第一章靜電場SteadyElectricField基本方程、分界面上的銜接條件邊值問題、惟一性問題鏡像法和電軸法電容和部分電容靜電能量與力靜電場的應用環路定律、高斯定律電場強度和電位序下頁返回1.0序靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產生的電場。它是電磁理論最基本的內容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應用推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。本章要求

深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電容、能量、力的各種計算方法。Introduction下頁上頁返回靜電參數(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數值法解析法邊值問題邊界條件電位基本方程D

的散度基本物理量E、D基本實驗定律（庫侖定律）靜電場知識結構E

的旋度下頁上頁返回1.1.1庫侖定律(Coulomb’sLow)ElectricFieldIntensityandElectricPotentialN(牛頓)適用條件：庫侖定律1.1電場強度和電位圖1.1.1兩點電荷間的作用力點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數F/m下頁上頁返回1.1電場強度和電位基本概念：1、試體：電場用另一電荷的受力來描述其特性，另一電荷就稱為試體。試體應是一個電量很小的點電荷（電荷與體積都盡可能小）2、兩類點：均用坐標及矢量表示源點：引起電場的點場點：電場中需要確定場量的點3、距離向量：原點到源點的距離向量原點到場點的距離向量源點到場點的距離向量

點電荷是電荷體分布的極限情況，可以把它看成是一個體積很小，總電量不變的帶電小球體。1.1.1庫侖定律(Coulomb’sLow)N(牛頓)適用條件：庫侖定律圖1.1.1兩點電荷間的作用力兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數F/m推論：①多個點電荷對q0的作用力：②連續分布電荷對q0的作用力，dq看作點電荷：庫侖定律說明：在電荷的周圍存在電場。1.1.2電場強度(ElectricIntensity)V/m(N/C)

定義：電場強度E

等于單位正電荷所受的電場力F（a）單個點電荷產生的電場強度V/m圖1.1.2點電荷的電場一般表達式為下頁上頁返回

（b)

n個點電荷產生的電場強度(矢量疊加原理)（c)

連續分布電荷產生的電場強度（根據物質結構理論，電荷的分布實際上是不連續的，但當考察電的宏觀現象時，可以把電荷的離散分布近似的用它的連續分布代替而得到令人滿意的結果）圖1.1.3矢量疊加原理圖1.1.4體電荷的電場元電荷產生的電場，體電荷，面電荷，線電荷線電荷分布體電荷分布面電荷分布下頁上頁返回解:軸對稱場，圓柱坐標系。

例1.1.1

真空中有一長為L的均勻帶電直導線，電荷線密度為,試求P

點的電場。下頁上頁返回圖1.1.5帶電長直導線的電場xx無限長直導線產生的電場平行平面場。0下頁上頁返回

例1-1

真空中有無限長均勻帶電直導線，電荷線密度為,試求P

點的電場。

例1-2

求電荷面密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度。帶電長直導線的電場矢量恒等式故靜電場是無旋場1.靜電場的旋度1.1.3旋度和環路定律(CurlandCircuitalLaw)點電荷電場取旋度0下頁上頁返回2.靜電場的環路定律電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場，是無旋場。由Stokes’定理，靜電場在任一閉合環路的環量說明即下頁上頁返回1.1.4電位（無限大真空）一、電壓的定義：P，Q兩點之間電壓為從P點到Q點移動單位正電荷電場力所作的功。（注意：起點與終點的方向順序，也即：為積分順序。）1、的計算：（由電場力作功公式推出），電壓單位為：伏特（V）即：P.Q兩點間的電壓只與P，Q兩點的位置有關，與路徑無關。推論：,可見功與能量守恒，即：靜電場為守恒場。2、電壓與路徑的關系：以點電荷q為例，而任意分布的電荷可看成點電荷dq的疊加，因而結果具有普遍性。二、電位：在整個電場選定唯一且固定的一個點Q作為參考點，空間任一點P與參考點之間的電壓定義為P點的電位。1、參考點選擇：理論上：無窮遠處為參考點，未注明以后參考點均指無窮遠。實際工程中：大地為為參考點。2、電位計算：①單個點電荷q：q放在坐標原點：q放在任意位置：②多個點電荷：先求點電荷的電位再求和。③連續分布：dq為點電荷，先求點電荷的電位再積分（也可看作求和）。負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標系中1.

E

與的微分關系矢量恒等式由根據E與的微分關系，試問靜電場中的某一點()

()??所以二、電位與電場強度的關系2.已知電荷求電位點電荷群連續分布電荷以點電荷為例式中相應的積分原域下頁上頁返回3.與E

的積分關系圖1.1.6E與的積分關系線積分式中設P0為電位參考點，即，則P點電位為所以下頁上頁返回4.電位參考點例如：點電荷產生的電位：點電荷所在處不能作為參考點場中任意兩點之間的電位差與參考點無關。選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單。電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個參考點。下頁上頁返回電荷分布在有限區域時，選擇無窮遠處為參考點。電荷分布在無窮遠區時，選擇有限遠處為參考點，

為什么？見參考書《電磁學專題研究》P591~P597下頁上頁返回5)電力線與等位線（面）E

線微分方程直角坐標系當取不同的

C

值時，可得到不同的等位線(面)。等位線(面)方程曲線上任一點的切線方向是該點電場強度E

的方向。電位相等的點連成的曲面稱為等位面。1.1.7電力線方程下頁上頁返回解：在球坐標系中所以用二項式展開，又有r>>d，得例1.2.1

畫出電偶極子的等位線和電力線(r>>d)

。圖1.1.8電偶極子下頁上頁返回電力線方程(球坐標系)：等位線方程(球坐標系)：將和代入E線方程表示電偶極矩（dipolemoment)，方向由-q指向+q。圖1.1.9電偶極子的等位線和電力線下頁上頁返回電力線與等位線（面）的性質：圖1.1.10點電荷與接地導體的電場圖1.1.11點電荷與不接地導體的電場E線不能相交,等線不能相交；E線起始于正電荷，終止于負電荷;E線愈密處，場強愈大;E線與等位線（面）正交；下頁上頁返回圖1.1.12介質球在均勻電場中圖1.1.13導體球在均勻電場中圖1.1.14點電荷位于無限大介質上方圖1.1.15點電荷位于無限大導板上方下頁上頁返回，體電荷，面電荷，線電荷例1-3真空中xy平面上一半徑為a的圓形線電荷（線電荷密度為）。試確定軸線上離圓心z處的P點的電位及場強。例1-4求面電荷密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電位和電場強度。例1-5正六邊椎體底面六個定點各有點電荷q，底邊的邊長為a，棱長與底面正六邊形的對角線相等，求椎體頂點的電場強度。作散度運算1.2.1真空中的高斯定律(Gauss’sTheoreminVacuum)高斯定律的微分形式1.E的散度說明靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。1.2高斯定律Gauss’sTheorem下頁上頁返回2.E的通量圖1.2.1閉合曲面的電通量圖1.2.2閉合面外的電荷對場的影響散度定理

S面上的E是由系統中全部電荷產生的。

E的通量等于閉合面S

包圍的凈電荷。下頁上頁返回

§1.2高斯通量定理前面討論了E的環路線積分:靜電場為守恒場本節討論的閉合面積分:高斯通量定理1.2.1真空中的高斯通量定理：1、點電荷：任意閉合面結果相同2、多個點電荷：（q為閉合面S內所有電荷)3、連續分布：1.2.2.電介質中的高斯定律(Gauss’sTheoreminDielectric)1.靜電場中導體的性質導體內電場強度E為零，靜電平衡；導體是等位體，導體表面為等位面；電場強度垂直于導體表面，電荷分布在導體表面，接地導體都不帶電。（）一導體的電位為零，則該導體不帶電。（）任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不

變的。（）下頁上頁返回無極性分子有極性分子圖1.2.3電介質的極化2.靜電場中的電介質電介質在外電場作用下發生極化，形成有向排列；電介質內部和表面產生極化電荷(polarizedcharge)；極化電荷與自由電荷都是產生電場的源。下頁上頁返回EE極化強度P(polarizationintensity

)表示電介質的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中

—電介質的極化率

各向同性媒質媒質特性不隨電場的方向改變,反之，稱為各向異性媒質；

線性媒質媒質參數不隨電場的值而變化，反之，稱為非線性媒質；

均勻媒質媒質參數不隨空間坐標而變化，反之，稱為非均勻媒質。下頁上頁返回極化強度P

是電偶極矩體密度，單個電偶極子產生的電位體積V內電偶極子產生的電位3.極化強度與極化電荷的關系圖1.2.4電偶極子產生的電位下頁上頁返回矢量恒等式：下頁上頁返回圖1.2.5體積V內電偶極矩產生的電位令極化電荷體密度極化電荷面密度下頁上頁返回電介質的強度（或：擊穿場強）：某種材料能承受最大場強而不至于擊穿的這個場強為其電介質的強度，電力產品的性能處決于其絕緣材料的電介質強度。常見絕緣材料的電介質強度。材料空氣云母橡膠玻璃電介質強度（伏/米）思考根據電荷守恒定律，極化電荷的總和為零電介質均勻極化時，極化電荷體密度有電介質時，場量為下頁上頁返回4.電介質中的高斯定律定義

—電位移矢量（displacementvector）所以高斯定律的微分形式取體積分有高斯定律的積分形式下頁上頁返回在各向同性介質中—介電常數F/m其中—相對介電常數，無量綱量。構成方程下頁上頁返回例1.2.1平板電容器中有一塊介質,畫出D、E

和P線分布。圖1.2.6D、E與P

三者之間的關系D線E線P線思考D

線由正的自由電荷出發，終止于負的自由電荷；E

線由正電荷出發，終止于負電荷；P

線由負的極化電荷出發，終止于正的極化電荷。電介質內部的電場強度是否減少了？下頁上頁返回例1.2.2

若點電荷±q

分別置于金屬球殼內外，問（1)

穿過閉合面（金屬球殼）的D

通量是多少？（2)閉合面上的D

與－q有關嗎？（3)

若在金屬球殼外放置電介質，重問1)，閉合面上的D

與電介質有關嗎？下頁上頁返回圖1.2.7點電荷±q分別置于金屬球殼的內外

在靜電場中（不問在真空還是介質中，也不問介質均勻與否），由任意閉合面穿出的D通量的面積分等于該面內自由電荷的代數和。這就是高斯通量定理的內容。五.高斯定律的文字表述高斯定律的微分形式高斯定律的積分形式計算技巧：a）分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當的閉合面作為高斯面，使

中的D可作為常數提出積分號外。

高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對稱性的場才有解析解。六.高斯定律的應用下頁上頁返回例1.2.3

試求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解:

分析場分布,取圓柱坐標系由得下頁上頁返回圖1.2.8無限長均勻帶電體球殼內的電場球殼外的電場例1.2.4

哪些區域的電場能用高斯定律直接求解？下頁上頁返回圖1.2.10±q分別在金屬球內外圖1.2.9q在金屬球殼內例1-8

真空中有兩個金屬球，外球殼帶電內球殼帶電，求1）內球殼外表面，外球殼內、外表面的帶電量；2）場中各處的電場強度及電位。比較場強疊加原理和高斯定律兩種解法，用高斯定律比較簡單，因此，能用高斯定律時，盡量不用其他方法。用高斯定律求場強分布，關鍵是對稱性分析。它只是在電場的對稱性已做出分析的基礎上可以求出場強的大小，而E的方向是在分析場分布的空間對稱時就已經得出的。試求半徑為a，電荷面密度為的均勻帶電球面的電場。試求半徑為a，電荷體密度為的均勻帶電球體的電場。例1-9

一長直圓柱電容器，其長度L遠大于截面半徑。已知內外導體的半徑為,中間介質的介電常數為，求介質中的電場強度與兩導體電壓之間的關系。例1-10

三個半徑分別為,帶電量分別為，求1）各球殼的電位2）當外球殼接地，其他球殼不接地時，其他球殼的電位3）當內球殼接地，其他球殼不接地時，其他球殼的電位1.3基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1基本方程(BasicEquation)靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。BasicEquationandBoundaryCondition靜電場的基本方程為微分形式積分形式構成方程下頁上頁返回矢量A

可以表示一個靜電場。能否根據矢量場的散度判斷該場是否靜電場?例1.3.1

已知試判斷它能否表示靜電場？解:

根據靜電場的旋度恒等于零的性質,思考下頁上頁返回包圍點P作高斯面()。1.3.2分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)1.D的銜接條件則有根據圖1.3.1介質分界面D

的法向分量不連續當時，

D

的法向分量連續。下頁上頁返回2.E的銜接條件圍繞點P作一矩形回路()。

E的切向分量連續。根據則有3.折射定理當交界面上時，折射定律下頁上頁返回圖1.3.2介質分界面4、的銜接條件設P1與P2位于分界面兩側，

因此電位連續得電位的法向導數不連續由，其中圖1.3.3電位的銜接條件下頁上頁返回用表示邊界條件：電位連續，電位的法向分量約束。①分界面電位連續：（能量連續）②電位法向分量約束。③金屬與介質分界面：即：導體（第一種介質）與電介質（第二種介質）分界面的邊界條件：小結：分界面的邊界條件：（沒有特別說明情況下，認為介質分界面無面電荷）1、邊界條件：由積分形式基本方程推導出，①切線分量：，②法線分量：

③折射定律：折射定律適應于無自由電荷分布的兩種電介質分界面。說明

（1）導體表面是等位面，E線與導體表面垂直；圖1.3.4導體與電介質分界面例1.3.2

試寫出導體與電介質分界面上的銜接條件。

解:

分界面銜接條件導體中E＝0，分解面介質側（2）導體表面上任一點的D

等于該點的。下頁上頁返回解：忽略邊緣效應圖(a)圖(b)例1.3.3

試求兩個平行板電容器的電場強度。下頁上頁返回圖1.3.5平行板電容器1.4邊值問題、惟一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程

(Poisson’sEquationandLaplace’sEquation)泊松方程—拉普拉斯算子BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem拉普拉斯方程當r=0時下頁上頁返回1.4.2邊值問題（BoundaryProblem)邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件(待講）分界面銜接條件

強制邊界條件有限值自然邊界條件有限值泊松方程拉普拉斯方程下頁上頁返回場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向導數的線性組合已知邊界上導體的電位已知邊界上電位的法向導數(即電荷面密度或電力線)下頁上頁返回有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計算法實驗法解析法數值法實測法模擬法邊值問題下頁上頁返回2、泊松方程與拉普拉斯方程的應用條件：各向同性、線性、均勻介質。3、泊松方程或拉普拉斯方程的邊值問題：第一類邊值問題，又名：第里赫列問題已知導體電位，求電場中電位的分布；第二類邊值問題，又名：聶以曼問題已知導體表面電荷分布密度，求導體電位及場中電位的分布；混合邊值問題：已知一些導體的電位和另一些導體的表面電荷分布密度，求整個電場分布。二、唯一性定理：只要滿足給定的邊值，則泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的（證明從略）有興趣的同學自己看，參考《矢量分析與場論》。例1.4.2

試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。解：根據場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題（陰影區域）下頁上頁返回圖1.4.1纜心為正方形的同軸電纜通解例1.4.3

試求體電荷產生的電位及電場。解：采用球坐標系,分區域建立方程邊界條件參考電位圖1.4.2體電荷分布的球體電場強度（球坐標梯度公式）：得到圖1.4.3隨r變化曲線下頁上頁返回1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)也即：只要滿足給定的邊值，則泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的（證明從略）有興趣的同學自己看，參考《矢量分析與場論》。惟一性定理

：

在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的。答案:（C

）例1.4.4

圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？圖1.4.4平板電容器外加電源U01.7鏡像法與電軸法鏡像法和電軸法的理論依據都是靜電場的唯一性定理。因此熟練地確定點電荷與接地導體（電介質）平面問題的鏡像電荷的大小和位置、點電荷與接地導體球問題的鏡像電荷的大小和位置，兩平行圓柱導體問題的電軸的位置和電量的大小都是本章的重點。掌握鏡像電荷的求法及鏡像法的有效區域是本節的難點。鏡像法處理問題的特點在于不直接去求解電位所滿足的泊松方程，而是在不改變求解區域電荷分布及邊界條件的前提下，用假象的簡單電荷分布（鏡像電荷）來等效地取代導體面（或電介質分界面）上復雜的感應（極化）電荷對電位的貢獻，從而使問題的求解過程大為簡化。1.7.1

鏡像法鏡象法①分區均勻媒質看作均勻媒質②用簡單的虛設電荷代替實際復雜的邊界分布電荷,只要邊界條件相同，就可用虛擬電荷計算待研究區域的電場。1.無限大導電平板的鏡象法：（第一類邊值問題）圖1.7.1平面導體的鏡像

方程相同，邊界條件相同，解惟一。空氣中除點電荷外，a上半場域除點電荷外b平板撤去，+q的鏡象位置放一個-q的點電荷，整個空間充滿的介質，上半空間也可滿足上述方程和上述邊界條件。地面上感應電荷的總量為（方向指向地面）例1.7.1

試求空氣中點電荷q在地面引起的感應電荷分布。解：設點電荷q

鏡像后圖1.7.2地面電荷分布下頁上頁返回2.球面導體的鏡像點電荷位于接地導體球外的邊值問題（除q點外的空間)設鏡像電荷如圖，球面電位下頁上頁返回圖1.7.3點電荷對接地導體球的鏡像將r1,r2代入方程，得聯立求解得到鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁上頁返回球外任一點P的電位與電場為圖1.7.5球外的電場分布鏡像電荷放在當前求解的場域外。鏡像電荷等于負的感應電荷總量。圖1.7.4球外的電場計算下頁上頁返回例1.7.2

不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。則任一點場強解：邊值問題（除q點外的空間)通量為零（大小相等）球面等位（位于球心）思路圖1.7.6不接地金屬球的鏡像下頁上頁返回

用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個數，大小與位置。圖1.7.7點電荷位于不接地導體球附近的場圖任一點電位球面電位思考下頁上頁返回圖1.7.8點電荷對導體球面的鏡像（一般了解）推廣：改為60的夾角，如下圖：則有：個鏡象電荷。思考題：（n為整數），鏡象電荷的個數為多少個？答案為：2n-1個。q-qq-qq-q3、兩種介質中的鏡象法：1、方程：介質中（除點電荷所在點外）介質中2、邊界條件：3、處理方法：中的電場計算：空間充滿的介質，利用及計算；中的電場計算：空間充滿的介質，利用計算。代入邊界條件則有：4、推廣：圖1.7.10電場分布圖試確定下圖鏡像電荷的個數、大小與位置。思考題：中的電場由q與q’共同產生，q’等效替代極化電荷的影響。

中的電場由q”決定，q”等效替代自由電荷與極化電荷的作用。圖1.7.11點電荷q1

與q2

分別置于與區域中思考下頁上頁返回提示例1-11參閱附圖，求（1）點電荷所受之力（2）區域2中，鏡像電荷所在處的電場強度及電位（3）點電荷與邊界距離一半處的電位例1-12兩種理想介質的交界面為極大的平面，介質1中有點電荷+q，試求介質2中P(0,-h,0)點的電位。例1-14如圖所示

，放入介質中，求所受力的作用。例1-15一個半徑為R的導體球上帶有電量為Q的電荷，在距球心d（）處有一點電荷，求（1）空間電位分布（2）導體球對點電荷q的力。如何求解，很長的平行帶電圓柱導體的電場。1.7.2電軸法（ElectricAxisMethod）電軸法是用兩根假想的帶等量異號電荷的無限長直線（電軸）來代替兩個帶電柱形導體，這樣就把求解電荷分布不均勻的帶電圓柱產生的電場問題，變成了求解兩電軸在所考慮區域內產生的電場問題。如果代替以后，仍然保持圓柱體上的邊界條件不變，根據唯一性定理，用線電荷算出的周圍空間的電位就是兩圓柱體周圍空間的電位。這個方法的關鍵是尋找兩根線電荷（即電軸）的位置。(導線以外的空間)能否用高斯定律求解？思考邊值問題下頁上頁返回1.7.12長直平行雙傳輸線1.兩根細導線產生的電位以y軸為參考電位，C=0，則令：C，等位線方程圖1.7.13兩根帶電細導線下頁上頁返回K取不同值時，得到一族偏心圓。a、h、b滿足關系整理后，等位線方程圓心坐標圓半徑圖1.7.14兩根細導線的等位線下頁上頁返回根據，得到Ex和Ey

分量圖1.7.15兩細導線的場圖E

線方程思考若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，

是否會影響電場分布？若在金屬圓柱管內填充金屬，重答上問。下頁上頁返回2.電軸法(以y軸為參考電位)例1.7.3

試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。b)圓柱導線間的電場與電位解：a)取圓柱坐標系電軸位置下頁上頁返回圖1.7.16平行傳輸線電場的計算例1.7.4

試決定圖示不同半徑平行長直導線的電軸位置。圖1.7.17不同半徑傳輸線的電軸位置解：下頁上頁返回1）參考電位的位置；2）有效區域。解：確定例1.7.5

試確定圖示偏心電纜的電軸位置。注意：圖1.7.18偏心電纜電軸位置下頁上頁返回例1.7.6

已知平行傳輸線之間電壓為U0,試求電位分布。解：

確定電軸的位置所以設電軸線電荷，任一點電位下頁上頁返回圖1.7.19電壓為U0的傳輸線

鏡像法（電軸法）小結

鏡像法（電軸法）的理論基礎是：鏡像法（電軸法）的實質是：鏡像法（電軸法）的關鍵是：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區域。疊加時，要注意場的適用區域。

用虛設的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個數、大小及位置；應用鏡像法（電軸法）解題時，注意：下頁上頁返回1.8電容定義：單位：電容只與兩導體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質有關。工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。電容的計算思路：設CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容及部分電容一、單個導體的電容：孤立導體與無限遠處另一導體間的電容例1：半徑為R的球形導體的電容計算。二、兩導體之間的電容：例2：兩無限長，半徑為a的圓柱形導線，單位長度的電容的計算。0yx解：設內導體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容當時（孤立導體球的電容）

例1.8.1

試求同心球殼電容器的電容。圖1.8.1同心球殼電容器（1）電位分布（2）單位長度上導線之間的電容例1.8.2

半徑為a1,a2的兩平行導體圓柱的軸間距離為d，設它們單位長度上所帶的電量分別為，求掌握：1．

利用電場強度和電位的定義計算電場2．

利用電場強度和電位的關系計算電場3．

根據泊松方程和拉普拉斯方程計算電場4．

根據高斯通量定理計算對稱的電場5．

利用唯一性定理及其方法電軸法、鏡像法計算電場6．

靜電場的基本方程，兩種媒質的分界條件7．

靜電場中的導體與電介質的特點8．

電容的計算難點：1、電位參考點的選擇2、鏡象法3、電軸法1.8.2部分（分布）電容（DistributedCapacitance)1.已知導體的電荷，求電位和電位系數圖1.8.2三導體靜電獨立系統多導體系統靜電獨立系統部分電容基本概念下頁上頁返回導體的電位與電荷的關系為下頁上頁返回導體i電位的貢獻；

ai

i

—自有電位系數，表明導體i上電荷對

a—電位系數，表明各導體電荷對各導體電位的貢獻；

ai

j—互有電位系數，表明導體j

上的電荷對導體i電位的貢獻；下頁上頁返回矩陣形式2.已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數

b—靜電感應系數，表示導體電位對導體電荷的貢獻；

bii—自有感應系數，表示導體i電位對導體i電荷的貢獻；

bij—互有感應系數，表示導體j電位對導體i電荷的貢獻。矩陣形式：下頁上頁返回3.已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容矩陣形式部分電容的性質靜電獨立系統中n＋1個導體有個部分電容Ci

j均為正值，下頁上頁返回部分電容是否為零，取決于兩導體之間有否電力

線相連；

部分電容可將場的概念與電路結合起來。下頁上頁返回圖1.8.3部分電容與電容網絡

例1.8.2

試計算考慮大地影響時，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知d>>a,且a<<h。解：

部分電容個數由對稱性，得(1)圖1.8.4兩線輸電線及其電容網絡下頁上頁返回電容與帶電量無關，故則利用鏡像法，兩導體的電位代入式（2），得(2)下頁上頁返回圖1.8.5兩線輸電線對大地的鏡像聯立解得兩線間的等效電容：下頁上頁返回所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應用。圖1.8.6靜電屏蔽

三導體系統的方程為：

4.靜電屏蔽當時，說明1號與2號導體之間無靜電聯系，實現了靜電屏蔽。下頁上頁返回1.9靜電能量與力1.9.1靜電能量(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce1.用場源表示靜電能量q3從移到c點，所需能量q2從移到b點，需克服q1的電場力做功，q1從移到a點不受力，所需能量W1=0，下頁上頁返回圖1.9.1點電荷的能量總能量推廣1：若有n個點電荷的系統，靜電能量為單位：J（焦耳）推廣2：若是連續分布的電荷，下頁上頁返回2.用場量表示靜電能量矢量恒等式能量密度因當時，面積分為零，故能量下頁上頁返回例1.9.1

試求真空中體電荷密度為的介質球產生的靜電能量。解法一

由場量求靜電能量下頁上頁返回解法二

由場源求靜電能量球內任一點的電位代入式（1）(1)下頁上頁返回

例1.9.2

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負電荷云-q包圍，試求原子結合能。解：例1.9.1中當時下頁上頁返回圖1.9.2原子結構模型1.9.2靜電力(ElectrostaticForce)1.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)功=廣義力×廣義坐標廣義坐標距離面積體積角度廣義力機械力表面張力壓強轉矩單位NN/mN/m2Nm廣義力f：企圖改變廣義坐標的力。廣義坐標g：距離、面積、體積、角度。下頁上頁返回力的方向：f的正方向為g增加的方向。（1）常電荷系統（K斷開）表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實現。在多導體系統中，導體p發生位移dg后,其功能關系為外源提供能量

=

靜電能量增量+

電場力所作功即圖1.9.3多導體系統(K斷開)下頁上頁返回外源提供能量的增量

說明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。（2）常電位系統（K閉合）廣義力是代數量，根據f的“±”號判斷力的方向。圖1.9.4多導體系統(K閉合)下頁上頁返回解法一：常電位系統例1.9.3

試求圖示平行板電容器極板的電場力。圖1.9.5平行板電容器取d為廣義坐標（相對位置坐標）負號表示電場力企圖使d

減小，即電容增大。下頁上頁返回解法二：常電荷系統負號表示電場力企圖使d

減小，即電容增大。下頁上頁返回例1.9.4

圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a

，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場力。解：取體積為廣義坐標f的方向是廣義坐標V增加的方向，表現為膨脹力。N/m2下頁上頁返回圖1.9.6球形薄膜2.法拉第觀點（Farade’sreview）法拉第認為，沿通量線作一通量管，沿其軸向受到縱張力，垂直于軸向受到側壓力，其大小為圖1.9.9根椐場圖判斷帶電體受力