在概率的研究中為什么需要引入隨機變量？

引入隨機變量是研究隨機現象統計規律性的需要。為了便于數學推理和計算，有必要將隨機試驗的結果數量化，使得可以用高等數學課程中的理論與方法來研究隨機試驗，研究和分析其結果的規律性，因此，隨機變量是研究隨機試驗的重要而有效的工具。隨機變量及其分布隨機變量、概率分布、分布函數離散型隨機變量及其分布律連續型隨機變量及其概率密度返回退出如何引入隨機變量的概念？為了全面地研究隨機試驗的結果，揭示隨機現象的統計規律性，我們將隨機試驗的結果與實數對應起來，將隨機試驗的結果數量化，引入隨機變量的概念。在隨機現象中，有很大一部分問題與數值發生關系，例如在產品檢驗問題中，我們關心的是抽樣中出現的廢品數；在車間供電問題中，我們關心的是某時刻正在工作的車床數；在電話問題中關心的是某段時間中的話務量，它與呼叫的次數及各次呼叫占用交換設備的時間長短有關。此外如測量時的誤差，氣體分子運動的速度，信號接收機所收到的信號(用電壓表示或數字表示)的大小，也都與數值有關。有些初看起來與數值無關的隨機現象，也常常能聯系數值來描述，例如在擲硬幣問題中，每次出現的結果為正面或反面，與數值沒有關系，但是我們能用下面方法使它與數值聯系起來，當出現正面時對應數“1”，而出現反面時對應數“0”，為了計算n次投擲中出現的正面數就只須計算其中“1”出現的次數了。如何引入隨機變量的概念？一般地，如果A為某個隨機事件，則一定可以通過如下示性函數使它與數值發生聯系：如果A發生如果A不發生這些例子中，試驗的結果能用一個數x來表示，這個數x是隨著試驗的結果的不同而變化的，也即它是樣本點的一個函數，這種量以后稱為隨機變量。下面我們就來考慮應當如何給這種量以嚴格的數學定義。正如對隨機事件一樣，我們所關心的不僅是試驗會出現的結果，更重要的是要知道這些結果將以怎樣的概率出現，也即對隨機變量我們不但要知道它取什么數值，而且要知道它取這些數值的概率。例1：將一枚硬幣拋擲3次，我們感興趣的是三次投擲中，出現H的總次數，而對H,T出現的次序不關心。以X記三次投擲中出現H的總次數，那么對于樣本空間S={e}中的每一個樣本點e，X都有一個值與之對應，即有樣本點HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110我們注意到，隨機變量的取值隨試驗的結果而定，而試驗的各個結果出現有一定的概率，因而隨機變量的取值有一定的概率。如，當且僅當事件A={HHT,HTH,THH}發生時有{x=2},而且P(A)=3/8,則P{x=2}=3/8。設隨機試驗的樣本空間為S=｛e｝,X=X(e)是定義在樣本空間S上的單值實函數，稱X=X(e)為隨機變量。概率分布

一般，若L是一個實數集合，將X在L上取值寫成{X∈L},它表示事件B={e∣X(e)∈L}，即B是由S中使得X(e)∈L的所有樣本點e所組成的事件，此時有P{X∈L}=P(B)=P{e∣X(e)∈L}。P{X∈L}稱為隨機變量X的概率分布。隨機變量設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數F(x)=P{X≤x}=P{e∣X(e)∈(－∞,ｘ]}稱為X的分布函數。分布函數設X(e)是定義于概率空間（S,F,P)上的單值實函數，如果對于直線上任意波雷爾點集B，有

{e∣X(e)∈B}則稱X(e)為隨機變量。概率分布而P{X(e)∈B}稱為隨機變量X(e)的概率分布。隨機變量特別地，取B=(－∞,ｘ），稱F(x)=P{X(e)<x}，－∞<x<∞為隨機變量X(e)的分布函數。分布函數[思考]對于有限樣本空間，或者由可列個點構成的樣本空間，我們只要知道每一個樣本點所構成的基本事件的概率，便可了解整個樣本空間的統計規律性。但是對于由不可列個點構成的樣本空間，我們不可能逐點去認識它的統計規律性，即不可能把隨機變量X取每個實數的概率一一列舉，更何況對于連續性隨機變量取任意指定的實數值的概率都等于0。在實際中，我們感興趣的往往是隨機變量X取值于某個區間(a,b)的概率，或取值于若干個這種區間的概率，如測量誤差小于某個數的概率，壽命大于某個數的概率，雨量介于100毫米到120毫米之間的概率，等等。前面我們給出了分布函數的定義，而分布函數F(x)在x處的函數值就表示隨機變量X取值于區間（-∞，x]上的概率，如果我們已知隨機變量X的分布函數F(x),那么隨機變量X取其它值的概率便可由此計算，如對于任意實數x1,x2(x1＜x2),有P{x1＜X≤x2}=P{X≤X2}-P{X≤X1}=F(x2)-F(x1)分布函數的基本性質分布函數F(x)具有下列性質:⑴F(x)是一個不減函數。即對于任意實數x1,x2(x1<x2),有F(x1)≤F(x2);⑵⑶F(x)是右連續的。即F(x+0)=F(x)為什么分布函數定義為右連續？定義左連續或者右連續只是一種習慣。目前，俄羅斯和東歐國家一般定義左連續；西歐和美國一般定義右連續；我國的大多數書籍也采用右連續。左連續和右連續的區別在于計算F(x)時，X=x點的概率是否計算在內。對于連續型隨機變量而言，因為一點上的概率等于零，定義左連續和右連續沒有什么區別；對于離散型隨機變量，如果P{X=x}≠0，則左連續和右連續時的F(x)值就不相同了。因此，在閱讀關于概率論的參考書時，要注意作者是定義左連續還是右連續的，以免出錯。返回X取其各個可能值xk(k＝1，2，…)的概率P{X＝xk}＝pk，稱為離散型隨機變量X的概率函數(概率分布或分布律)。分布率也可以用表格的形式來表示：稱為隨機變量X的分布列。如果隨機變量X的取值是有限個或可列無限多個，則稱X為離散型隨機變量。離散型隨機變量的概念Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量分布函數的計算有了分布列，可以通過下式求得分布函數顯然這時F(x)是一個跳躍函數，我們可以用分布列或分布函數來描述離散型隨機變量。例2：設一汽車在開往目的地的道路上需經過四組信號燈，每組信號燈以1／2的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的組數(設各組信號燈的工作是相互獨立的)，求X的分布律。解以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率，易知X的分布律為或寫成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4以p=1/2代入得X01234pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234pk0.50.250.1250.06250.0625例3設隨機變量X的分布律為求X的分布函數，并求P{X≤1/2},P{3/2＜X≤5/2},P{2≤X≤3}.解X－123pk1/41/21/4F(X)的圖形如下F(x)O1-1321X例4：一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任意同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能擊中靶，以X表示彈著點于圓心的距離。試求隨機變量X的分布函數。解若X<0，則{X≤x}是不可能事件，于是F(x)=P{X≤x}=0若0≤x≤2,由題意，P{0≤X≤x}=kx2,k是某一常數，為確定k的值，取x=2,有P{0≤X≤2}=22k，但已知P{0≤X≤2}=1,故得k=1/4,即P{0≤X≤x}=x2/4.于是F(x)=P{X≤x}=P{X＜0}+P{0≤X≤x}=x2/4.若X>2，由題意，有F(x)=P{X≤x}=1.綜合上述，即得X的分布函數為O1321X1/2F(x)退化分布若隨機變量a只取常數值c，即P{x=c}=1這時分布函數為(0—1)分布的分布律也可寫成（0—1）分布設隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1(0<p<1)，則稱X服從(0—1)分布或兩點分布。X01pk1-pp關于（0—1）分布對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即S={e1，e2}，我們總能在S上定義一個服從(0一1)分布的隨機變量來描述這個隨機試驗的結果。例如，對新生嬰兒的性別進行登記，檢查產品的質量是否合格，某車間的電力消耗是否超過負荷以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗等都可以用(0—1)分布的隨機變量來描述。(0一1)分布是經常遇到的一種分布。伯努利試驗設試驗E只有兩個可能結果：A及，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗。設P(A)＝p(0<p<1)，此時P()＝1-p。將E獨立地重復地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗。這里“重復”是指在每次試驗中P(A)＝p保持不變；“獨立是指各次試驗的結果互不影響，即若以Ci記第i次試驗的結果，Ci為A或，i＝1，2，…，n．“獨立”是指P{C1C2…Cn}＝P(C1)P(C2)…P(Cn)．n重伯努利試驗是一種很重要的數學模型．它有廣泛的應用，是研究最多的模型之一。n重伯努利試驗例如，E是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。A表示得正面，這是一個伯努利試驗．如將硬幣拋n次，就是n重伯努利試驗。又如拋一顆骰子，若A表示得到“1點”，表示得到“非l點”。將骰子拋n次，就是n重伯努利試驗。再如在袋中裝有a只白球，b只黑球。試驗E是在袋中任取一只球，觀察其顏色。以A表示“取到白球”，P(A)＝a／(a+b)。若連續取球n次作放回抽樣，這就是n重伯努利試驗。然而，若作不放回抽樣，則每次試驗都有P(A)＝a／(a+b)，但各次試驗不再相互獨立，因而不再是n重伯努利試驗了。伯努利試驗設試驗E只有兩個可能結果：A及，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗。n重伯努利試驗考慮n重伯努里試驗中，事件A恰出現k次的概率。以X表示n重伯努利試驗中事件A發生的次數，X是一個隨機變量，我們來求它的分布律。X所有可能取的值為o，1，2，…，n．由于各次試驗是相互獨立的，故在n次試驗中，事件A發生k次的概率為伯努利試驗與二項分布伯努利試驗與二項分布從圖中可以看出，對于固定的n及p，當k增加時，b(k;n,p)險隨之增加并達到某極大值，以后又下降。此外，當概率p越與1/2接近時，分布越接近對稱。固定n和p，當k取何值時，b(k;n,p)取最大值？由于對0<p<1,因此當k<(n+1)p時，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)當k=(n+1)p時，b(k;n,p)=b(k-1;n,p)當k>(n+1)p時，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)因為(n+1)p不一定是正整數，所以存在正整數m，使得(n+1)p-1＜m≤(n+1)P,當k=m時達到極大值。例5：按規定，某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品。已知某一大批產品的一級品率為0．2，現在從中隨機地抽查20只。問20只元件中恰有k只(k=0，，…，20)為一級品的概率是多少?解這是不放回抽樣。但由于這批元件的總數很大，且抽查的元件的數量相對于元件的總數來說又很小，因而可以當作放回抽樣來處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不大。我們將檢查一只元件看它是否為一級品看成是一次試驗，檢查20只元件相當于做20重伯努利試驗。以X記20只元件中一級品的只數，那么，X是一個隨機變量，且有X～b(20，0．2)。即得所求概率為例6：某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0．02，獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解：將一次射擊看成是一次試驗．設擊中的次數為X，則X～b(400，0．02)。X的分布律為什么是小概率事件？它有什么實際意義？小概率事件是指一次試驗中發生的概率很小的事件。但從理論上講，一個事件發生的概率不論多小，只要不斷重復試驗下去，事件遲早會出現的，概率是1。因為，若設P(A)＝>0，Ak為A在第k次試驗中出現，則

，于是在前n次試驗中，A至少出現一次的概率為其實際意義是，我們可以借助它判斷事情的真實性。因為根據實際推斷原理，小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的。而某一認為概率很小的事件，居然在一次試驗中發生了，人們就有理由懷疑其正確性。例7：設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0．01，且一臺設備的故障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺．試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小。解按第一種方法。以X記“第1人維護的20臺中同一時刻發生故障的臺數”，以Ai(i＝1，2，3，4)表示事件“第i人維護的20臺中發生故障不能及時維修”，則知80臺中發生故障而不能及時維修的概率為P(A1UA2UA3UA4)≥P(A1)＝P{X≥2}．而X～b(20，0．01)，故有按第二種方法．以Y記80臺中同一時刻發生故障的臺數。此時，Y～b(80，0．01)，故80臺中發生故障而不能及時維修的概率為我們發現，在后一種情況盡管任務重了(每人平均維護約27臺)，但工作效率不僅沒有降低，反而提高了。例8保險事業是最早使用概率論的部門之一。保險公司為了估計企業的利潤，需要計算各種各樣的概率，下面是典型問題之一。若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率等于0．005，現有10000個這類人參加人壽保險，試求在來來一年中在這些保險者里面，(1)有40個人死亡的概率；(2)死亡人數不超過70個的概率。解]作為初步近似，可以利用貝努里概型，n=10000．p=0．005，設為未來一年中這些人里面死亡的人數，則所求的概率分別為(1)b(40；10000,0.005)直接計算這些數值相當困難，要有更好的計算方法。可以利用概率論中的極限定理來實現近似計算。關于極限定理后面將討論。對某批N件產品進行不放回抽樣檢查，若這批產品中有M件次品，現從整批產品中隨機抽出n件產品，則在這n件產品中出現的次品數v是隨機變量，它取值0，1，2，…，n，其概率分布為超幾何分布。超幾何分布幾何分布在事件A發生的概率為p的貝努利試驗中，若以記A首次出現時的試驗次數，則為隨機變量，它可能取的值為1,2,3…，其概率分布為幾何分布。g(k,p)=P{=k}=qk-1p,k=1,2,…巴斯卡分布在事件A發生的概率為p的貝努利試驗中，若以記A第r次出現時的試驗次數，則為隨機變量，它可能取的值為r,r+1,…，其概率分布為巴斯卡分布。顯然當r=1時，即為幾何分布。返回連續型隨機變量、概率密度函數如果對于隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負函數f(x)使對于任一實數x，有則稱X為連續型隨機變量。函數f(x)稱為X的概率密度函數。由數學分析的知識知，連續性隨機變量的分布函數一定是連續函數。概率密度函數的性質由分布函數的性質可知，概率密度函數具有以下性質：(1)f(x)≥0，函數曲線位于x軸上方；

反之，對于定義在（-∞,∞)上的可積函數f(x),若它滿足性質1和性質2，則由它定義的F(x)是一個分布函數，即它滿足分布函數所必須具備的三個性質。連續型隨機變量在任何一點的概率對于連續性隨機變量X，X取任一指定實數值a的概率均為0，即P{X=a}=0。證X的分布函數為F(x)，⊿x>0，則由{X＝a){a-⊿x

<X≤a)得0≤P{X＝a}≤P{a-⊿x<X≤a}＝F(a)一F(a-⊿x)。在上述不等式中令⊿x→0，并注意到X為連續型隨機變量，其分布函數F(x)是連續的。即得P{X＝a}=0[注意}在計算連續型隨機變量落在某一區間的概率時，可以不必區分該區間是開區間或閉區間或半閉區間。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b>。在這里，事件{X=a)并非不可能事件，但有P{X＝a}=0．這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味著A是不可能事件。以后當我們提到一個隨機變量X的“概率分布”時，指的是它的分布函數；或者，當X是連續型時指的是它的概率密度，當X是離散型時指的是它的分布律。連續型隨機變量的f(x)⊿x在概率中的含義由概率密度f(x)的性質4，有

若不計高階無窮小，有P{x<X≤x+⊿x}≈f(x)⊿x這表示X落在小區間（x,x+⊿x]上的概率近似地等f(x)⊿x。例11設隨機變量X具有概率密度⑴確定常數k；⑵求X的分布函數F(x)；⑶求P{1<X≤7/2}。相應的分布函數為：均勻分布設連續型隨機變量X具有概率密度則稱X在區間(a,b)上服從均勻分布。記為X～U(a,b).分布函數均勻分布的密度函數與分布函數例12設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900～1100。求R的概率密度及R落在950～1050的概