第四章

湍流及其數學模型4.1

湍流模型通風空調房間的空氣流動一般為湍流，由于送風溫差的存在，浮升力對流動有一定的影響。空氣的流動滿足連續性方程、動量方程和能量方程。空氣流動的湍流特性一般采用適當的湍流模型描述。在湍流流動及換熱的數值計算方面，已經采用的數值計算方法大致分為完全模擬、大渦旋模擬和湍流輸運模型三類。4.1

湍流模型完全模擬(直接模擬)用非穩態Navier—Stokes(N—S)方程來對湍流進行直接計算的方法。這種方法，必須采用很小的時間與空間步長，因而它對內存空間的要求很高，同時計算時間也很長。目前世界上只有少數能使用超級計算機的研究者才能對從層流到湍流的過渡區流動進行這種完全模擬的探索。4.1

湍流模型大渦旋模擬基于把湍流流動分為大渦旋和小渦旋流動的假設，用一組三維非定常的方程求解大渦旋，用近似紊流輸運模型求解。它不必對雷諾應力等輸運項作假設，并能得到非常豐富的紊流信息，但它仍需要相當大容量內存的高速計算機，同時十分費機時，故在應用中比較有限。4.1

湍流模型湍流輸運模型基于簡化湍流流動模型而產生的，由于它直接模擬動量、熱量和濃度的輸運，故稱為湍流輸運模型。這類模型將非穩態控制方程對時間作平均，在所得出的關于時均量物理量的控制方程中包含了脈動量乘積的時均值等未知量，于是所得方程的個數就小于未知量的個數，要使方程組封閉，必須做出假設，即建立模型。4.1

湍流模型這種模型把未知的更高階的時間平均值表表示成較低階的、在計算中可以確定的量的函數。湍流輸運模型法又叫Reynolds時均方程法，當前在室內氣流計算方面，國際上主要還是采用這種方法，在時均Reynolds方程法中，又有Reynolds應力方程法及湍流粘性系數法兩大類。4.1.1

湍流粘性系數法紊流的時均化紊流物理量對時間平均值有兩種定義，即經典的Reynolds定義及質量加權平均的定義。對不可壓縮流體，兩種平均方法得出相同的結果。我們采用Reynolds平均方法來研究不可壓縮流體的紊流流動。4.1.1

湍流粘性系數法任一變量

的時間平均值定義為：其中時間間隔

相對于紊流的隨機脈動周期而言足夠地大，但相對于流場的各種時均量的緩慢變化周期來說，則應足夠地小。物理量的瞬時值、時均值

及脈動值

之間有如下關系：(4－1)(4－2)4.1.1

湍流粘性系數法湍流控制方程連續性方程

將三個坐標方向的瞬時速度表示成時均值與脈動值之和并代入連續性方程，再對該式作時均運算，得：4.1.1

湍流粘性系數法顯然：

即：4.1.1

湍流粘性系數法動量方程

以x方向的動量方程為例，作類似于上面的處理，有4.1.1

湍流粘性系數法

對其它兩個方向也可作類似的推導。現在把三個方向上的動量方程寫成直角坐標中張量符導形式：(4-3)4.1.1

湍流粘性系數法其它

變量方程

對其它

變量作類似的處理，可得(4-4)4.1.1

湍流粘性系數法關于脈動值附加項的討論由上述時均方程的導出過程可見，一次項在時均前后的形式保持不變，而二次項(即乘積項)在時均化處理后則產生包含脈動值的附加項。這些附加項代表了由于紊流脈動所引起的通量轉移(應力、熱流密度等)，其稱為Reynolds應力或紊流應力。為了使描寫紊流對流換熱的方程織得以封閉，必須找出確定這些附加項而又不引入新未知量的關系式。4.1.1

湍流粘性系數法實際上，紊流脈動值附加項的規定是Reynolds時均方程計算紊流的核心內容。所謂紊流模型就是指把紊流的脈動值附加項與時均值聯系起來的一些特定關系式。在紊流粘性系數法中，把紊流應力表示成紊流粘性系數的函數，整個計算的關鍵就在于確定這種紊流粘性系數。Boussis(1877)假設，紊流脈動所造成的附加應力也與層流運動應力那樣可以同時均的應變率關聯起來。4.1.1

湍流粘性系數法紊流脈動所造成的應力可以表示成為：pt是脈動速度所造成的壓力，定義為：這里K是單位質量流體紊流脈動動能：(4-5)4.1.1

湍流粘性系數法引入Boussinesq假設以后，計算紊流流動的關鍵就在于如何確定

。所謂紊流模型，在這里也就是指把

與紊流時均參數聯系起來的關系式。依據確定

的微分方程數目的多少，又有所謂零方程模型、一方程模型及兩方程模型等。4.1.1

湍流粘性系數法

類似于紊流切應力的處理，對其它變量的紊流脈動附加項可以引入相應的紊流擴散系數，為簡便起見均以

表示，則紊流脈動所傳遞的通量可以通過下列關系式而與時均參數聯系起來：實驗表明，與的比值，即紊流Prandtl數或紊流Schmidt數則幾乎是一常數。在紊流數值計算的文獻中常用符號

表示該比值，即：

(4-6)(4-7)4.1.1

湍流粘性系數法說明連續性方程：散度表示單位體積的凈通量。引入物理量

表示某一物理量。(4-8)4.1.1

湍流粘性系數法守恒定律：擴散通量

；由

梯度引起的。(4-9)4.1.1

湍流粘性系數法動量方程：4.1.1

湍流粘性系數法任一變量

的時間平均值定義為：4.1.1

湍流粘性系數法對

變量作平均處理，可得：對于動量方程，附加項為：4.1.1

湍流粘性系數法對其他變量附加項：紊流粘性系數與紊流擴散系數：4.2

零方程模型與一方程模型

零方程模型定義不使用微分方程，而是用代數關系式，把渦粘系數與時均值聯系起來的模型。方案最著名的是Prandtl提出的混合長度模型（mixinglengthmodel）。Prandtl假定湍動粘度

μt正比于時均速度

ui的梯度和混合長度lm

的乘積。4.2

零方程模型與一方程模型舉例在二維問題中，有：湍流切應力表示為：其中，混合長度lm由經驗公式或試驗確定。(4-10)(4-11)4.2

零方程模型與一方程模型優點直觀簡單，對于帶有薄的剪切層的流動（射流、混合層、擾動和邊界層等）比較有效。缺點混合長度lm在簡單流中容易確定，復雜流中很難確定，不能用于模擬帶有分離回流的流動。應用在復雜的實際工程中很少使用。4.2

零方程模型與一方程模型一方程模型組成方程瞬態項對流項擴散項產生項耗散項上式中，，為經驗常數，l為湍流脈動的長度比尺湍動能k的輸運方程(4-12)(4-13)4.2

零方程模型與一方程模型合理性考慮到湍流的對流輸運和擴散輸運，比零方程模型更為合理。應用長度比尺l的確定不易解決，很少在實際工程計算中應用。4.3

標準兩方程模型標準模型是典型的兩方程模型；該模型是在一方程模型的基礎上，新引入一個關于湍流耗散率

的方程后形成的；該模型是目前使用最廣泛的湍流模型。4.3.1

標準兩方程模型的定義標準模型由Launder和Spalding于1972年提出。模型中，為湍動能，

為湍動耗散率，湍流粘度表示成和的函數，，其中，為經驗常數。

(4-14)(4-15)4.3.1

標準兩方程模型的定義在標準模型中，和是兩個基本的未知量，與之對應的輸運方程為：(4-17)(4-16)速度梯度脈動擴張浮力4.3.1

標準兩方程模型的定義上式中是由于平均速度梯度引起的湍動能的產生項；

是由于浮力引起的湍動能的產生項；

代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻；

、和為經驗常數；和分別是與湍動能和耗散率

對應當Prandtl數；和是用戶根據計算工況定義的源項。4.3.2

標準模型的有關計算公式首先，Gk是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項，由下式計算:

是由于浮力引起的湍動能

的產生項，對于不可壓縮流體，＝0。對于可壓流體，有：(4-19)(4-18)4.3.2

標準模型的有關計算公式其中

是湍動Prandtl數，在該模型中可取

＝0.85，

是重力加速度在第i方向的分量，是熱膨脹系數，可結合可壓流體的狀態方程求出，其定義為：

代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻，對于不可壓流體，

。對于可壓流體，有：其中，

是湍動Mach數，；a是聲速，。(4-20)(4-21)4.3.2

標準模型的有關計算公式在標準

模型中，根據Launder等推薦值及后來的實驗驗證，模型常數

、

、

、

、

的取值為：

＝1.44，

＝1.92，

＝0.09，

＝1.0，

＝1.3對于可壓流體的流動計算中與浮力相關的系數

，當主流方向與重力方向平行時，有

＝1，當主流方向與重力方向垂直時，有

＝0。

根據以上分析，當流動為不可壓，且不考慮用戶自定義的源項時,=0，

＝0,＝0，

＝0，這時，標準

模型變為：

(4-22)(4-23)4.3.2

標準模型的有關計算公式以上兩個方程中的Gk按式(4-18)計算，其展開式為：(4-24)(4-25)(4-26)4.3.3

標準模型的控制方程組采用標準

模型求解流動及傳熱問題時，控制方程包括連續性方程、運動方程、能量方程、

方程、

方程與式（4-15）。若不考慮熱交換的單純流場計算問題，則不需要包含能量方程。若考慮傳質或有化學變化的情況，則應再加入組分方程。這些方程仍可以表示成如下通用形式：使用散度符號，上式記為：(4-27)(4-28)4.3.3

標準模型的控制方程組為了方便查閱，下表給出了在三維直角坐標系下，與通用形式（4-27）所對應的

模型的控制方程。方程擴散系數

源項S連續性方程100X向運動方程y向運動方程z向運動方程湍動能方程耗散率方程上面所介紹的各種兩方程模型都采用各向同性的湍動粘度來計算湍流應力，這些模型難于考慮旋轉流動及流線曲率變化的影響；為了克服這些弱點，有人提出直接對Reynolds方程中的湍流脈動應力直接建立微分方程并進行求解。這種方法統稱為雷諾應力模型(ReynoldsStressequationModel，RSM)；建立Reynolds應力的方式有兩種：一是Reynolds應力方程模型，二是代數應力方程模型。本節介紹第一種模型。4.4

Reynolds應力方程模型（RSM）4.4.1

Reynolds應力輸運方程

所謂Reynolds應力輸運方程，實質上是關于

的輸運方程；根據時均化法則

，只要分別的到了

和

的輸運方程，就自然得到關于

的輸運方程；為此，可以從瞬時速度變量的N-S方程出發，按下面兩個步驟來生成關于

的輸運方程。4.4.1

Reynolds應力輸運方程第一步，建立關于

的輸運方程。過程是：將

乘以

的N-S方程，將

乘以

的N-S方程，再將兩方程相加，得到

的方程，對此方程作Reynolds時均、分解、即得到

的輸運方程。注意，這里的

和

均指瞬時速度，非時均速度。第二步，建立

的輸運方程。將

乘以

的Reynolds時均方程，將

乘以

的Reynolds時均方程，再將兩方程相加，即得到

的輸運方程。4.4.1

Reynolds應力輸運方程將上面兩步得到的兩個輸運方程相減后，得到

的輸運方程，即Reynolds應力輸運方程。經量綱分析、整理后的Reynolds應力方程可寫成：4.4.1

Reynolds應力輸運方程方程中的第一項為瞬態項，其他各項依次為：:對流項

:湍動擴散項:分子粘性擴散項:剪應力產生項:浮力產生項:壓力應變項:粘性耗散項:系統旋轉產生項(4-29)4.4.1

Reynolds應力輸運方程上式各項中，

、

、

和

均只包含二階關聯項，不必進行處理；可是，

、

、

和

包含有未知關聯項，必須和前面構造

方程的過程一樣，構造其合理的表達式,即給出各項的模型，才能得到真正有意義的Reynolds應力方程；下面將逐項給出相應的計算公式。4.4.1

Reynolds應力輸運方程湍動擴散項

的計算

可通過Daly和Harlow所給出的廣義梯度擴散模型來計算：

有學者認為，該式有可能導致數值上的不穩定，因此，推薦用下式：式中，

是湍動粘度，按標準

模型中的式（4-15）計算。系數

，注意該值在Realizable

模型中為1.0。(4-30)(4-31)4.4.1

Reynolds應力輸運方程浮力產生項

的計算

因浮力所導致的產生項由下式計算：

其中，T是溫度，

是能量的湍動prandtl參數，在該模型中可取

＝0.85，

是重力加速度在i方向上的分量，

是熱膨脹系數，由式（4.20）計算。對理想氣體有：

如果流體是不可壓的，則

＝0。(4-32)(4-33)4.4.1

Reynolds應力輸運方程壓力應變項

的計算

僅在湍流各分量間存在，當時，它表示減小剪切應力，使湍流趨向于各向同性；當

時，它表示使湍動能在各應力分量間重新分配，對總量無影響；此項并不產生脈動能量，僅起到再分配的作用。因此，在有的文獻中稱此項為再分配項。4.4.1

Reynolds應力輸運方程

的普遍計算形式

其中，

是慢的壓力應變項，

是快的壓力應變項，

是壁面反射項。計算如下：這里，

＝1.8。(4-34)(4-35)4.4.1

Reynolds應力輸運方程其中，

＝0.60，

的定義見式（4-29），

。壁面反射項

的作用是對近壁面處的正應力進行再分配。它具有使垂直于壁面的應力變弱，而使平行于壁面的應力變強的趨勢。(4-36)(4-37)4.4.1

Reynolds應力輸運方程上式中，；是壁面單位法向矢量的

分量；d是研究的位置到固體壁面的距離；，其中

＝0.09；

是Karman常數，。4.4.1

Reynolds應力輸運方程粘性耗散項

的計算耗散項表示分子粘性對Reynolds應力產生的耗散；在建立耗散項的計算公式時，認為大尺度渦承擔動能輸運，小尺度渦承擔粘性耗散，因此小尺度渦團可看成是各向同性的；即認為局部各向同性的。依照該假定，耗散項最終可以寫成：(4-38)4.4.1

Reynolds應力輸運方程封閉的Reynolds應力輸運方程計算方法

將式（4-31）、（4-33）、（4-34）～（4-38）代入方程（4-29），即可得到封閉的Reynolds應力輸運方程，如下所示：4.4.1

Reynolds應力輸運方程注意：右式中引用

的項并沒有完全打開。是FLUENT等多數CFD軟件所使用的廣義Reynolds應力輸運方程，它體現了各種因素對湍流流動的影響，包括浮力，系統旋轉和固體壁面的反射等。(4-39)4.4.1

Reynolds應力輸運方程簡單形式的Reynolds應力輸運方程條件

不考慮浮力的作用（即

）；

不考慮旋轉的影響(即

)；

在壓力應變項中不考慮壁面反射（即

）。應用

如果將RSM只用于沒有系統轉動的不可壓流動，則可以選擇這種比較簡單的Reynolds應力輸運方程。

4.4.1

Reynolds應力輸運方程方程表達式(4-40)4.4.2

RSM的控制方程組及其解法在上述得到Reynolds應力輸運方程中，包含有湍動能

和耗散率

，為此，在使用RSM時，需要補充

和

的方程。RSM中的

方程和

方程如下：(4-41)(4-42)4.4.2

RSM的控制方程組及其解法式中是剪應力產生項，根據式（4-29）計算；是浮力產生項，按式（4-32）或（4-33）計算，對于不可壓流體，

＝0；是湍動粘度，；

＝1.44、

＝1.92、

＝0.09、

＝0.82、

＝1.0，這五個數均為常數；是與局部流動方向相關的一個數，按標準

模型的方法確定。(4-43)4.4.2

RSM的控制方程組及其解法這樣，由時均連續性方程、雷諾方程、Reynolds應力輸運方程（4-39）、

方程（4-41）和

方程（4-42），共12個方程構成了封閉的三維湍流流動問題的基本控制方程組。可通過SIMPLE等算法求解。4.4.2

RSM的控制方程組及其解法對控制方程組的說明如果需要對能量或組分等進行計算，需要建立其它針對標量型變量

（如溫度、組分濃度）的脈動量的控制方程。由于從Reynolds應力方程的3個正應力項可以得出脈動動能，即

，因此，不少文獻不把

作為獨立的變量，也不引入

方程，但多數文獻中則把

方程列為控制方程之一。4.5

大渦模擬（LES）大渦模擬的基本思想湍流包含一系列渦團，為了模擬其流動，我們希望計算網格的尺度小到足以分辨最小渦的運動，然而目前能采用的計算網格的最小尺度仍比最小渦的尺度大許多；系統中動量、質量、能量及其他物理量的輸運，主要由大尺度渦影響。大尺度渦與所求解的問題密切相關，由幾何及邊界條件所規定，各個大尺度渦的結構是互不相同的；4.5

大渦模擬（LES）小尺度渦幾乎不受幾何及邊界條件的影響，不像大尺度渦那樣與所求解的特定問題密切相關，小尺度渦趨向于各向同性，其運動具有共性；因此目前只能放棄對全尺度范圍上渦的瞬時運動的模擬，只將比網格尺度大的湍流運動通過瞬時N-S方程直接計算出來，而小尺度渦對大尺度渦運動的影響則通過一定的模型在針對大尺度渦的瞬時N-S方程中體現出來，從而形成了目前的大渦模擬法(LargeEddySimulation,簡稱LES)。4.5

大渦模擬（LES）實現大渦模擬所需的工作建立一種數學濾波函數，從湍流瞬時運動方程中將尺度比濾波函數的尺度小的渦濾掉，從而分解出描寫大渦流場的運動方程；建立附加應力項的數學模型，以體現被濾掉的小渦對大渦運動的影響。該模型稱為亞格子尺度模型（SubGrid-Scalemodel)，簡稱SGS模型。4.5.1

大渦的運動方程在LES方法中，通過使用濾波函數，每個變量都被分成兩部分。舉例

對于瞬時變量φ，有：a．大尺度的平均分量

。該部分叫做濾波后的變量，是在LES模擬時直接計算的部分。b．小尺度分量

。該部分是需要通過模型來表示的。4.5.1

大渦的運動方程注意

這里的平均分量

是濾波后得到的變量，它不是在時間域上的平均，而是在空間域上的平均。

式中，D是流動區域；

是實際流動區域中的空間坐標；

X是濾波后的大尺度空間上的空間坐標；

是濾波函數。(4-44)4.5.1

大渦的運動方程

決定了所求解的渦的尺度，即將大渦與小渦劃分開來；換句話說，只保留了φ在大于濾波函數寬度的尺度上的可變性。

的表達式有多種選擇，但有限體積法的離散過程本身就隱含地提供了濾波功能，即在一個控制體積上對物理量取平均值，因此，這里采用如下的表達式:

其中V是表示控制體積所占幾何空間的大小(4-45)4.5.1

大渦的運動方程式（4-44）可以寫成：用式(4-46)表示的濾波函數處理瞬時狀態下的Navier-Stokes方程及連續方程，有：LES方法中瞬時狀態下使用的控制方程組，式中帶有上劃線的量為濾波后的場變量(4-46)(4-47)(4-48)4.5.1

大渦的運動方程

被定義為亞格子尺度應力(subgrid-scalestreese，簡稱SGS應力)，它體現了小尺度渦的運動對所求解的運動方程的影響。(4-49)4.5.1

大渦的運動方程濾波前后比較濾波后的Navier-Stokes方程與RANS方程在形式上非常類似，區別在于這里的變量是濾波后的值，仍為瞬時值，而非時均值，同時湍流應力的表達式不同；濾波后的連續方程與時均化的連續方程相比，則沒有變化，這是由于連續方程具有線性特征。4.5.2

亞格子尺度模型目的

亞格子尺度模型簡稱SGS模型，是關于SGS應

力

的表達式，建立該模型是為了使方程(2-47)、(2-48)封閉。