2022-2023學年河北省秦皇島市皇后寨中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知復數z滿足（1+i）z=1+3i（i是虛數單位），則z的共軛復數為（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義即可得出．【解答】解：（1+i）z=1+3i（i是虛數單位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1+3i），化為2z=4+2i，∴z=2+i．則z的共軛復數為2﹣i．故選：C．2.已知函數,則在[0，2]上的零點個數為A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B在同一直角坐標系內畫出函數的圖像，如圖，由圖知函數在[0，2]上的零點個數為2.

3.一個平面封閉區域內任意兩點距離的最大值稱為該區域的“直徑”，封閉區域邊界曲線的長度與區域直徑之比稱為區域的“周率”，下面四個平面區域（陰影部分）的周率從左到右依次記為，則下列關系中正確的為參考答案：C略4.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=x+2y的最大值為（）A．5 B．6 C． D．7參考答案：C【考點】簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（），化目標函數z=x+2y為y=﹣．由圖可知，當直線y=﹣過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．故選：C．5.若函數（，，）在一個周期內的圖象如圖所示，分別是這段圖象的最高點和最低點，且（為坐標原點），則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知隨機變量服從正態分布，如果，則（

）A．0.3413

B．0.6826

C.0.1587

D．0.0794參考答案：A依題意得：，．選A．7.已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若；②若；③如果相交；④若其中正確的命題是（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：D8.若拋物線上總存在兩點關于直線對稱，則實數a的取值范圍（）

A、

B、

C、

D、參考答案：A9.執行如圖的程序框圖，則輸出的值為（

）A．2

B．

C．

D．參考答案：A以4作為一個周期，所以，故選A10.已知函數f（x）=，若存在實數x1，x2，x3，x4，滿足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），則的取值范圍是(

) A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25）參考答案：A考點：分段函數的應用．專題：計算題；數形結合；函數的性質及應用．分析：畫出函數f（x）的圖象，確定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范圍．解答： 解：函數的圖象如圖所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范圍是（0，12）．故選：A．點評：本小題主要考查分段函數的解析式求法及其圖象的作法、函數的值域的應用、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.連續2次拋擲一顆質地均勻的骰子（六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數，則事件“點數之積是3的倍數”的概率為

．參考答案：總事件數為，目標事件：當第一顆骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當第一顆骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標事件共20中，所以。

12.的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的第2項為________．參考答案：13.若奇函數在上單調遞減，則不等式的解集是

參考答案：略14.某科技小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：（i）男學生人數多于女學生人數．（ii）女學生人數多余教師人數．（iii）教師人數的兩倍多余男學生人數．①若教師人數為，則女學生人數的最大值為__________．②該小組人數的最小值為__________．參考答案： 設男學生，女學生，教師人數分別為，，．由題意，建立方程組．，【注意有文字】①當時，由方程組解出，故此時女學生最多有人．②設小組總人數為，∵由上述方程組可得，即最小為才能滿足條件，此時，，故，即小組人數最少為人．15.已知x+y=2（x＞0，y＞0），則x2+y2+4的最大值為．參考答案：6【考點】基本不等式．【分析】利用配方法，結合二次函數的圖象與性質，即可求出的最大值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，∴2≥2，∴0＜xy≤1，當且僅當x=y=1時取“=”；∴=（x+y）2﹣2xy+4=22﹣2+2=6﹣2≤6，即的最大值是6．故答案為：6．【點評】本題考查了基本不等式的應用問題，是基礎題目．16.從，,，，…,推廣到第個等式為___________參考答案：…略17.設函數f(x)=x-,對任意x恒成立，則實數m的取值范圍是______

__.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

已知函數

(1)求函數的單調區間；

(2)過原點分別作曲線與的切線，已知兩切線的斜率互為倒數，證明或；

(3)設，當時，h(x)≥1，求實數a的取值范圍．參考答案：19.（本小題共14分）如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（I）求證：平面平面；（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；（III）求與平面所成角的最大值．參考答案：解析：解法一：（I）由題意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足為，連結（如圖），則，是異面直線與所成的角．在中，，，．又．在中，．異面直線與所成角的大小為．（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且．當最小時，最大，這時，，垂足為，，，與平面所成角的最大值為．解法二：（I）同解法一．（II）建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，，．異面直線與所成角的大小為．（III）同解法一20.設數列的前n項和為，若為常數，則稱數列為“科比數列”。

（Ⅰ）等差數列的首項為1，公差不為零，若為“科比數列”，求的通項公式；

（Ⅱ）數列的各項都是正數，前n項和為，若對任意

都成立，試推斷數列是否為“科比數列”？并說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）設等差數列的公差為，，因為，則，即．整理得．

因為對任意正整數上式恒成立，則，解得．

故數列的通項公式是．

（Ⅱ）由已知，當時，．因為，所以．當時，，．兩式相減，得．因為，所以=．

顯然適合上式，所以當時，．于是．因為，則，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列．所以不為常數，故數列不是“科比數列”21.等比數列{}的前n項和為，已知對任意的

，點，均在函數且均為常數)的圖像上.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）求r的值；

（2）當b=2時，記

求數列的前項和參考答案：解:因為對任意的,點，均在函數且均為常數)的圖像上.所以得,

當時,,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

當時,,又因為{}為等比數列,

所以,

………………6分（2）因為公比為,

所以

當b=2時，,

則

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

相減,得

=所以………………12分略22.已知數