課時作業(四)等差數列的概念及其通項公式(二)[練基礎]1．在等差數列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()A．5B．8C．10D．142．若等差數列的前三項依次是x－1，x＋1，2x＋3，則其通項公式為()A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋13．設數列{an}是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項為()A．1B．2C．4D．64．已知等差數列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a1＋a101>0B．a2＋a101<0C．a3＋a99＝0D．a51＝515．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五個人，使每個人所得成等差數列，最大的三份之和的eq\f(1,7)是最小的兩份之和，則最小的一份的量是()A．eq\f(11,6)B．eq\f(10,3)C．eq\f(5,6)D．eq\f(5,3)6．(多選題)若等差數列{an}和{bn}的公差均為d(d≠0)，則下列數列中是等差數列的是()A．{λan}(λ為常數)B．{an＋bn}C．{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}D．{anbn}7．已知等差數列{an}中，a2與a6的等差中項為5，a3與a7的等差中項為7，則an＝________．8．古代中國數學輝煌燦爛，在《張邱建算經》中記載：“今有十等人，大官甲等十人官賜金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更給．問：各得金幾何及未到三人復應得金幾何？”則該問題中未到三人共得金________斤．9．已知(1，1)，(3，5)是等差數列{an}圖象上的兩點．(1)求這個數列的通項公式；(2)畫出這個數列的圖象；(3)判斷這個數列的單調性．10．已知三個數組成一個公差為2的等差數列，并且它們的和等于它們的積，求這三個數．[提能力]11．若a，b，c成等差數列，則二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數為()A．0B．1C．2D．1或212．(多選題)已知b是a，c的等差中項，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差數列，同時a＋b＋c＝15.則a，b，c的值是()A．1，5，9B．5，1，9C．3，5，7D．7，5，313．若數列{an}滿足a1＝15，3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，則使ak·ak＋1<0的k值為________．14．已知數列{an}滿足a1＝1，若點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直線x－y＋1＝0上，則an＝________．15．某產品按質量分10個檔次，生產最低檔次的產品的利潤是8元/件，每提高一個檔次，利潤每件增加2元，同時每提高一個檔次，產量減少3件，在相同的時間內，最低檔次的產品可生產60件．試問：在相同的時間內，應選擇生產第幾檔次的產品可獲得最大利潤？(設最低檔次為第一檔次)[培優生]16．已知等差數列{an}的公差大于零，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若數列{bn}滿足bn＝eq\f(2n2－n,n＋c)，是否存在非零實數c，使數列{bn}為等差數列？若存在，求出實數c的值；若不存在，請說明理由．課時作業(四)等差數列的概念及其通項公式(二)1．解析：由等差數列的性質可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.故選B.答案：B2．解析：∵x－1，x＋1，2x＋3是等差數列的前三項，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2.∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故選B.答案：B3．解析：設前三項為a－d，a，a＋d，則由a－d＋a＋a＋d＝12，知a＝4.又由(4－d)·4·(4＋d)＝48知d2＝4.∵{an}為遞增數列，∴d＝2.故選B.答案：B4．解析：根據性質得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，所以a3＋a99＝2a51＝0，故選C.答案：C5．解析：由題意可得中間的那份為20個面包，設最小的一份為a1，公差為d，由題意可得[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×eq\f(1,7)＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝eq\f(5,3)，故選D.答案：D6．解析：等差數列{an}和{bn}的公差均為d(d≠0)，對于A，由λan＋1－λan＝λ(an＋1－an)＝λd為常數，知數列{λan}是等差數列；對于B，由an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝2d為常數，知數列{an＋bn}是等差數列；對于C，由aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)＝d[2a1＋(2n－1)d]－d[2b1＋(2n－1)d]＝2d(a1－b1)為常數，知數列{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}是等差數列；對于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不為常數，知數列{anbn}不是等差數列．答案：ABC7．解析：設等差數列{an}的公差為d，由題意知a4＝5，a5＝7，∴d＝2，∴an＝2n－3.答案：2n－38．解析：設十人得金按等級依次設為a1，a2，…，a10，則a1，a2，…，a10成等差數列，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝4，,a7＋a8＋a9＋a10＝3，))設等差數列a1，a2，…，a10的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝4，,4a1＋30d＝3，))解得d＝－eq\f(7,78)，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝eq\f(83,26).答案：eq\f(83,26)9．解析：(1)由于(1，1)，(3，5)是等差數列{an}圖象上的兩點，所以a1＝1，a3＝5，由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.(2)圖象是直線y＝2x－1上在第一象限內一些離散的點，如圖所示．(3)因為一次函數y＝2x－1是增函數，所以數列{an}是遞增數列．10．解析：由已知可設此三數分別為a－2，a，a＋2，由已知可得方程3a＝a(a2－4)，解得a＝0或a＝±eq\r(7).∴三個數分別為－2，0，2或eq\r(7)－2，eq\r(7)，eq\r(7)＋2或－eq\r(7)－2，－eq\r(7)，－eq\r(7)＋2.11．解析：因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數為1或2.故選D.答案：D12．解析：解法一∵2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，∴3b＝15，b＝5.設等差數列a，b，c的公差為d，則a＝5－d，c＝5＋d.∵2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1).∴2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d).∴16＝(6－d)(4＋d)，∴d2－2d－8＝0，∴d1＝4或d2＝－2，∴a，b，c三個數分別為1，5，9或7，5，3.經驗算，上述兩組都符合題意．解法二由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝15，,a＋c＝2b，,（a＋1）（c－1）＝（b－1）2，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②,③))由①②兩式，解得b＝5，將c＝10－a代入③，整理得a2－8a＋7＝0.解得a＝1或a＝7.故a＝1，b＝5，c＝9或a＝7，b＝5，c＝3.經驗算，上述兩組數都符合題意．答案：AD13．解析：∵3an＋1＝3an－2(n∈N*)∴an＋1－an＝－eq\f(2,3)(n∈N*)∴數列{an}是遞減等差數列．又∵a1＝15，∴an＝15－eq\f(2,3)(n－1)＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3).令an＝0，即－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)＝0，解得n＝eq\f(47,2)＝23.5，∴a23·a24<0，故k的值為23.答案：2314．解析：由題設可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1為公差的等差數列，且首項為1，故通項公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.答案：n215．解析：設在相同的時間內，從低到高每檔產品的產量分別為a1，a2，…，a10，利潤分別為b1，b2，…，b10，則{an}，{bn}均為等差數列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，所以利潤f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.顯然，當n＝9時，f(n)max＝f(9)＝864.所以在相同的時間內生產第9檔次的產品可以獲得最大利潤．16．解析：(1)因為數列{an}為等差數列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＋a4＝22，,a3·a4＝117，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝9，,a4＝13))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝13，,a4＝9.))又公差d>0，所以a3<a4，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝9，,a4＝13，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))所以數列{an}的通項公式為an＝4n－3.(2)存在非零實數c，使數列{bn}為等差數列．若bn＝eq\f(2n2－n,n＋c)為等差數列，則