廣西壯族自治區柳州市拉堡中學2021年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若有直線、和平面、，下列四個命題中，正確的是（

）A．若，，則

B．若，，，，則C．若，，則D．若，，，則參考答案：D略2.()A.8 B.－8 C. D.參考答案：C【分析】利用誘導公式將化為，通分后可利用二倍角公式和輔助角公式將所求式子化為，由可約分得到結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查三角恒等變換中的化簡求值問題，涉及到誘導公式、二倍角公式和輔助角公式的應用.3.當滿足約束條件(為常數)時，取得最大值12，則此時的值等于(

).A.

B.9

C.

D.12參考答案：A略4.若集合A={x|}，B={x||x|＜3}，則集合A∪B為（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}參考答案：C【考點】并集及其運算．【分析】分別化簡集合A，B，再由并集的含義即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，則A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故選：C．5.若復數是純虛數，其中是實數，則= A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.若三棱錐的三視圖如右圖所示,則該三棱錐的體積為【

】.A.

B.

C.

D.參考答案：D由三視圖知：三棱錐的底面為直角三角形，兩直角邊分別為5和4，三棱錐的高為4，所以三棱錐的體積為。7.已知函數，則下列說法不正確的是(

)A.f(x)的一個周期為 B.f(x)向左平移個單位長度后圖象關于原點對稱C.f(x)在上單調遞減 D.f(x)的圖象關于對稱參考答案：B

8.如圖，已知，圓心在上，半徑為的圓在時與相切于點，圓沿以的速度勻速向上移動，圓被直線所截上方圓弧長記為，令，則與時間（≤≤，單位：）的函數的圖像大致為參考答案：B9.已知i是虛數單位，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算；復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】由復數代數形式的乘除運算化簡復數，求出在復平面內對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：由=，則復數在復平面內對應的點的坐標為：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故選：C．10.已知向量，，，若與的夾角為60°，且，則實數的值為（

）A.

B.

C.6

D.4參考答案：A，，故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區名高三男生的體重.根據抽樣測量后的男生體重（單位：）數據繪制的頻率分布直方圖如圖所示，則這名學生中體重值在區間[56.5，64.5）的人數是

．參考答案：12.已知為等差數列，，為其前n項和，則使達到最大值的n等于___________.參考答案：613.數列中，若，（），則

.參考答案：2/3略14.定義運算，例如，，則函數的最大值為．參考答案：15.在的二項展開式中任取項，若用隨機變量表示取出的項中系數為奇數的項的個數，則隨機變量的數學期望

參考答案：16.已知角終邊上一點，則的值為．參考答案：17.不等式的解集為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)從天氣網查詢到邯鄲歷史天氣統計(2011-01-01到2014-03-01)資料如下：

自2011-01-01到2014-03-01，邯鄲共出現：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，陰33天，其它2天，合計天數為：1128天。本市朱先生在雨雪天的情況下，分別以的概率乘公交或打出租的方式上班（每天一次，且交通方式僅選一種），每天交通費用相應為2元或40元；在非雨雪天的情況下，他以90%的概率騎自行車上班，每天交通費用0元；另外以10%的概率打出租上班，每天交通費用20元。（以頻率代替概率，保留兩位小數.參考數據：）（I）求他某天打出租上班的概率；（II）將他每天上班所需的費用記為（單位：元），求的分布列及數學期望。參考答案：(Ⅰ)0.18;(Ⅱ)分布列見解析,5.80（Ⅰ）設表示事件“雨雪天”，表示事件“非雨雪天”，表示事件“打出租上班”，…………2分

……4分（Ⅱ）的可能取值為0，2，20，40

………………6分

…………10分∴的分布列為0220400.720.100.080.10（元）…………12分

19.設直線l：y=k（x+1）與橢圓x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題；綜合題．【分析】（I）設直線l的方程為y=k（x+1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線l與橢圓相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，從而解決問題．（II）設A（x1，y1），B（x2，y2），由（I），得，由，得y2=從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值時的k值，從而△OAB的面積取得最大值時橢圓方程即可．【解答】解：（Ⅰ）依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故y=k（x+1）可化為將代入x2+3y2=a2，消去x，得①由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得△=化簡整理即得．（☆）（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），由①，得②因為，由，得y1=﹣2y2③由②③聯立，解得y2=④△OAB的面積=上式取等號的條件是3k2=1，即當時，由④解得；當時，由④解得．將及這兩組值分別代入①，均可解出a2=5經驗證，a2=5，滿足（☆）式．所以，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程是x2+3y2=5注：若未驗證（說明）滿足（☆）式，扣．【點評】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．20.已知等差數列前項和為，且（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令（）求數列前項和為參考答案：解：(1)由題意得，即，

，故

（2）由（1）有

∴21.（本小題滿分16分）設函數，．（1）對于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當時對任意恒有，求實數的取值范圍；（3）若存在，使得與同時成立，求實數a的取值范圍．參考答案：(1)由題意可知對于任意都有.

即對于任意恒成立.設，………………3分所以，解不等式組可得或.……………5分

（2）由題意可知在區間上，.…………………6分

因為對稱軸，所以在上單調遞減,可得。因為在上單調遞減,可得。所以，可得.……………………10分（3）若，則，不合題意，舍去；………………11分

若，由可得。原題可轉化為在區間上若存在，使得，因為在上單調遞增，所以，可得，又因為，不合題意

……………………13分

若，由可得。原題可轉化為在區間上若存在，使得。當時，即時，，可得；當時，即時，，可得或.

……………………15分

綜上可知.

……………………16分22.過拋物線的對稱軸上的定點，作直線與拋物線相交于兩點.（1）試證明兩