2022年湖南省益陽市筑金壩中學高二數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數在下列哪個區間內是增函數（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略2.一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的體積為(

)A． B． C．π D．參考答案：A考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題．分析：由三視圖可判斷這個幾何體為圓柱體，根據題意可知底面半徑以及高，易求體積．解答：解：由三視圖可知這個幾何體是圓柱體，且底面圓的半徑，高為1，那么圓柱體的體積是：π×（）2×1=，故選A．點評：本題考查三視圖求幾何體的體積，考查計算能力，空間想象能力，三視圖復原幾何體是解題的關鍵3.直線與圓的位置關系是A.相交

B．相切

C．相離

D．與值有關參考答案：4.半徑為1的球的表面積為（）A．1 B．2π C．3π D．4π參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】利用球的表面積公式解答即可．【解答】解：半徑為1的球的表面積為4π12=4π．故選：D．【點評】本題考查了球的表面積公式的運用；屬于基礎題．5.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現場錄制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總數為（）A．60 B．72 C．84 D．96參考答案：C【考點】D8：排列、組合的實際應用．【分析】根據題意，分3種情況討論：①、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰，②、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰，③、小明的父母都與小明相鄰，分別求出每一種情況下的排法數目，由分類計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分3種情況討論：①、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰時，先在其父母中選一人與小明相鄰，有C21=2種情況，將小明與選出的家長看成一個整體，考慮其順序有A22=2種情況，當父母不相鄰時，需要將爺爺奶奶進行全排列，將整體與另一個家長安排在空位中，有A22×A32=12種安排方法，此時有2×2×12=48種不同坐法；②、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰時，將父母及小明看成一個整體，小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這個整體內部有2×2=4種情況，將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A33=6種情況，此時有2×2×6=24種不同坐法；③、小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，將3人看成一個整體，考慮父母的順序，有A22=2種情況，將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A33=6種情況，此時，共有2×6=12種不同坐法；則一共有48+24+12=84種不同坐法；故選：C．6.將參加夏令營的720名學生編號為：001，002···720，采用系統抽樣方法抽取一個容量為60的樣本，且隨機抽得的第一個號碼為004.又這720名學生分住在三個營區，從001到360在第I營區，從361到640在第II營區，從641到720在第Ⅲ營區，則三個營區被抽中的人數依次為(

)

A．30，23，7

B．30，24，6

C．30，22，8

D．31，23，6

參考答案：B略7.在極坐標系中，以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標系，點M（2，）的直角坐標是（）A．（2，1） B．（，1） C．（1，） D．（1，2）參考答案：B【考點】Q6：極坐標刻畫點的位置；Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】根據直角坐標和極坐標的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把點M（2，）化為直角坐標．【解答】解：根據直角坐標和極坐標的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，可得點M（2，）的直角坐標為（，1），故選：B．8.設直線過原點，其傾斜角為，將直線繞坐標原點沿逆時針方向旋轉45°，得到直線，則直線的傾斜角為（

）．A．

B．

C．D．當時為，當時為參考答案：D9.設等差數列的前項和為,若,則的值等于（

）A．54

B．45

C．36

D．27參考答案：A略10.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是A.若K2的觀測值為k=6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病;C.若從統計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推判出現錯誤;D.以上三種說法都不正確.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的展開式中，的系數是的系數與的系數的等差中項，若實數，那么=__________.參考答案：12.由數字1，2，3，……9組成的三位數中，各位數字按嚴格遞增（如“156”）或嚴格遞減（如“421”）順序排列的數的個數是

．參考答案：16813.某單位將4名新來的員工小張、小王、小李、小劉分配到營銷、財務、保管三個部門中，每個部門至少安排1名員工，其中小張不能分配到營銷部門，那么不同的分配方案有______．參考答案：24【分析】分析小張有2種方法，再分兩種情況討論其他三名員工，①三個部門每部門一人，②小王、小李、小劉中一個部門1人，另一個部門2人，分別求出情況種數，從而可得答案.【詳解】小張不能分配到營銷部門，則小張可以放在財務、保管部門，有A21種方法，另外三個員工有2種情況，①三人中，有1個人與小張分配一個部門，即小王、小李、小劉每人一個部門，有A33種，②三人中，沒有人與小張分配一個部門，這三人都被分配到小張沒有分配的另外2個部門，則這三人中一個部門1人，另一個部門2人，有C32A22種情況，則另外三名員工有A33+C32A22種安排方法，∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）＝24，故答案為：24．【點睛】本題考查排列組合的簡單應用，一般思路，按照先分組，再分配的原則求解即可.14.如右圖所示的程序框圖輸出的結果是_______

參考答案：略15.由六個面圍成的幾何體，每個面都是矩形的幾何體的名稱．參考答案：長方體16.設的內角所對邊的長分別為.若,則則角_____.參考答案：略17.兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有______

種(以數字作答)參考答案：480三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）設函數f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）當a=1時，求函數g（x）的單調區間；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）是函數y=f（x）圖象上任意不同兩點，線段AB中點為C（x0，y0），直線AB的斜率為k．證明：k＞f′（x0）（3）設F（x）=|f（x）|+（b＞0），對任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求實數b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；直線的斜率．【分析】（1）將a=1代入求出g（x）的表達式，再求出g（x）的導數，從而求出g（x）的單調區間；（2）將x0=代入f′（x0）==，問題轉化為證：k（t）lnt+﹣2的單調性，（t＞1），從而證出結論；（3）設G（x）=F（x）+x，則G（x）在（0，2]單調遞減，通過討論x的范圍，結合導數的應用，從而求出b的范圍．【解答】解：（1）當a=1時，g（x）=（x﹣1）﹣2f（x）=（x﹣1）﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx，定義域為（0，+∞）；g′（x）=1﹣=；當x∈（0，2）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；即g（x）的單調增區間為（2，+∞），單調減區間為（0，2）．（2）證明：k==，又x0=，所以f′（x0）==；即證，＞，不妨設0＜x1＜x2，x1，x2分別屬于（0，1）和（1，2），即證：lnx2﹣lnx1＞；即證：ln＞；設t=＞1，即證：lnt＞=2﹣；即證：lnt+﹣2＞0，其中t∈（1，+∞）；事實上，設k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），則k′（t）=﹣=＞0；所以k（t）在（1，+∞）上單調遞增，所以k（t）＞k（1）=0；即結論成立．（3）由題意得+1＜0，即＜0；設G（x）=F（x）+x，則G（x）在（0，2]單調遞減，①當x∈[1，2]時，G（x）=lnx++x，G′（x）=﹣+1≤0；b≥+（x+1）2=x2+3x++3在[1，2]上恒成立，設G1（x）=x2+3x++3，則G1′（x）=2x+3﹣；當x∈[1，2]，G1′（x）＞0；∴G1（x）在[1，2]上單調遞增，G1（x）≤；故b≥．②當x∈（0，1）時，G（x）=﹣lnx++x；G1（x）=x2+3x++3，G′（x）=﹣﹣+1≤0，b≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1在（0，1）恒成立，設G2（x）=x2+x﹣﹣1，（x）=2x+1+＞0，即G2（x）在（0，1）單調遞增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，綜上所述：b≥．【點評】本題考查了函數的單調性，函數恒成立問題，考查導數的應用，考查轉化思想，本題有一定的難度．19.已知數列的前項和，．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．參考答案：（1）見解析；（2）．（1）當時，；當時，，對不成立，所以數列的通項公式為．（2）當時，，當時，，所以，又時，符合上式，所以．20.△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B為三角形的內角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，當且僅當a=c時，等號成立，則△ABC面積的最大值為××=××（2+）=+1．21.已知是二次函數圖像上兩點，且.(1)求的值；(2)求的圖像在點處切線的方程； (2)設直線與和曲線的圖像分別交于點、，求的最小值.參考答案：解:(1)由題意得:，解得…………3分

(2)由(1)可得:，

∴，則的圖像在點處切線的斜率為∴的圖像在點處切線的方程為

…………6分(3)由題意可得:

…………7分令

…………9分∴當單調減；當單調增.

………