(shè)HO，表明試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每?jī)蓚€(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著的，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。下一張

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第31頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。

統(tǒng)計(jì)學(xué)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。多重比較的方法很多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法

(LSR法)。第32頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

此法的基本作法是：在F檢驗(yàn)顯著的前提下，先計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)，然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較：下一張

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（一）最小顯著差數(shù)法(LSD法)第33頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月若＞LSDα，則與在α水平上差異顯著；反之，則在α水平上差異不顯著。最小顯著差數(shù)由下式計(jì)算：

式中：為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值，為均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，

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第34頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月其中為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理的重復(fù)數(shù)。當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時(shí)，從t值表中查出和，得：

利用LSD法進(jìn)行多重比較時(shí)，可按如下步驟進(jìn)行：

第35頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)計(jì)算最小顯著差數(shù)和；

(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。

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(1)列出平均數(shù)多重比較表比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；

第36頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于【例5-1】，多重比較如表5-4所示。

第37頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

檢驗(yàn)結(jié)果：差數(shù)2.5、1.5、3.0不顯著；差數(shù)4.5、4.0、4.5顯著；差數(shù)7.0、8.5、7.0和11.5極顯著。表明：施尿素的稻谷平均產(chǎn)量極顯著高于對(duì)照和施氨水2、顯著高于施氨水1；

施碳酸氫銨的稻谷平均產(chǎn)量極顯著高于對(duì)照、顯著高于施氨水2；第38頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

施氨水1的稻谷平均產(chǎn)量極顯著高于對(duì)照；

施氨水2的稻谷平均產(chǎn)量顯著高于對(duì)照；

施尿素與施碳酸氫銨、施碳酸氫銨與施氨水1、施氨水1與施氨水2的稻谷平均產(chǎn)量差異不顯著；

以施尿素的稻谷產(chǎn)量最高。第39頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

(二)最小顯著極差法

(LSR法)

LSR法的特點(diǎn)是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差(LSR)。第40頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

因?yàn)長SR法是一種極差檢驗(yàn)法，所以當(dāng)一個(gè)平均數(shù)大集合的極差不顯著時(shí)，其中所包含的各個(gè)較小集合極差也應(yīng)一概作不顯著處理。常用的LSR法有q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法兩種。

1、q

檢驗(yàn)法

此法是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得：

第41頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，w為極差，為標(biāo)準(zhǔn)誤，分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。利用q檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較時(shí)，為了簡(jiǎn)便起見，不是將算出的q值與臨界q值比較，而是將極差與比較，從而作出統(tǒng)計(jì)推斷。為α水平上的最小顯著極差：下一張

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第42頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)列出平均數(shù)多重比較表；

(2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計(jì)算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k；

(3)將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,k,LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。

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第43頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于【例5-1】，各處理平均數(shù)多重比較表見表5-5（同表5-4）。前已述及，在表5-5（即表5-4）中，極差4.5、3.0、1.5和3.0的秩次距為2；極差7.0、4.0和4.5的秩次距為3；極差8.5和7.0的秩次距為4；極差11.5的秩次距為5。

查附表7，得df=15時(shí)，p=2,3,4的q值，進(jìn)而可得LSR，列于表5-6。第44頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、SSR法此法是由鄧肯(Duncan)于1955年提出，又稱為Duncan法，或新復(fù)極差法。新復(fù)極差法與q法的檢驗(yàn)步驟相同，唯一不同的是計(jì)算最小顯著極差時(shí)需查SSR表

(附表6)而不是查q值表。最小顯著極差計(jì)算公式為：

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第45頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于【例5-1】，各處理平均數(shù)多重比較表同表5-4。

已算出=1.2971，依dfe=15,k=2，3，4，5，由附表6查臨界SSR0.05(15,k)和SSR0.01(15,k)值，乘以=1.2971，求得各最小顯著極差，SSR值與LSR值列于表5-7。

將表5-4中的極差與表5-7中的最小顯著極差比較，除極差4.0不顯著外，其余檢驗(yàn)結(jié)果與LSD法相同。第46頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗(yàn)尺度有如下關(guān)系：

LSD法≤SSR法≤q法當(dāng)秩次距k=2時(shí)，取等號(hào)；秩次距k≥3時(shí)，取小于號(hào)。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗(yàn)法尺度最大，新復(fù)極差法尺度居中。用上述排列順序前面方法檢驗(yàn)顯著的差數(shù)，用后面方法檢驗(yàn)未必顯著；用后面方法檢驗(yàn)顯著的差數(shù)，用前面方法檢驗(yàn)必然顯著。下一張

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第47頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

生物試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)誤差較大，常采用SSR法；

F檢驗(yàn)顯著后，為了簡(jiǎn)便，也可采用LSD法。第48頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

此法是將多重比較結(jié)果直接標(biāo)記在平均數(shù)多重比較表上，如表5-4、表5-5所示。由于在多重比較表中各個(gè)平均數(shù)差數(shù)構(gòu)成一個(gè)三角形陣列，故稱為三角形法。此法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便直觀，缺點(diǎn)是占的篇幅較大。

1、三角形法（三）多重比較結(jié)果的表示方法第49頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、標(biāo)記字母法

先將各處理平均