2024屆湖南省衡陽縣江山學校高二數學第一學期期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為CD，CB的中點，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點B，D恰好重合，記為點P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.2．已知等差數列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.4．設村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.5．為了調查修水縣2019年高考數學成績，在高考后對我縣6000名考生進行了抽樣調查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽到了120名考生的數學成績作為一個樣本，這項調查宜采用的抽樣方法是（）A.系統抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機抽樣法6．用數學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.7．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.8．直線的斜率為（）A.135° B.45°C.1 D.-19．設是公差的等差數列，如果，那么（）A. B.C. D.10．由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數據；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調查，得到的數據如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學生為24人11．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.8 B.16C. D.12．已知函數，則函數在點處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標是______.14．已知，動點滿足，則點的軌跡方程為___________.15．已知向量，，，則___________.16．寫出同時滿足以下三個條件的數列的一個通項公式______．①不是等差數列，②是等比數列，③是遞增數列三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.18．（12分）已知數列滿足且.（1）證明數列是等比數列；（2）設數列滿足，，求數列的通項公式.19．（12分）已知數列是等差數列，為其前n項和，，（1）求的通項公式；（2）若，求證：為等比數列20．（12分）物聯網(Internetofthings)是一個基于互聯網、傳統電信網等信息承載體，讓所有能夠被獨立尋址的普通物理對象實現互聯互通的網絡，具有十分廣闊的市場前景.現有一家物流公司計劃租地建造倉庫存儲貨物，經過市場調查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：千米）之間的關系為，每月庫存貨物費（單位：萬元）與x之間的關系為：；若在距離車站11.5千米建倉庫，則和分別為4萬元和23萬元.（1）求的值；（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？最小費用是多少？21．（12分）在①直線l：是拋物線C的準線；②F是橢圓的一個焦點；③，對于C上的點A，的最小值為；在以上三個條件中任選一個，填到下面問題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點為F，滿足_____（1）求拋物線C的標準方程；（2）是拋物線C上在第一象限內的一點，直線：與C交于M，N兩點，若的面積為，求m的值22．（10分）已知等差數列的前項和為，滿足，.（1）求數列的通項公式與前項和；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【題目詳解】由題意得，因為正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為CD，CB的中點，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則由，，，得，解得，則設平面的法向量為，則，令，則，因為，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因為AC與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A2、C【解題分析】首先求出等差數列的首先和公差，然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【題目詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數列為，故.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了等差數列的基本量的求解，屬于基礎題.3、C【解題分析】根據點關于原點對稱的性質即可知答案.【題目詳解】由點關于原點對稱，則對稱點坐標為該點對應坐標的相反數，所以.故選：C4、B【解題分析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【題目詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B5、B【解題分析】考生分為幾個不同的類型或層次，由此可以確定抽樣方法；【題目詳解】6000名考生進行抽樣調查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽到了120名考生的數學成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【題目點撥】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關知識是解題的關鍵，屬于基礎題.6、B【解題分析】取即可得到第一步應驗證不等式.【題目詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B7、B【解題分析】根據得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【題目詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B8、D【解題分析】由斜截式直接看出直線斜率.【題目詳解】由題意得：直線斜率為-1，故選：D9、D【解題分析】由已知可得，即可得解.【題目詳解】由已知可得.故選：D.10、B【解題分析】利用扇形統計圖和條形統計圖可求出結果【題目詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據題意得自主學習的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數為，該選項正確.故選：B【題目點撥】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統計圖和條形統計圖等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題11、C【解題分析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進行求解.【題目詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C12、C【解題分析】依據導數幾何意義去求函數在點處的切線方程即可解決.【題目詳解】則，又則函數在點處的切線方程為，即故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】將拋物線的方程化為標準形式，即可求解出焦點坐標.【題目詳解】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為，故答案為：.14、【解題分析】表示出、，根據題意，列出等式，化簡整理即可得答案.【題目詳解】，由題意得，所以整理可得，即.故答案為：.15、2【解題分析】由空間向量數量積的坐標運算可得答案.【題目詳解】因為，，，所以，.故答案為：2.16、【解題分析】由條件②寫出一個等比數列，再求出并確保單調遞增即可作答.【題目詳解】因是等比數列，令，當時，，，是遞增數列，令是互不相等的三個正整數，且，若，，成等差數列，則，即，則有，顯然、都是正整數，，都是偶數，于是得是奇數，從而有不成立，即，，不成等差數列，數列不成等差數列，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）首先將圓的參數方程華為普通方程，再轉化為極坐標方程即可.（2）首先聯立得到，再求的長度即可.【題目詳解】（1）將曲線C的參數方程，（為參數）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）根據題意可得，根據等比數列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數列的通項公式.【題目詳解】（1）因為，所以，即，所以是首項為1公比為3的等比數列（2）由（1）可知，所以因為，所以……，，各式相加得：，又，所以，又當n=1時，滿足上式，所以19、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）由已知條件列出關于的方程組，解方程組求出，從而可求出的通項公式，（2）由（1）可得，然后利用等比數列的定義證明即可【小問1詳解】設數列的公差為，則由，，得，解得，所以【小問2詳解】證明：由（1）得，所以，（）所以數列是以9為公比，27為首項的等比數列20、（1）（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小，最小費用是萬元【解題分析】（1）將題中數據代入解析式可求；（2）利用基本不等式可求解.【小問1詳解】由題意，，當時，，，解得.【小問2詳解】設兩項費用之和為（單位：萬元），則.因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，解得.所以這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小，最小費用是萬元.21、（1）（2）或.【解題分析】（1）選條件①，由準線方程得參數，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點坐標與拋物線焦點坐標相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點共線時，，再由兩點間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點坐標，由點到直線距離公式求得到直線的距離，設，，直線方程代入拋物線方程，判別式大于0保證相交，由韋達定理得，由弦長公式得弦長，再計算出三角形的面積后可解得【小問1詳解】選條件①：由準線方程為知，所以拋物線C的方程為選條件②：因為拋物線的焦點坐標為所以由已知得橢圓的一個焦點為.所以，又，所以，所以拋物線C的方程為選條件③：由題意可知得