北京廣渠門中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，若正實數a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a?b?c的取值范圍為（）A．（e，e2） B．（1，e2） C． D．參考答案：A【考點】3T：函數的值．【分析】圖解法，畫出函數的圖象，根據圖象分析可得abc的取值范圍．【解答】解：如圖，畫出函數的圖象，設a＜b＜c，則|lna|=|lnb|，即有lna+lnb=0，即有ab=1，當x＞e時，y=2﹣lnx遞減，且與x軸交于（e2，0），∴abc=c，且e＜c＜e2，可得abc的取值范圍是（e，e2）．故選：A．2.函數在處連續，則a的值為（

）.

A.5

B.3

C.2

D.1參考答案：答案：A3.過點的直線將圓分成兩段弧，當其中的劣弧最短時，直線的方程是

（

） A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.設集合，則集合等于A、(,-1)

B、(-l，1)

C、D、(1，+)參考答案：C,,所以,所以,選C.5.設函數f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三個根，分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），則x1+2x2+x3的值為（）A．π B． C． D．參考答案：C【考點】正弦函數的圖象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范圍，由正弦函數的圖象畫出函數的大致圖象，由函數的圖象，以及正弦圖象的對稱軸求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由題意x∈[0，]，則2x+∈[，]，畫出函數的大致圖象：由圖得，當時，方程f（x）=a恰好有三個根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由圖知，點（x1，0）與點（x2，0）關于直線對稱，點（x2，0）與點（x3，0）關于直線對稱，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故選C．6.已知為虛數單位，則＝（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略7.中央電視臺第一套節目午間新聞的播出時間是每天中午12：00到12：30，在某星期天中午的午間新聞中將隨機安排播出時長5分鐘的有關電信詐騙的新聞報道．若小張于當天12：20打開電視，則他能收看到這條新聞的完整報道的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】幾何概型．【分析】他能收看到這條新聞的完整報道，播出時間是12：20到12：25，長度為5；12：00到12：30，長度為30，即可求出他能收看到這條新聞的完整報道的概率，【解答】解：他能收看到這條新聞的完整報道，播出時間是12：20到12：25，長度為5；12：00到12：30，長度為30，∴他能收看到這條新聞的完整報道的概率是=，故選D．8.已知sinα=，則cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：B【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】利用誘導公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，則cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故選：B．9.設正實數x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．則當取得最大值時，的最大值為（）A．0 B．1 C． D．3參考答案：B【考點】基本不等式．【分析】依題意，當取得最大值時x=2y，代入所求關系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實數，∴==≤=1（當且僅當x=2y時取“=”），∴=1，此時，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，當且僅當y=1時取得“=”，滿足題意．∴的最大值為1．故選B．10.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數被稱為狄利克雷函數，其中為實數集,為有理數集，則關于函數有如下四個命題：①；

②函數是偶函數；③任取一個不為零的有理數,對任意的恒成立；④存在三個點，使得為等邊三角形.其中真命題的個數是A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線被圓截得的弦長為

．參考答案：

考點：極坐標與直角坐標的互化,直線被圓截得的弦長12.若函數f（x）=sin的最小正周期為π，則ω=．參考答案：2【考點】三角函數的周期性及其求法；正弦函數的圖象．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】由條件利用誘導公式、二倍角公式化簡函數的解析式為f（x）=sinωx，再根據y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出結論．【解答】解：由于函數f（x）=sin=sin?cos=sinωx的最小正周期為π，則=π，∴ω=2，故答案為：2．【點評】本題主要考查誘導公式、二倍角公式的應用，三角函數的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，屬于基礎題．13.(理)函數圖像的頂點是，且成等比數列，則_____．參考答案：1414.在中，角所對的邊分別為，且，是的中點，且，，則的最短邊的邊長為

．參考答案：15.若函數對定義域D內的每一個，都存在唯一的，使得成立，則稱為“自倒函數”，給出下列命題：①是自倒函數；②自倒函數可以是奇函數；③自倒函數的值域可以是R；④若都是自倒函數且定義域相同，則也是自倒函數則以上命題正確的是

．(寫出所有正確的命題的序號)參考答案：①②因為,所以,因此滿足“自倒函數”定義;因為奇函數滿足“自倒函數”定義,所以②對;自倒函數不可以為零;因為,都是自倒函數且定義域相同，但不是自倒函數(不唯一),因此命題正確的是①②

16.設是定義在R上的周期為2的函數，當時，，則

。參考答案：117.（坐標系與參數方程選做題）設點的極坐標為，直線過點且與極軸垂直，則直線的極坐標方程為__________________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數（1）

求的最小正周期和最小值；（2） 若不等式對任意恒成立，求實數m的取值范圍參考答案：略19.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為,直線被橢圓C截得的線段長為.（1）求橢圓C的方程；（2）過原點的直線與橢圓C交于A、B兩點（A、B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且，直線BD與x軸y軸分別交于M、N兩點.①設直線BD、AM斜率分別為，證明存在常數使得，并求出的值；②求面積的最大值.參考答案：(1).(2)①證明見解析，；②.試題分析：（1）首先由題意得到，即.將代入可得，由，可得.得解.（2）（ⅰ）注意從確定的表達式入手，探求使成立的.設，則，得到，根據直線BD的方程為，令，得，即.得到.由，作出結論.（ⅱ）直線BD的方程，從確定的面積表達式入手，應用基本不等式得解.試題解析：（1）由題意知，可得.橢圓C的方程可化簡為.將代入可得，因此，可得.因此，所以橢圓C的方程為.（2）（?。┰O，則，因為直線AB的斜率，又，所以直線AD的斜率，設直線AD的方程為，由題意知，由，可得.所以，因此，由題意知，所以，所以直線BD的方程為，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常數使得結論成立.（ⅱ）直線BD的方程，令，得，即，由（?。┲傻玫拿娣e，因為，當且僅當時等號成立，此時S取得最大值，所以的面積的最大值為.20.（16分）若數列{an}滿足條件：存在正整數k，使得an+k+an﹣k=2an對一切n∈N*，n＞k都成立，則稱數列{an}為k級等差數列．（1）已知數列{an}為2級等差數列，且前四項分別為2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinωn（ω為常數），且{an}是3級等差數列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值時數列{an}的前3n項和S3n；（3）若{an}既是2級等差數列{an}，也是3級等差數列，證明：{an}是等差數列．參考答案：【考點】等差數列的性質；數列遞推式．【專題】等差數列與等比數列．【分析】（1）由新定義結合已知求出a8、a9的值，則a8+a9的值可求；（2）由an=2n+sinωn，且{an}是3級等差數列，列式得到2sinωn=2sinωncos3ω（n∈N*），求得sinωn=0，或cos3ω=1．進一步求出ω的取值集合，求出ω的最小正值后求出，得到a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=6（3n﹣1），然后利用分組求和求得S3n；（3）由{an}為2級等差數列，即an+2+an﹣2=2an，得到{a2n﹣1}，{a2n}均成等差數列，分別設出等差數列{a2n﹣1}，{a2n}的公差為d1，d2．由{an}為3級等差數列，即an+3+an﹣3=2an，得到{a3n﹣2}成等差數列，設公差為D．由a1，a7既是{a2n﹣1}中的項，也是{a3n﹣2}中的項，a4，a10既是中{a2n}的項，也是{a3n﹣2}中的項列式得到a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．從而說明{an}是等差數列．【解答】（1）解：a8=a2+3（a4﹣a2）=0+3×（3﹣0）=9，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=19；（2）∵{an}是3級等差數列，an+3+an﹣3=2an，2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0對n∈N*恒成立時，ω=kπ（k∈Z）．cos3ω=1時，3ω=2kπ（k∈Z），∴，∴．∴ω最小正值等于，此時，由于（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=6（3n﹣1）（n∈N*）.=9n2+3n（n∈N*）；（3）證明：若{an}為2級等差數列，即an+2+an﹣2=2an，則{a2n﹣1}，{a2n}均成等差數列，設等差數列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分別為d1，d2．{an}為3級等差數列，即an+3+an﹣3=2an，則{a3n﹣2}成等差數列，設公差為D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的項，也是{a3n﹣2}中的項，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的項，也是{a3n﹣2}中的項，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．設d1=d2=2d，則D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．綜合得：an=a1+（n﹣1）d，∴{an}為等差數列．【點評】本題考查了數列遞推式，考查了等差數列的性質，是新定義題，關鍵是對k級等差數列概念的理解，考查了學生的邏輯思維能力和推理論證能力，是有一定難度題目．21.（12分）設數列{an}的前n項和為sn，點（n，）（n∈N*）均在函數y=x+1的圖象上．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若{bn}為正項等比數列，且b1=1，b1b2b3=8，求{bn}的通項公式和前n項和Gn；（3）求{an?bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】：等差數列與等比數列的綜合；數列的求和．【專題】：計算題；等差數列與等比數列．【分析】：（1）由數列{an}的前n項和為Sn，點（n，）（n∈N*）均在函數y=x+1的圖象上，知，，由此能求出數列{an}的通項公式．（2）由=8，知b2=2，由b1=1，知q=2，從而能求出{bn}的通項公式和前n項和Gn．（3）由an=2n，，知an?bn=2n?2n﹣1=n?2n，由此能求出{an?bn}的前n項和Tn．解：（1）∵數列{an}的前n項和為Sn，點（n，）（n∈N*）均在函數y=x+1的圖象上，∴，，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，當n=1時，a1=S1=2，∴an=2n．（2）∵=8，∴b2=2，∵b1=1，∴q==2，∴=2n﹣1，∴Gn===2n﹣1．（3）∵an=2n，，∴an?bn=2n?2n﹣1=n?2n，Tn=1×21+2×2