./第四章作業題解4.1甲、乙兩臺機床生產同一種零件,在一天內生產的次品數分別記為X和Y.已知的概率分布如下表所示:X0123P0.40.30.20.1Y0123P0.30.50.20如果兩臺機床的產量相同,問哪臺機床生產的零件的質量較好？解：因為,即乙機床的平均次品數比甲機床少,所以乙機床生產的零件質量較好。4.2袋中有5個球,編號為1,2,3,4,5,現從中任意抽取3個球,用X表示取出的3個球中的最大編號,求E<X>.解：X的可能取值為3,4,5.因為；；所以4.3設隨機變量X的概率分布其中是個常數,求解:,下面求冪級數的和函數,易知冪級數的收斂半徑為,于是有根據已知條件,,因此,所以有.4.4某人每次射擊命中目標的概率為,現連續向目標射擊,直到第一次命中目標為止,求射擊次數的期望.解：因為的可能取值為1,2,……。依題意,知的分布律為所以4.5在射擊比賽中,每人射擊4次,每次一發子彈.規定4彈全未中得0分,只中1彈得15分,中2彈得30分,中3彈得55分,中4彈得100分.某人每次射擊的命中率為0.6,此人期望能得到多少分？解：設4次射擊中命中目標的子彈數為X,得分為Y,則X~B<4,0.6>因為所以Y的分布律為Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分為=44.644.6設隨機變量X的概率分布為說明的期望不存在。解:級數發散,不符合離散型隨機變量期望定義的要求,從而的期望不存在.4.7設從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,在各交通崗遇到紅燈是相互獨立的,其概率均為0.4.求途中遇到紅燈次數的期望.解：設遇到紅燈次數為X,依題意,知X~B<3,0.4>故4.8設隨機變量X的概率密度函數為,求解：4.9設隨機變量X的概率密度函數為又,求常數的值.解：由,得①因為所以,由,得②又由,得③解聯立方程①②③,得,,4.10設隨機變量X的概率密度函數為說明的期望不存在.解:積分,顯然,積分發散,根據連續型隨機變量期望的定義,的期望不存在.4.11某地抽樣調查結果表明,考生的外語成績X<百分制>近似服從正態分布,平均成績為72分,96分以上的考生占考生總數的2.3%.求考生外語成績在60分至84分之間的概率.解：設,依題意得,又,則即有所以得所以故所求的概率為4.12對習題4.1中的隨機變量X,計算.解：4.13設隨機變量X的概率密度函數為,分別計算的期望和的期望解：因為,其中,所以故4.14對球的直徑做近似測量,設其值均勻分布在區間內,求球體積的均值.解：設球的直徑測量值為,體積為,則有.顯然的概率密度函數為因此,球體積的均值為.4.15游客乘電梯從電視塔底層到頂層觀光,電梯于每個整點的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起運行.設某一游客在早八點的第X分鐘到達底層候梯處,且,求該游客等候時間的期望.解:用隨機變量表示游客的等候時間<單位:分鐘>,則,其函數關系為由于,根據隨機變量函數的期望公式,可得游客等候時間的期望為4.16設二維隨機向量的概率密度函數為,求.解：因為,當時,當時,所以,又故設隨機變量X與Y相互獨立,概率密度函數分別為和求.解：,因為X和Y相互獨立,所以.設二維隨機向量服從圓域上的均勻分布,求.解:根據二維隨機向量的計算公式：此積分用極坐標計算較為方便,于是有4.19設隨機變量X與Y相互獨立,并且均服從,求.解：由于X服從,故其分布函數為同理,Y服從,故其分布函數為于是根據公式,的分布函數為求到后得密度函數因此4.20民航機場的一輛送客汽車每次載20名旅客自機場開出,沿途有10個車站.若到達一個車站時沒有旅客下車,就不停車.設每名旅客在各個車站下車的概率是等可能的,求汽車的平均停車次數.解：用隨機變量表示汽車的10個車站總的停車次數,并記顯然,均服從兩點分布,且,于是有由此求得.4.21將一顆均勻的骰子連擲10次,求所得點數之和的期望.解：設Xi表示第i次擲出的點數<i=1,2,…,10>,則擲10次骰子的點數之和為。因為Xi的分布律為<k=1,2,…,6>,所以故.4.22在習題4.4中,若直到命中目標次為止,求射擊次數的期望.解：設是從第次命中目標到第次命中目標之間的射擊次數,的分布律為記隨機變量,并且注意到隨機變量概率分布相同,因此4.23求習題4.1中隨機變量的方差.解：由T4.1知,,由T4.12知又故.4.24求習題4.9中隨機變量X的方差解:由T4.1知,故4.25設二維隨機向量的概率密度函數為,求和.解：因為,當時,即所以,由對稱性得,4.26設隨機變量,并且X與Y相互獨立,求和.解：因為,所以,又X和Y相互獨立,故.4.27設二維隨機向量的概率分布如下表:X\Y-101010.10.30.10.10.10.3求解 容易求得的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：,于是有,4.28設二維正態隨機向量的概率密度函數為問與是否互不相關?解：二維隨機變量具有概率密度的標準形式為：其中均為常數,且,由此得到：因為所以與互不相關。4.29設二維隨機向量的概率密度函數為,求.解：因為,當時,所以于是由對稱性得,又因為所以故.4.30設二維隨機向量的概率密度函數為,求和.解：由二維隨機向量的概率密度函數積分,可以求得兩個邊緣密度