2021年安徽省亳州市華夏中學高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（4分）若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的體積為（） A． 8 B． C． 8 D． 4參考答案：C考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題： 空間位置關系與距離．分析： 由三視圖可知：該正三棱柱的高為2，底面正三角形的一邊上的高為2，可得邊長為4．即可得出底面正三角形的面積與這個正三棱柱的體積．解答： 由三視圖可知：該正三棱柱的高為2，底面正三角形的一邊上的高為2，可得邊長為4．∴底面正三角形的面積==4．∴這個正三棱柱的體積V==8．故選：C．點評： 本題考查了正三棱柱的三視圖及其體積計算公式、正三角形的邊角關系及其面積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.直線y=﹣x+1的傾斜角為（）A．30°B．45°C．135°D．150°參考答案：C3.如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（

）A.6

B.8

C.

D.參考答案：B由斜二測畫法的規(guī)則知與x′軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質不變，正方形的對角線在y′軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，長度為，則原圖形的周長是8cm，故選故選B.

4.定義在R上的偶函數，滿足，且當時，，則的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.若一個正四棱錐的側棱和底面邊長相等，則該正四棱錐的側棱和底面所成的角為（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：B【分析】正四棱錐，連接底面對角線，在中，為側棱與地面所成角，通過邊的關系得到答案.【詳解】正四棱錐，連接底面對角線，，易知為等腰直角三角形.中點為，又正四棱錐知：底面即為所求角為，答案為B【點睛】本題考查了線面夾角的計算，意在考察學生的計算能力和空間想象力.6.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，，，，分別過BC，A1D1的兩個平行截面將長方體分成三個部分，其體積分別記為，，，若，則截面的面積為（

）A. B. C. D.參考答案：B解：由題意知，截面是一個矩形，并且長方體的體積V=6×4×3=72，∵V1：V2：V3=1：4：1，∴V1=VAEA1-DFD1=×72=12，則12=×AE×A1A×AD，解得AE=2，在直角△AEA1中，EA1=故截面的面積是EF×EA1=47.空間四條直線a，b，c，d滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，則必有()A．a⊥c

B．b⊥dC．b∥d或a∥c

D．b∥d且a∥c參考答案：C8.對于集合，定義，，設，，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C9.若奇函數f（x）在[1,3]上為增函數且有最小值0，則它在[－3，－1]上A．是減函數，有最大值0

B．是減函數，有最小值0C．是增函數，有最大值0

D．是增函數，有最小值0參考答案：C10.設f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=2x2﹣x，則f（1）=(

)A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3參考答案：A【考點】函數奇偶性的性質．【專題】計算題．【分析】要計算f（1）的值，根據f（x）是定義在R上的奇函數，我們可以先計算f（﹣1）的值，再利用奇函數的性質進行求解，當x≤0時，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．【解答】解：∵當x≤0時，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定義在R上的奇函數∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故選A【點評】本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，熟練掌握函數的奇偶性的性質是解答本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設等差數列的前項和為,若≤≤，≤≤，則的取值范圍是

；.參考答案：略12.數列{an}中，已知，50為第________項.參考答案：4【分析】方程變?yōu)椋O，解關于的二次方程可求得。【詳解】，則，即設，則，有或取得，，所以是第4項。【點睛】發(fā)現，原方程可通過換元，變?yōu)殛P于的一個二次方程。對于指數結構，，等，都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯俊?3.(本小題滿分4分)數列{an}滿足a1=1，，記Sn=，若對任意n∈N*恒成立，則正整數m的最小值是

；參考答案：1014.函數的單調增區(qū)間是__

______．參考答案：略15.一個扇形的面積為1，周長為4，則這個扇形的圓心角為__________．參考答案：2略16.函數f（x）=2x+a?2﹣x是偶函數，則a的值為_．參考答案：1【考點】函數奇偶性的判斷．【分析】根據函數奇偶性的定義進行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a?2﹣x是偶函數，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a?2x=2x+a?2﹣x，則（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案為：117.函數y=+lg的定義域是．參考答案：{x|＜x≤2}【考點】函數的定義域及其求法．【分析】由根式內部的代數式大于等于0，對數式的真數大于0聯立不等式組求解．【解答】解：由，解①得：x≤2；解②得＜x＜3．取交集得：＜x≤2．∴函數y=+lg的定義域是：{x|＜x≤2}．故答案為：{x|＜x≤2}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）定義運算=ad+bc（1）若=0，求cos（π﹣x）的值；（2）記f（x）=，在△ABC中，有A，B，C滿足條件：sinAcosB﹣cosBsinC=cosCsinB﹣cosBsinA，求函數f（A）的值域．參考答案：考點： 三角函數中的恒等變換應用．專題： 計算題；新定義；三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．分析： （1）由已知化簡可得sin（）=，從而有倍角公式可得cos（π﹣x）=2cos2（）﹣1=﹣．（2）由（1）可得f（A）=sin（+）+，由sinAcosB﹣cosBsinC=cosCsinB﹣cosBsinA化簡可求得B=，可得A∈（0，），求得＜+＜，從而可求得函數f（A）的值域．解答： （1）由=0，得sincos+cos2=0sin+cos=0sin（）=∴cos（π﹣x）=2cos2（）﹣1=﹣（2）由（1）可知f（x）=sin（）+f（A）=sin（+）+∵sinAcosB﹣cosBsinC=cosCsinB﹣cosBsinA∴2sinAcosB=sin（B+C）∵A+B+C=π∴B+C=π﹣A∴2sinAcosB=sinA∵sinA≠0∴cosB=∵B∈（0，π）∴B=∴A∈（0，）∴＜+＜∴1＜sin（+）+∴函數f（A）的值域是（1，）．點評： 本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，三角函數的求值，新定義，綜合性較強，屬于中檔題．19.（本小題12分）近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調研可知：甲城市收益P與投入a（單位：萬元）滿足，乙城市收益Q與投入a（單位：萬元）滿足，設甲城市的投入為x（單位：萬元），兩個城市的總收益為f(x)（單位：萬元）。（1）當甲城市投資50萬元時，求此時公司總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大？參考答案：（1）當時，此時甲城市投資50萬元，乙城市投資70萬元所以總收益=43.5（萬元）

……………4分（2）由題知，甲城市投資萬元，乙城市投資萬元

……………5分所以依題意得，解得

故

……………8分令，則所以當，即萬元時，的最大值為44萬元

……………11分故當甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元

……………12分

20.甲、乙二人獨立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.8，乙破譯密碼的概率為0.7.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率；（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程如下：解：“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯密碼”所以隨機事件“密碼被破譯”可以表示為所以請指出小明同學錯誤的原因？并給出正確解答過程.參考答案：（1）0.56；（2）0.38；（3）詳見解析【分析】（1）由相互獨立事件概率乘法公式求解即可；（2）恰有一人破譯密碼表示為，再利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式求解；（3）小明求解錯誤的原因是事件和事件不互斥，然后將甲、乙二人中至少有一人破譯密碼表示為，再利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式求解.【詳解】（1）由題意可知，，且事件A，B相互獨立，事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥所以（3）小明同學錯誤在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式正確解答過程如下“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯密碼”可以表示為，且，，兩兩互斥所以【點睛】本題主要考查概率的求法、互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式，考查學生運算求解能力，屬于基礎題.21.（14分）已知a＞0且a≠1，函數f（x）=loga．（1）求f（x）的定義域D及其零點；（2）討論并證明函數f（x）在定義域D上的單調性；（3）設g（x）=mx2﹣2mx+3，當a＞1時，若對任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈，使得f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍．參考答案：考點： 對數函數的圖像與性質．專題： 函數的性質及應用．分析： （1）由題意知＞0，解不等式可得定義域，可得解析式，易得零點；（2）設x1，x2是（﹣∞，1）內的任意兩個不相等的實數，且x1＜x2，可得f（x2）﹣f（x1）=loga，分類討論可得；（III）要滿足題意只需f（x）max≤g（x）max，易得f（x）max=f（﹣1）=0，由二次函數分類討論可得g（x）max，解關于m的不等式可得．解答： （1）由題意知＞0，解得x＜1，∴函數f（x）的定義域D為（﹣∞，1），令f（x）=0可得=1，解得x=﹣1，故函數f（x）的零點為：﹣1；（2）設x1，x2是（﹣∞，1）內的任意兩個不相等的實數，且x1＜x2，則f（x2）﹣f（x1）=loga，∵x1＜x2＜1，∴﹣x1＞﹣x2＞﹣1，∴＞1，∴當0＜a＜1時，f（x2）﹣f（x1）=loga＜0，∴f（x）在D上單調遞減，當a＞1時，f（x2）﹣f（x1）=loga＞0，∴f（x）在D上單調遞增；（III）若對任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈，使得f（x1）≤g（x2）成立，只需f（x）max≤g（x）min，由（Ⅱ）知當a＞1時，f（x）在（﹣∞，﹣1]上單調遞增，則f（x）max=f（﹣1）=0，當m=0時，g（x）=3，f（x1）≤g（x2）成立；當m＞0時，g（x）在上單調遞增，g（x）max=g（4）=8m+3，由8m+3≥0，可解得m≥﹣，∴m＞0；當m＜0時，g（x）在上單調遞減，g（x）max=g（3）=3m+3，由3m+3≥0，可解得m≥﹣1，∴﹣1≤m＜0；綜上，滿足條件的m的范圍是m≥﹣1點評： 本題考查對數函數的性質，涉及單調性和分類討論的思想，屬中檔題．22.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、