2021年遼寧省沈陽市第二十高級中學高二數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定長為6的線段AB的端點A、B在拋物線上移動，則AB的中點到軸的距離的最小值為（

）

A.6

B.5

C.3

D.2參考答案：D略2.若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】設點，由結合兩點間的距離公式得出點P的軌跡方程，將問題轉化為雙曲線C與點P的軌跡有4個公共點，并將雙曲線C的方程與動點P的軌跡方程聯立，由得出b的取值范圍，可得出答案。【詳解】依題意可得，設，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長.3.函數的單調遞減區間是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.在同一坐標系中，將直線變換為直線的一個伸縮變換是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】設出伸縮變換方程，則，代入與直線比較即可。【詳解】設伸縮變換方程為，化為，代入可得，即，與直線比較可得，解得所以伸縮變換為故選C.【點睛】本題考查坐標的伸縮變換，解題的關鍵是先設出伸縮變換方程，代入直線后變形使兩直線方程系數相等即可。5.如果實數x、y滿足條件，則2x+y的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3參考答案：D【考點】簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，數形結合得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標，代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得B（1，1），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由圖可知，當直線y=﹣2x+z過B時直線在y軸上的截距最大，z最大為2×1+1=3．故選：D．6.如右圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是⊙O的切線，∠B=70°，則∠BAC等于（

）A.70° B.20° C.35°

D.10°參考答案：B7.在復平面內，復數i（2﹣i）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】首先進行復數的乘法運算，得到復數的代數形式的標準形式，根據復數的實部和虛部寫出對應的點的坐標，看出所在的象限．【解答】解：∵復數z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴復數對應的點的坐標是（1，2）這個點在第一象限，故選A．8.如圖，邊長為1正方形ABCD中，分別在邊BC、AD上各取一點M與N，下面用隨機模擬的方法計算|MN|＞1.1的概率．利用計算機中的隨機函數產生兩個0～1之間的隨機實數x，y，設BM=x，AN=y，則可確定M、N點的位置，進而計算線段MN的長度．設x，y組成數對（x，y），經隨機模擬產生了20組隨機數：（0.82，0.28）（0.47，0.38）（0.71，0.62）（0.68，0.83）（0.66，0.63）（0.66，0.18）（0.01，0.35）（0.59，0.06）（0.28，0.22）（0.27，0.05）（0.98，0.32）（0.92，0.99）（0.70，0.49）（0.38，0.60）（0.06，0.78）（0.24，0.46）（0.17，0.75）（0.77，0.59）（0.15，0.98）（0.63，0.78）通過以上模擬數據，可得到“|MN|＞1.1”的概率是（）A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7參考答案：B考點：模擬方法估計概率．專題：應用題；概率與統計．分析：由題意，經隨機模擬產生了如下20組隨機數，滿足題意，可以通過列舉得到共7組隨機數，根據概率公式，得到結果．解答：解：由題意，|MN|=＞1.1，∴（y﹣x）2＞0.21，20組隨機數，滿足題意的有（0.82，0.28），（0.66，0.18），（0.59，0.06），（0.98，0.32），（0.06，0.78），（0.17，0.75），（0.15，0.98），共7個，∴“|MN|＞1.1”的概率是=0.35，故選：B．點評：本題考查模擬方法估計概率，是一個基礎題，解這種題目的主要依據是等可能事件的概率，注意列舉法在本題的應用．9.若，則的值使得過點可以做兩條直線與圓相切的概率等于

不確定參考答案：B10.設x、y滿足約束條件的最大值為

（

）

A．0

B．2

C．3

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若關于x的方程恰好有4個不相等的實數解，則實數m的取值范圍為__________.參考答案：【分析】由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1；分析函數f（x）的單調性與極值，畫出f（x）的大致圖像，數形結合即可得到滿足4個根時的m的取值范圍．【詳解】解方程得，f（x）＝1或f（x）＝m﹣1；又當x>0時，，f′（x）；故f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；且f（1），當x＜0時，，f′（x）>0,所以在（﹣∞，0）上是增函數，畫出的大致圖像：若有四個不相等的實數解，則f（x）＝1有一個根記為t，只需使方程f（x）＝m﹣1有3個不同于t的根，則m﹣1；即1；故答案為【點睛】本題考查了利用導數研究方程根的問題，考查了函數的單調性、極值與圖像的應用，屬于中檔題．12.已知有下面程序，如果程序執行后輸出的結果是11880，那么在程序UNTIL后面的“條件”應為

參考答案：（或）

13.若實數x，y滿足不等式，則的取值范圍為．參考答案：[，]【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數斜率的幾何意義進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域，的幾何意義是區域內的點到D（﹣2，1）的斜率，由圖象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），則AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案為：[，]．14.給出下列結論：

（1）在回歸分析中，可用相關指數R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好；

（2）某工產加工的某種鋼管，內徑與規定的內徑尺寸之差是離散型隨機變量；

（3）隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度，它們越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；

（4）若關于的不等式在上恒成立，則的最大值是1；

（5）甲、乙兩人向同一目標同時射擊一次，事件：“甲、乙中至少一人擊中目標”與事件：“甲，乙都沒有擊中目標”是相互獨立事件。其中結論正確的是

*

。（把所有正確結論的序號填上）參考答案：（1）（3）（4）略15.已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A成立的一個必要不充分的條件是x∈B，則實數m的取值范圍是．參考答案：（﹣2，2）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據集合的包含關系得到關于m的不等式，解出即可．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A成立的一個必要不充分的條件是x∈B，即B?A，則﹣1＜m+1＜3，解得：﹣2＜m＜2，故答案為：（﹣2，2）．16.設：關于的不等式的解集為，：函數的定義域為，如果和有且僅有一個正確，則的取值區間是

.參考答案：17.已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為

▲

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知公差大于零的等差數列的前n項和為，且滿足：，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列是等差數列，且，求非零常數c；（3）在（2）的條件下，設，已知數列為遞增數列，求實數的取值范圍.參考答案：（1）（2）（3）(1)由得，解得或19.已知函數.（1）求不等式的解集。（2）若對任意時都有使得成立，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）;（2）.試題分析：（1）利用，去絕對值求解即可；（2）利用條件說明，通過函數的最值，列出不等式求解即可.試題解析：（1）當時，

（2）對任意時都有使得成立，

等價于

而，

只需.20.（本小題滿分12分）在對人們的休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動。

（1）根據以上數據建立一個2×2列聯表；

（2）判斷休閑方式與性別是否有關。（參考公式：參考數據：）參考答案：1解：（1）列聯表為性別

休閑方式

看電視運動總計女432770男213354總計6460124……………………6分（2）提出假設：休閑方式與性別無關，根據列聯表中的數據，可以求得…………．9分因為當成立時，，所以我們由把握認為休閑方式與性別有關系。……………12分略21.已知的展開式中，某一項的系數是它前一項系數的2倍，而又等于它后一項系數的．（1）求展開后所有項的系數之和及所有項的二項式系數之和；（2）求展開式中的有理項．參考答案：【考點】二項式定理的應用．【分析】利用展開式項的系數，由已知，求出n，（1）令x=1，得展開后所有項的系數之和（2）令展開式中x的指數為整數，求出有理項．【解答】解：的展開式的通項，由已知，得出

化簡，解得（1）在展開式兩端令x=1，得展開后所有項的系數之和為37=2187．所有項的二項式系數之和27=128．（2）當為整數時，項為有理項．所以r=0，2，4，6．有理項分別為1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．22.在平面直角坐標系中，已知向量（），，動點的軌跡為T．（1）求軌跡T的方程,并說明該方程表示的曲線的形狀；（2）當時，已知、，試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

參考答案：解：（1）∵

∴得

即------------------------------------2分當時，方程表示兩條與x軸平行的直線；----------------------------3分當時，方程表示以原點為圓心，4為半徑的圓；-----------------------4分當且時，方程表示橢圓；-------------------------------------5分當時，方程表示雙曲線.-------------------------------------------6分（2）由（1）知，當時，軌跡T的方程為：.連結OE，易知軌跡T上有兩個點A，B滿足,分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.∵同底等高的兩個三角形的面積相等∴符合條件的點均在直線、上.-------------------------------