第1章數字邏輯基礎§1.5

布爾代數的定理和規則§1.6.1利用代數的定理和規則化簡§1.6.2利用卡諾圖化簡主要內容邏輯電路化簡化簡：§1.5布爾代數的定律交換律結合律分配律AB=BA

A+B=B+A

(AB)C=A(BC)

(A+B)+C=A+(B+C)A(

B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)與或與或邏輯電路化簡吸收律00=001=10=0

11=10+0=00+1=1+0=11+1=1與或§1.5

布爾代數的恒等式A0=0

A+1=1A1=A

A+0=AAA=0

A+A=1AA=A

A+A=A

A=A與或非§1.5布爾代數的恒等式吸收律A+AB=A

A

(A+B)=AA+AB=A+B

A(A+B)=AB

(A+B)(A+C)=A+BCAB+AC+BC=AB+ACAB＋

AC＋BCD=AB+

AC常用恒等式§1.5布爾代數的定律反演律（摩根定律）AB=A+B

A+B=AB（第一定律）（第二定律）§1.5布爾代數的定律常用公式證明例：用真值表證明反演律(摩根定律)ABAB

A+BABA+B001111011011110110000000AB=A+B

A+B=A

BAB=A+B

A+B=A

B“兩項相加，一項含著另一項的非，則非因子多余.”

例：利用基本定律證明常用公式解1：常用公式證明解2：“與或表達式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的”公式可推廣：例：證明常用恒等式常用公式證明任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現此變量的位置均代之以一個邏輯函數式，則此等式依然成立。例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律邏輯代數的三個基本規則1、代入規則：2、反演規則：對于任意一個邏輯函數式L，做如下處理：（1）若把式中的運算符“與()”換成“或（+）”,“或（+）”換成“與()”；（2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；那么得到的新函數式稱為原函數式L的非函數式（反函數式）L。（3）原變量換成非變量（A換成A)，非變量換成原變量。②不屬于單個變量上的非號的處理方法：非號保留，而非號下面的函數式按反演規則變換。①保持原函數的運算次序--先與后或，必要時適當地加入括號；應用反演規則時注意：例：L(A、B、C)其非（反）函數：反演定理的應用：(1）若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；(2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數式為原函數式L的對偶式L′。對偶規則：如果兩個函數式相等，則它們對應的對偶式也相等。例：其對偶式3、對偶式：(2)函數式中有“”和“⊙”運算符，求非函數及對偶函數時，要將運算符“”換成“⊙”，“⊙”換成“”。

(1)求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。應用對偶規則時注意：五種常用表達式“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式1.邏輯函數的最簡與－或表達式§1.6邏輯函數的化簡例：已知邏輯圖，求函數表達式乘積項中的變量最少

乘積項最少最簡與或式邏輯函數化簡的意義

每個門的輸入端個數少

邏輯電路所用門的數量少

降低成本，提高可靠性根據最簡與或式得到的電路圖為：邏輯函數化簡的意義

從工程的角度，成本最低邏輯函數的變換邏輯函數化簡的意義方法：并項：利用將兩項并為一項，消去一個變量吸收：利用A+AB=A消去多余的項AB配項：利用增加必要的乘積項，再用并項或吸收的方法使項數減少消去：利用消去多余變量2.代數法化簡函數并項法吸收法消去法配項法例：試簡化函數解：利用公式利用公式利用公式利用公式例已知邏輯函數表達式為要求：（1）最簡的與－或邏輯表達式，并畫出相應的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解：（與－或邏輯表達式）（1）（a）最簡與－或表達式的邏輯圖（2）（b）使用與非門的等效邏輯圖例試對邏輯函數表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。解：最小項：在n個變量的邏輯函數中，P是n個變量的乘積項，如果在P中，每個變量都以原變量或反變量的形式出現一次且僅出現一次，則稱P為最小項。最小項的定義和表示3個變量的邏輯函數有以下8個最小項：最小項000001010011100101110111二進制數m0m1m2m3m4m5m6m7簡化表示§1.6.2卡諾圖化簡法001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111最小項的性質：2.任意兩個最小項的乘積恒為0，即mimj=0(i≠j)；3.所有最小項之和恒為1。1.每一最小項與一組變量取值相對應，只有這一組取值使該最小項的值為1；“積項和“實例：例：求函數的最小項之和表達式。解：2~4變量卡諾圖（K圖）A

B00011011

m0

m1

m2

m3

mi二變量K圖用卡諾圖表示邏輯函數卡諾圖定義：按照一定規律編號的一長方形或正方形的方格圖，每一方格代表一個最小項。AABBABBAABABAB1010

m0

m1

m2

m3LLABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7L三變量K圖相鄰項只有一個變量值不同CDAB0123456712131489111015四變量K圖0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCDLL根據函數畫卡諾圖的方法1.已知函數為最小項表達式，存在的最小項對應的格填1，其余格均填0。2.若已知函數的真值表，將真值表中使函數值為1的那些最小項對應的方格填1，其余格均填0。3.函數為一個復雜的運算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數的卡諾圖并化簡ABCL0000010100111001011101110011100011100000ABABCABC0100011110L得：m10例題：0001111000011110CDABm0Lm1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m111111000000000000因為卡諾圖中幾何上相鄰的最小項在邏輯上也是相鄰的。因此可以利用公式和消去一個變量，達到化簡的目的。化簡的依據K圖的特點（1）n個變量的函數的卡諾圖有2n個小方格，分別對應2n個最小項；（2）幾何上相鄰的最小項在邏輯上也是相鄰的。若兩個最小項只有一個因子不同，則稱邏輯相鄰。（3）幾何相鄰包括：直接相鄰、上下相鄰、左右相鄰、四角相鄰。0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD直接相鄰

左右相鄰

上下相鄰

四角相鄰四變量K圖L兩個最小項合并圖m3m11消去一個變量四個最小項合并圖消去二個變量八個最小項合并圖消去三個變量例：將L(A，B，C，D)=∑m（0，1，4，6，7，9，10，11，12，13，14，15）化為最簡與非—與非式用卡諾圖化簡得：最簡與非—與非式為：ACADBCBDABC0100011110001110CDAB111111111111L

用卡諾圖化簡邏輯函數（1）

畫邏輯函數的卡諾圖（3）每個圈寫出一個乘積項。按取同去異原則。

（4）最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式。步驟（2）

畫包圍圈，其原則為：

要將所有的1方格都畫入包圍圈圈入，以防止遺漏積項；

包圍圈越大越好，包圍圈個數越少越好；

同一個一方格可以多次參加畫圈，但每個圈中都要有新的一方格；先畫大圈，后畫小圈，單獨的一方格也不要漏掉；包圍圈內的一方格個數只能是1、2、4、8…。12345

畫包圍圈的原則（1）要將所有的1方格都畫入包圍圈圈入，以防止遺漏積項；（2）包圍圈越大越好，包圍圈個數越少越好；（3）同一個一方格可以多次參加畫圈，但每個圈中都要有新的一方格；（4）先畫大圈，后畫小圈，單獨的一方格也不要漏掉；（5）包圍圈內的一方格個數只能是1、2、4、8…。卡諾圖分組實例卡諾圖分組實例解：例：利用卡諾圖化簡邏輯函數L（A，B，C，D）=∑m(1,5,6,7,11,12,13,15)11111111ACD多余包圍圈0100011110001110CDABL解：0100011110001110CDAB11111111A00001111111m0,m5,m13兩次填1例:化簡邏輯函數十進制數輸入變量ABCD輸出

L000000100011200100300111401000501011601100701111十進制數輸入變量ABCD