25.物體的動態平衡問題解題技巧θ物體的動態平衡問題解題技巧θ湖北省恩施高中陳恩譜一、總論1、動態平衡問題的產生——三個平衡力中一個力已知恒定，另外兩個力的大小或者方向不斷變化，但物體仍然平衡，典型關鍵詞——緩慢轉動、緩慢移動……2、動態平衡問題的解法——解析法、圖解法解析法——畫好受力分析圖后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，將待求力寫成三角函數形式，然后由角度變化分析判斷力的變化規律；圖解法——畫好受力分析圖后，將三個力按順序首尾相接形成力的閉合三角形，然后根據不同類型的不同作圖方法，作出相應的動態三角形，從動態三角形邊長變化規律看出力的變化規律。3、動態平衡問題的分類——動態三角形、相似三角形、圓與三角形（2類）、其他特殊類型二、例析1、第一類型：一個力大小方向均確定，一個力方向確定大小不確定，另一個力大小方向均不確定——動態三角形【例1】如圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設墻面對球的壓力大小為FN1，球對木板的壓力大小為FN2。以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置。不計摩擦，在此過程中A．FN1始終減小，FN2始終增大B．FN1始終減小，FN2始終減小C．FN1先增大后減小，FN2始終減小D．FN1先增大后減小，FN2先減小后增大FN1FN2mgθ解法一：解析法——畫受力分析圖，正交分解列方程，解出FN1FN2mgθ【解析】小球受力如圖，由平衡條件，有 聯立，解得：，木板在順時針放平過程中，θ角一直在增大，可知FN1、FN2都一直在減小。選B。解法二：圖解法——畫受力分析圖，構建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”，不變的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向變化規律轉動FN2，即可看出結果。FN2mgFN1【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，FN2mgFN1則由右圖可知FN1、FN2都一直在減小。【拓展】水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動摩擦因數為μ(0＜μ＜1)。現對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運動。設F的方向與水平地面的夾角為θ，如圖所示，在θ從0逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則A．F先減小后增大 B．F一直增大C．F一直減小 D．F先增大后減小解法一：解析法——畫受力分析圖，正交分解列方程，解出F隨夾角θ變化的函數，然后由函數討論；FNFNFmgFfθ 其中 聯立，解得：由數學知識可知，其中FNFmgFfF合θβ當時，FNFmgFfF合θβ解法二：圖解法——可將彈力和滑動摩擦力合成為一個力，這個力的方向是確定的，然后按“動態三角形法”的思路分析。FF合mgβ【解析】小球受力如圖，將支持力FN和滑動摩擦力Ff合成為一個力F合，由FF合mgβ由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F合的方向始終與豎直方向成β角。則由右圖可知，當θ從0逐漸增大到90°的過程中，F先減小后增大。2、第二類型：一個力大小方向均確定，另外兩個力大小方向均不確定，但是三個力均與一個幾何三角形的三邊平行——相似三角形【例2】半徑為的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面的距離為，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖所示，現緩慢地拉繩，在使小球由到的過程中，半球對小球的支持力和繩對小球的拉力的大小變化的情況是A、變大，變小B、變小，變大C、變小，先變小后變大D、不變，變小解法一：解析法（略）FNmgFfFNmgFfOO’FNmgFf【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發現，這三個力與FNmgFf其中，mg、R、h均不變，L逐漸減小，則由上式可知，不變，變小。3、第三類型：一個力大小方向均確定，一個力大小確定但方向不確定，另一個力大小方向均不確定——圓與三角形【例3】在共點力的合成實驗中，如圖，用A，B兩只彈簧秤把橡皮條上的節點拉到某一位置O，這時兩繩套AO，BO的夾角小于90°，現在保持彈簧秤A的示數不變而改變其拉力方向使α角變小，那么要使結點仍在位置O，就應該調整彈簧秤B的拉力的大小及β角，則下列調整方法中可行的是BAβαOA、增大B的拉力，增大β角B、增大BAβαOC、增大B的拉力，減小β角D、B的拉力大小不變，增大β角解法一：解析法（略）FFBFAβα解法二：圖解法——畫受力分析圖，構建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”——保持長度不變FA將FAFFBFAβαFFBFA【解析】如右圖，由于兩繩套AO、BO的夾角小于90°，在力的三角形中，FA、FB的頂角為鈍角，當順時針轉動時，FAFFBFA由圖可知，這個過程中FB一直增大，但β角先減小，再增大。故選ABC。4、第四類型：一個力大小方向均確定，另兩個力大小方向均不確定，但是另兩個力的方向夾角保持不變——圓與三角形（正弦定理） 【例4】如圖所示裝置，兩根細繩拴住一球，保持兩細繩間的夾角θ=120°不變，若把整個裝置順時針緩慢轉過90°，則在轉動過程中，CA繩的拉力FT1，CB繩的拉力FT2的大小變化情況是A、FT1先變小后變大B、FT1先變大后變小C、FT2一直變小D、FT2最終變為零解法一：解析法1——讓整個裝置順時針轉過一個角度α，畫受力分析圖，水平豎直分解，由平衡條件列方程，解出FT1、FT2隨α變化的關系式，然后根據的變化求解。FT2mgFT1α【解析】整個裝置順時針轉過一個角度后，小球受力如圖所示，設FT2mgFT1α聯立，解得，α從90°逐漸減小為0°，則由上式可知：FT1先變大后變小，FT2一直變小。mgFT1FT2βαθFT2mgFT1解法二：解析法2——畫受力分析圖，構建初始力的三角形，在這個三角形中，小球重力不變，FT1、FT2的夾角(180°－θ)保持不變，設另外兩個夾角分別為α、βmgFT1FT2βαθFT2mgFT1【解析】如圖，由正弦定理有整個裝置順時針緩慢轉動90°過程的中θ角和mg保持不變，α角從30°增大，β角從90°減小，易知FT1先變大后變小，FT2一直變小。mgFT1FT2解法三：圖解法——畫受力分析圖，構建初始力的三角形，由于這個三角形中重力不變，另兩個力的夾角(180°－θ)保持不變，這類似于圓周角與對應弦長的關系，因此，作初始三角形的外接圓（任意兩邊的中垂線交點即外接圓圓心），然后讓另兩個力的交點在圓周上按FT1mgFT1FT2【解析】如右圖，力的三角形的外接圓正好是以初態時的FT2為直徑的圓周，易知FT1先變大到最大為圓周直徑，然后變小，FT2一直變小。答案為：BCDACACMNBG【例5】如圖所示．用鋼筋彎成的支架，水平虛線MN的上端是半圓形，MN的下端筆直豎立．一不可伸長的輕繩通過動滑輪懸掛一重物G．現將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從C點處沿支架緩慢地向最高點B靠近（C點與A點等高），則繩中拉力A．先變大后不變 B．先不變后變大C．先不變后變小 D．保持不變解法一：解析法——分兩個階段畫受力分析圖，繩端在CN段、NB段，在CN段，正交分解列方程易算得左右兩側繩與水平方向夾角相同，再由幾何關系易知這個夾角保持不變，則易看出結果；在NB段，左右兩側繩與水平方向夾角也相同，但這個夾角逐漸增大，由方程易看出結果。（解析略）FT=GFFT=GF1F2FT=GF1F2【解析】如右圖，滑輪受力如圖所示，將三個力按順序首尾相接，形成一個等腰三角形。由實際過程可知，這個力的三角形的頂角先保持不變，然后增大，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小。選C。三、練習1、如圖1所示，一光滑水球靜置在光滑半球面上，被豎直放置的光滑擋板擋住，現水平向右緩慢地移動擋板，則在小球運動的過程中(該過程小球未脫離球面且球面始終靜止)，擋板對小球的推力F、半球面對小球的支持力FN的變化情況是（）A．F增大，FN減小 B．F增大，FN增大C．F減小，FN減小 D．F減小，FN增大mgmgFNFNmgFF【解析】小球受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如上圖所示閉合三角形，其中重力mg保持不變，F的方向始終水平向左，而FN的方向逐漸變得水平。則由上圖可知F、FN都一直在增大。故B正確2、如圖2所示是一個簡易起吊設施的示意圖，AC是質量不計的撐桿，A端與豎直墻用鉸鏈連接，一滑輪固定在A點正上方，C端吊一重物。現施加一拉力F緩慢將重物P向上拉，在AC桿達到豎直前（）A．BC繩中的拉力FT越來越大 B．BC繩中的拉力FT越來越小C．AC桿中的支撐力FN越來越大 D．AC桿中的支撐力FN越來越小FFT1=GFNFTFT1=G【解析】C點受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發現，這三個力與的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形相似。則有。其中，G、AC、AB均不變，BC逐漸減小，則由上式可知，不變，變小。B正確3、質量為M、傾角為θ的斜面體在水平地面上，質量為m的小木塊（可視為質點）放在斜面上，現用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木塊，拉力在斜面所在的平面內繞小木塊旋轉一周的過程中，斜面體和木塊始終保持靜止狀態，下列說法中正確的是（）FmgsinFmgsinθFfB．小木塊受到斜面的最大摩擦力為F-mgsinθC．斜面體受到地面的最大摩擦力為FD．斜面體受到地面的最大摩擦力為FcosθmgmgsinθFf【解析】對小木塊受力分析可得斜面上的受力如圖所示，由于小木塊始終靜止則重力沿斜面向下的分量mgsinθ始終不變，其與F和Ff構成一個封閉的三角形，當F方向變化時可知當F與mgsinθ方向相反時Ff最大，其值為F+mgsinθ。對于C，D選項一斜面和小木塊為整體進行研究，當力F水平向左時摩擦力最大值為F。故C正確。4、如圖所示，圓弧形貨架擺著四個完全相同的光滑小球，O為圓心．對圓弧面的壓力最小的是mgFN1FN2mgFN1FN2mgFN1FN2mgFN1FN2【解析】小球受力分析如圖所示，其中小球重力相同，FN1方向始終指向圓心，FN2方向始終垂直于FN1，這三個力構成一個封閉的三角形如乙圖所示，從a位置到d位置FN1與豎直方向夾角在變小，做出里的動態三角形，易得a球對圓弧面的壓力最小。A正確。5、目前，我市每個社區均已配備了公共體育健身器材．如圖所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點．由于長期使用，導致兩根支架向內發生了稍小傾斜，如圖中虛線所示，但兩懸掛點仍等高．座椅靜止時用F表示所受合力的大小，F1表示單根輕繩對座椅拉力的大小，與傾斜前相比（）A．F不變，F1變小 B．F不變，F1變大 C．F變小，F1變小 D．F變大，F1變大GGF1F1GF1F1【解析】座椅受力如圖所示，將三個力按順序首尾相接，形成一個封閉的三角形如圖。兩根支架向內發生了稍小傾斜，則這個力的三角形的頂角變小，從圖中可以得到則繩中張力F1逐漸減小，由于座椅仍靜止所受合力F始終為零。選A。6、如圖所示，在傾角為θ的固定粗糙斜面上，一個質量為m的物體被水平力F推著靜止于斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，且μ＜tanθ，求力F的取值范圍。FNmgFfF合FFF合mgθααα【解析】物體受力如圖所示，將靜摩擦力Ff和彈力FN合成為一個力FFNmgFfF合FFF合mgθααα由圖可知：即：mgFF合maα+θαFNmgFF合ma7、如圖所示，在傾角為mgFF合maα+θαFNmgFF合maFFaFFaF合αF合αFfFfmgmg【解析】物體受力如圖，將支持力FN和滑動摩擦力Ff合成為一個力F合，由可知，。將三個力按順序首尾相接，與三者的合力形成如圖所示四邊形，其中mg、ma不變，F合的方向不變。當F取不同方向時，F的大小也不同，當F與F合垂直時，F取最小值。由幾何關系，得：，解得：8、如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數為eq\