經濟數學基礎線性代數

一、單項選擇題

1.設巾為3x2矩陣,8為2x3矩陣,則卜列運算中（A）可以進行.

MABB.屈C.A+SD.F/f'

2.設A,3為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（B）

TTTT

A.(A6)T=AfiB.(AB)T=fiA

c.=A-'(BT)-'D.(ABT)-'=A-,(B')T

3.設A,8為同階可逆方陣，則下列說法對的的是(D).

A.若M=/,則必有力=/或8=IB.(AB)T=ATBT

1-1

c.佚(A+3)=秩(A)+秩(B)D.(AB)-=fi-'A

4.設A,B均為”階方陣,在下列情況下能推出，是單位矩陣的是(D>.

-1

AAB=JBBAB=BAC.AA^Io.A=I

5.設A是可逆矩陣，且A+AB=/.則A''=(c).

A.BB.1+BC.I+B0,(I-AB)-'

6fA=(12).6=(-13)./是單位矩陣，則A,B—/=(D>.

-13-2'-2-2'-23-

A.

-266

7.設下面矩陣4B,。能進行乘法運算，那么（B）成立.

A.AB=AC,Xw0,則〃=CB.49=AC,<可逆，則方=C

C.4可逆，則45=BAD.AB=0,則有A=0,或〃=0

8.設A是〃階可逆矩陣，％是不為0的常數，則（&A）"=（C）.

]]]l

A.kA~B.—■A~c.-kA~D.-A~

knk

120-3

9.設A=00-13，則「（⑷=（D）.

24-1-3

A.4B.3D.1

13126

0-1314

io.設線性方程組AX=b的增廣矩陣通過初等行變換化為

0002-1

00000

則此線性方程組的一般解中白由未知量的個數為（A）.

D.4

X1+工2=1

11.線性方程組《解的情況是（A）.

項+=0

A.無解B.只有0解C.有唯?解D.有無窮多解

_「1幾2一

12.若線性方程組的增廣矩陣為A=則當%=GA，）時線性方程組無解.

210

C.1D.2

2

13.線性方程組AX=0只有零解，則AX=Z?Sw0）<B）.

A.有唯一解B.也許無解C.有無窮多解D.無解

14.設線性方程組4*=6中，若，（46）=4,廣（4=3,則該線性方程組（B）.

A.有唯一解B.無解C.有非零解D.有無窮多解

15.設線性方程組AX=6有唯?解,則相應的齊次方程組AX=O<c）.

A.無解B.有非零解C.只有零解D.解不能擬定

16.設力為3x2矩陣,夕為2x3矩陣，則下列運算中（A）可以進行.

MABB.C.A+SD.

17.&.A,B為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（B）

TrT

A.(AB)=A'B'B.(AB)T=BA

(W)T=D.(AJ3T)_|=A-'(5-')T

18.設A,5為同階可逆方陣,則下列說法對的的是（D）.

A.若AB=/,則必有4=/或〃=/B.（AB）T=ATBT

l

c.秋（4+8）=佚（A）+佚（8）O.（AB）-'=B-'A-

19.設A,8均為〃階方陣，在下列情況下能推出力是單位矩陣的是（D）.

-1

A.AB=BB.AB=BAc.AA=ID.A=1

20.設A是可逆矩陣，且A+AB=/,則=（c）.

-1

A.BB.1+BC,Z+BD.(/-AB)

2i.設A=(12),8=(-13),I是單位矩陣，則A.'B-1=().

-13---I-2-2-2-23

3635

22.設卜面矩陣4B.。能進行乘法運算,那么（B）成立.

A.AB=AC,A*0,則B=CB./15=AC,/f可逆，則8=C

C.4可逆，則=BAD.AB=0,則有力=0,或6=0

-1A2

，則當（）時線性方程組有無窮多解.

23.若線性方程組的增廣矩陣為A=X=D

214

￡

A.1?.B.—1C.2?D.

2

24.若非齊次線性方程組.展*￥=6的（），那么該方程組無解.

秩（給。秩（力）秩（用w秩（）

A.=nB.=mC.AD.秩（力）=秩（A）

X,+x2=1

25.線性方程組<解的情況是（A）.

x}+x2=0

A.無解B.只有0解C.有唯一解D.有無窮多解

26.線性方程組AX=0只有零解，則AX=h（Aw0）（B）.

A.有唯一解B.也許無解C,有無窮多解D.無解

27.設線性方程組用'學中，若M46)=4,r(A)=3,則該線性方程組(B).

A.有唯一解B.無解C有非零解D.有無窮多解

28.設線性方程組AX=人有唯?解，則相應的齊次方程組AX=0(C).

A.無解B.有非零解C,只有零解D.解不能擬定

30.設46均為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是(B).

A.<.AB)'=B.=BO/

C.[ABT)1=*D,{AB7)'=A'(^')

解析：[AB)'=B'A'(40，=R*故答案是B

31.設4=(12),B=(-13),￡是單位矩陣，則才夕-￡=(A).

-23]-2'-13][-2-2

B.D.

0]=[1*(—1)

1]|_2*(-1)

13-205

0-1024

32.設線性方程組AX=2的增廣矩陣為則此線性方程組

0032-1

020-4-8

?殷解中自由先知量的個數為(A).

0.4

13-20513-205

0-1024,+②*2、0-1024

解析：

0032-10032-1

020-4-800000

fl2

33.若線性方程組的增廣矩陣為儲，B)=則當2=<A)時線性方程組有無窮多解.

1

A.1B.4C.2.。D.一

2

解析

加4時有無窮多解，選D

214J[01-220

Xj+x2=1

34.線性方程組〈解的情況是（A）.

X,+X2=0

A.無解B.只有零解C.有惟一解D.有無窮多解

故r（A,B）=2>r（A）=l

選A

35.以下結論或等式對的的是（C）.

A.若A,8均為零矩陣,則有A=B

B.若AB=AC，且AwO,則8=C

C.對角矩陣是對稱矩陣

D.若Aw0,3wO.則ABwO

36.設A為3x4矩陣，8為5x2矩陣，且乘積矩陣ACB，故意義，則為（A）矩陣.

A.2x4B.4x2.c.3x5?D.5X3

37.設4,3均為〃階可逆矩陣，則下列等式成立的是（c）.

A.(A+By1=A-1+5-1B.(A?B)T=AT?8Tc.\A^=\B/\

D.AB=BA

38.下列矩陣可逆的是（A).

1111

00

222

.矩陣A=333的秩是（

39B).

444

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

1.兩個矩陣A,B既可相加又可相乘的充足必要條件是A與8是同階矩陣

2.計算矩陣乘積120=[4]

LJ011

-23-1

3.若矩陣4=[-12]打=12—31],則/廬

4-62

4.設A為〃2Xn矩陣，3為$X，矩陣，若AB與BA都可進行運算，則〃1,〃,S,，有關系式〃2=，，〃=S

02

5.設A=a03，當?=o時,A是對稱矩陣.

23-1

F13一

時，矩陣A=可逆.

6.當。w—3

-1ci

1

7.設A,B為兩個已知矩陣，且I一3可逆,則方程A+3X=X的解X=(1—B)-A

8.設A為n階可逆矩陣,則r(J)=n

2-12

9.若矩陣力=402,則刀用

0-33

10.若垃=4,7-(/1)=3,則線性方程組4v二十，無解，。.

X]-%2=0

11.若線性方程組〈有非零解，則2=

$+AX2=0

12.設齊次線性方程組A[〃x〃X〃xl=0?且秩(4)-r<n,則其?般解中的自由未知量的個數等于n-r,

1-123

13.齊次線性方程組AX=0的系數矩陣為A=010-2則此方程組的一般解為

0000

(其中工3，工4是自由未知量)

14.線性方程組AX=b的增廣矩陣A化成階梯形矩陣后為

12010

X-042-11

0000d+1

則當d=-1時,方程組AX=人有無窮多解.

15.若線性方程組AX=Z?(〃w0)有唯一解，則AX=0只有o解.

16.兩個矩陣A,B既可相加又可相乘的充足必要條件是—.答案：同階矩陣

-21

17.若矩陣力=[―12],=[2一1],則才廬二答案

4一2

102

18.設A=a03.當a=___時，A是對稱矩陣.答案：。=0

23-1

13

A

19.當4時，矩陣-1可逆.答案：aw—3

20.設A,B為兩個已知矩陣,且/一5可逆,則方程A+BX=X的解X=答案：(7-B)~]A

21.設A為〃階可逆矩陣，則/"(4)=.答案：n

2-12

22.若矩陣力=402則r（冷=_________.答案：2

0-33

23.若r（46）=4,r（J）=3,則線性方程組力X=5..答案:無解

X,-X2=0

24.若線性方程組<有非零解，則2=_.答案：X=-1

Xj+AX2=0

25.設齊次線性方程組4根乂〃*〃乂1-0,且秩（力）二「V則其一般解中的自由未知量的個數等于答案：n-r

1-123

26.齊次線性方程組AX=O的系數矩陣為A=010-2則此方程組的一般解為.

0000

（其中工3，工4是自由未知量）

27.線性方程組AX=〃的增廣矩陣A化成階梯形矩陣后為

12010

Xf042-11

則當d時，方程組AX=6有無窮多解.答案："=-1

廠-I2

r1300

計算矩陣乘積II210[4]

LJ011

LJ-1

29.設4為〃階可逆矩陣，則r（4）=

0-4

30.設矩陣Z=,E為垠位矩陣，則的-A）

4322~

31.若線性方程組1A|一°有非零解，W12=.-1

[%1+AX2=0

32.若線性方程組*0有推一解,則KXR無非零解

104-5

33.i殳矩陣A=3-232，則A的元素423=_________________________________.答案：3

216-1

34.設A3均為3階矩陣，且同=網=—3，則卜24叫.答案：—72

35.設A,B均為〃階矩陣，則等式(A-8)2=A123-2AB+B2成立的充足必要條件是.答

案:AB-BA

36.設A,8均為〃階矩陣，(1-B)可逆，則矩陣A+BX=X的解X=.答案：

(I-B)-'A

10o)

1001

oO)

，則4T=-

37.設矩陣A=02021

00-3OO

3-

三、計算題

1.設矩陣A-

100102

1.解由于2/—A’=2010-124

001311

200

020

002

11-3211-5

所以(27-AT)B00-1-130-3

-2-41030-11

212-61

102

2.設矩陣4,B010,C22,計算BA^+C.

1-20

002-42

21211-61

2.解：+C0100-2+22

00220-42

60-6101

0-2+2220

40-4202

-13-6-3

,求A-1

3.設矩陣月-4-2-1

211

-13-6-3100114107

3.解由于（A-4-2-10100002

211001211001

1141071101-4-1

001012—>001012

0-1-7-20-130-10-271

100-130100-130

00-2710102-7-1

001012001012

-130

所以A2-7-1

02

012

-1

4.設矩陣A二114，求逆矩陣A

20

012100114010

4,解由于5I)11400T012100

2-100010-3-80-21

102-110002-1I

012100004-2

00-23-2100-23-21

1002-11

0104-21

00I-3/2I-1/2

2-11

所以A'=4-2I

-3/21-1/2

63

10-2

5.設矩陣/,B12，計算

1-20

41

0

5.解由于AB

1-2

11

2

6.設矩陣A0-2B,計算（班）I

0-12

20

11

2-3

6.解由于明二0-2

0-1242

20

-5-310-1-111

(BAI)=

420420

1-1-01

->%

0-2450-2

1

所以(?4)

-2

7.解矩陣方程

-2101111

7.解由于

34013401

Ill11043

f[o1-3_2產[o1-3-2

所以/

8.解矩陣方程

2010-52

8.解：由于

-1-31013-1

即

-1-52-83

所以,x

03H-104

9.諛線性方程俎

+叼=2

X]+2%2-工3=0

2司+九2-ax3=b

討論當a,〃為什么值時,方程組無解，有唯?解,有無窮多解.

'1012''1012

9.解由于12-10->02-2-2

21-ab01-a-2b-4

1012

->01-1-1

00-a-\b-3

所以當a=-1且bw3時.方程組無解;

aa*—1時，方程組有唯一解;

當a=—1且b=3時，方程組有無力多解.

x^+2xj—1

10.設線性方程組｛-X]+*2-3%3=2,求其系數矩陣和增廣矩陣的秋，并判斷其解的情況.

2X1-x2+5%=0

10.解由于

102-11「102-1

印=-11-32fo1-11

2-150J|_0-112

102-1

-01—11

0003

所以r(0)=2,r(A)=3.

又由于r(4)*7(A),所以方程組無解.

11.求下列線性方程組的一股解：

再+2xj-x4=0

,一尤|+々-3/+2*4——0

2元?-x2+5X3-3X4=0

u.解由于系數矩陣

102-1102-1102-1

A=-1I-320I-1101-11

2-15-30-11-10000

—2/+

所以一般解為<（其中x3.x4是自由未知量:）

12.求下列線性方程組的一般解:

2%|5X2+2xj—3

$+2X2-x3=3

—2XI+14々12

12.解由于增廣矩陣

2-52-312-13-10-1/91

A12-130-94-9T01-4/91

-214-612018-8180000

1

+1

所以一般解為（其中X3中自由是知山,

4

%+1

13.設齊次線性方程組

x-無

[3X2+23=0

<2x1-5X2+3X3=0

3七一8X2+AX3=0

問人取何值時方程組有非零解,并求一般解.

13.解由于系數矩陣

1-321-321-1

A2-5301-101-I

3-82012-60/—5

所以當入=5時，方程組有非零解.且一般解為

F-Xy

1'(其中X3是自由未知量)

x2=x3

X]+工2+工3=1

U.當4取何值時，線性方程組42工]+x2-4X3=2有解？并求一般解.

.一玉+5X3=1

14.解由于增廣矩陣

1111111

1-42-?0-1-62-2

-1051J|_0162

10-5-1

-0162

0002

所以當4=0時.線性方程組有無窮多解，且一般解為:

%）=5X3-1

??（X3是自由未知量）

x2=-6當+2

is.已知線性方程組AX-b的增廣矩陣經初等行變換化為

1-16-31

Af----->01-330

00002-3

問A取何值時,方程紈AX=b有解？”1方程組有解時，求方程組AX=b的一股解.

15.解：*幾=3時,r(A)=r(A)=2,方程組有解.

1-16-3110301

當4=3時，A->0I-3300I-330

0000000000

$=1—3X3

?般解為＜

其中x3.x4為自由未知量.

x2-3X3—3X4

11

12-3

16.設矩陣A=0-2.8,計算<BA)

02

20

1

12-3-5-3

解由于40-2

0242

20

10-11

(BAI)

42014201

1-1101

—>

0-24501-2%

0-1-3

17.設矩陣A--2-2-7I是3階電位矩陣，求（/-A）-1.

-3-4-8

解：由矩陣減法運算得

運用初等行變換得

113100113100

237010->011-210

349001J|_010-301

1131001fl10-2-33

f011-210^010-301

00-1-1-11J[o0111-1

1001-32

-010—301

00111-1

1-32

即（/-A）T=-301

11-1

-1-1oir2-

is.設矩陣A--12I,B=-1求箱8

2231

解：運用初等行變換得

1-101001p-10100

-121010-?011110

223001J|_043-201

1-101