2021年湖南省永州市第五中學高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.下列四個圖象中，能表示y是x的函數圖象的個數是(

)A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】函數的圖象．【專題】計算題；數形結合；函數的性質及應用．【分析】根據函數的定義，結合圖象判斷，應用任意的一個自變量x，都有唯一確定的函數值y與之對應．【解答】解：第一個圖象中，當x=0時，有兩個y值，分別為﹣1與1，故不能表示y是x的函數；第二個圖象能表示y是x的函數；第三個圖象能表示y是x的函數；第四個圖象中，當x=1時，有兩個y值，故不能表示y是x的函數；故選C．【點評】本題考查了函數的定義的應用及數形結合的思想應用．3.一種專門侵占內存的計算機病毒，開機時占據內存2KB，然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，若該病毒占據64MB內存（1MB=210KB），則開機后經過（）分鐘．A．45 B．44 C．46 D．47參考答案：A【考點】等比數列的通項公式．【分析】n個3分鐘后，所占內存是原來的2n+1倍，從而應有2n+1=64×210=216，由此能求出結果．【解答】解：因為開機時占據內存2KB，然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，所以3分鐘后占據內存22KB，兩個3分鐘后占據內存23KB，三個3分鐘后占據內存24KB，故n個3分鐘后，所占內存是原來的2n+1倍，則應有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故選：A．4.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動點，若直線AM與平面PBC所成角的正切的最大值是，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是（）A.2π B.4π C.8π D.16π參考答案：B是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．此時，，在直角△中，．三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.

5.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的統計表如下表所示,則有以下四種說法：甲環數45678頻數11111

乙環數569頻數311

①甲成績的平均數小于乙成績的平均數；

②甲成績的中位數等于乙成績的中位數；③甲成績的方差小于乙成績的方差；

④甲成績的極差小于乙成績的極差．其中正確命題的個數是（

）（注：，其中為數據的平均數）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：A【分析】根據題意先求出甲、乙成績的平均數；再根據方差公式求出甲、乙的方差，計算甲、乙的中位數，計算甲、乙的極差，即可得出答案．【詳解】甲五次成績的平均數為：（4+5+6+7+8）÷5=6，乙五次成績的平均數為：（5+5+5+6+9）÷5=5，所以①錯誤；因為，，所以③正確；因為甲的中位數是6，乙的中位數是5，所以②錯誤；因為甲的極差為8-4=4，乙的極差為9-5=4，所以④錯誤，綜上知，正確的只有③，故選：A.【點睛】本題主要考查了極差，方差，平均數，中位數，屬于中檔題．6.cos（﹣225°）+sin（﹣225°）等于（）A． B．﹣ C．0 D．參考答案：C【考點】GO：運用誘導公式化簡求值．【分析】直接利用誘導公式化簡所給式子的值，可得答案．【解答】解：cos（﹣225°）+sin（﹣225°）=cos225°﹣sin225°=cos﹣sin=﹣cos45°+sin45°=0．故選：C．7.設集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|﹣1≤x≤3}，則A∩（?RB）等于(

)A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）參考答案：B考點：交、并、補集的混合運算．專題：計算題；集合．分析：由全集R及B，求出B的補集，找出A與B補集的交集即可．解答：解：∵全集R，B={x|﹣1≤x≤3}，∴?RB={x|x＜﹣1或x＞3}，∵A={x|1＜x＜4}，∴A∩（?RB）={x|3＜x＜4}．故選：B．點評：此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵8.如果冪函數的圖象不過原點，則的取值是()A．

B．或

C．

D．參考答案：B略9.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都等于，若A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的余弦值等于（

）A．

B．

C． D．參考答案：C略10.已知直線,與互相垂直,則a的值是(

)A.0 B.0或1 C.1 D.0或－1參考答案：B【分析】根據直線垂直公式得到答案.【詳解】已知直線,與互相垂直或故答案選B【點睛】本題考查了直線垂直的關系，意在考查學生的計算能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，⊙O的半徑為1，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，從A、B、C、D、E、F六點中任意取兩點，并連接成線段，則線段的長為的概率是_____．參考答案：【分析】先計算出所有線段條數的總數，并從中找出長度為的線段條數，利用古典概型概率公式計算所求事件的概率。【詳解】在、、、、、中任取兩點的所有線段有：、、、、、、、、、、、、、、，共條，其中長度為的線段有：、、、、、，共條，由古典概型的概率公式可知，線段的長為的概率是，故答案為：。【點睛】本題考查古典概型概率的計算，考查概率公式的應用，其中列舉基本事件時，可以利用枚舉法與樹狀圖法來列舉，在列舉應遵循不重不漏的原則進行，考查計算能力，屬于中等題。12.函數y=的定義域是

參考答案：略13.給出下列命題①函數的最小正周期為，圖象的一條對稱軸為②若向量與共線，則③兩個單位向量與的夾角為，當時，向量與向量垂直④函數的一個對稱中心為，且在區間上單調遞減其中結論正確的編號為①

（把你認為正確的結論編號都填上）

參考答案：③①14.若關于x的方程x2﹣mx+m=0沒有實數根，則實數m的取值范圍是

．參考答案：（0，4）【考點】二次函數的性質．【分析】由二次函數的性質可知：△＜0，根據一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范圍．【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0沒有實數根，則△＜0，∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4，∴實數m的取值范圍（0，4），故答案為：（0，4）．15.已知△ABC的三邊分別是a、b、c，且面積S=，則角C=．參考答案：45°【考點】HS：余弦定理的應用．【分析】先利用余弦定理，將面積化簡，再利用三角形的面積公式，可得cosC=sinC，根據C是△ABC的內角，可求得C的值．【解答】解：由題意，∵∴cosC=sinC∵C是△ABC的內角∴C=45°故答案為：45°16.過正三棱錐一側棱及其半徑為R的外接球的球心所作截面如右圖，則它的側面三角形的面積是_________.參考答案：略17.在中,若,則角C為____________.參考答案：[]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）數列的首項為，前n項和為，且。設，cn=k+b1+b2+…+bn（k∈R+）．（1）求數列{an}的通項公式；（2）當t=1時，若對任意n∈N*，|bn|≥|b3|恒成立，求a的取值范圍；（3）當t≠1時，試求三個正數a，t，k的一組值，使得{cn}為等比數列，且a，t，k成等差數列．參考答案：（1）因為

①當時，

②，①—②得，（），

又由，得，

所以，是首項為，公比為的等比數列，所以（）．…………2分（2）當時，，，，

由，得，

（*）

當時，時，（*）不成立；當時，（*）等價于

（**）時，（**）成立．時，有，即恒成立，所以．時，有，．時，有，．

綜上，的取值范圍是．

………6分（3）當時，，，，

………8分所以，當時，數列是等比數列，所以

又因為，，成等差數列，所以，即，解得．………10分

從而，，．

所以，當，，時，數列為等比數列．………12分19.已知平面向量，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求實數k的值.參考答案：解：（Ⅰ）；（Ⅱ），，因為平行，所以.

20.（10分）已知（1）若求

；（2）若,夾角為，求；（3）若與垂直，求,的夾角。參考答案：解：（1）記的夾角為

則

又

（2）

（3）

21.已知a∈R，函數f（x）=x|x﹣a|，（Ⅰ）當a=2時，寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）當a＞2時，求函數y=f（x）在區間[1，2]上的最小值．參考答案：【考點】函數單調性的判斷與證明；二次函數在閉區間上的最值．【專題】函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）把a=2代入，可得f（x）=，由二次函數的知識可得；（Ⅱ）因為a＞2，當x∈[1，2]時，f（x）=x（a﹣x）=，由二次函數的對稱性和單調性，分類討論可得答案．【解答】解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x|x﹣2|=，由二次函數的知識可知，單調遞增區間為（﹣∞，1）和（2，+∞）；（Ⅱ）因為a＞2，當x∈[1，2]時，f（x）=x（a﹣x）=，當，即2＜a≤3時，f（x）min=f（2）=2a﹣4，當，即a＞3時，f（x）min=f（1）=a﹣1故f（x）min=【點評】本題考查函數的單調性的判斷與證明，涉及二次函數在閉區間的最值與分類討論的思想，屬基礎題．22.已知f（x）是定義在R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=﹣x2+x+1，求f（x）的解析式．參考答案：【考點】函數解析式的求解及常用方法．【分析】根據f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（0）=0，