2022-2023學年廣東省廣州市高一上學期期末數學試題

一、單選題

1,已知集合"=N噸I<x47},則“UN=（）

A{x|-2<x<7}B{x|l<x<5}

c{x|-2<x<7}D*|14x<5}

【答案】C

【分析】根據并集運算求解即可.

【詳解】因為"={'H<X<5},N={x[l<x47},

所以MuN=（-2,7],

故選：C

2.”G>揚，，成立是“a>b>0”成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】求出不等式的等價條件，根據充分條件和必要條件與不等式的關系進行判斷即可.

【詳解】由&>加得a>b20,

則a>620是a>b>0的必要不充分條件，

故選：C.

3.若扇形的弧長為8cm,圓心角為2弧度，則扇形的面積為（）

A.87rcm2B.8cm2Q16cm29167tcm2

【答案】C

【分析】利用扇形的面積計算公式即可得出答案.

【詳解】設扇形的弧長為/,圓心角為

扇形的弧長為8cm,圓心角為2弧度，即/=8,a=2,

':l=\a\r,可得/'=4,

S=—/?/,=—x8x4=16fcm2）

,該扇形的面積22V\

故選：c.

cos-n-a

4.已知以原點為頂點，x軸的非負半軸為始邊的角a的終邊經過點R3,-4）,則12J的值

等于（）

34_3_4

A.5B.5C.5D.5

【答案】B

【分析】根據三角函數的定義確定sina的值，再結合誘導公式求解即可.

-44

sina=i==——

【詳解】解：角a的終邊經過點尸（3,-4）,則*2+（-4），

（31.4

所以12J5.

故選：B.

5.已知實數a,6滿足/+〃=。6+1,則6的最大值為（）

A.1B.2C.4D.^2

【答案】B

尸

【分析】利用基本不等式。＞°力＞°時，4，構造基本不等式，求出的最大值

【詳解】因為/+/=必+1,

（a+=3ab+l＜^a+b^+1

所以4,

可得（"+6）244,即。+%2,

所以a+人的最大值為2,

當且僅當"=6=1時，等號成立

故選:B.

6.在人類用智慧架設的無數座從已知通向未知的金橋中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的

一座.已知A為銳角A/8C的內角，滿足sin/-2cos"+tan4=l,則（）

【答案】C

【解析】設設/（"）=sin"-2cos'+tan'-l,則/⑷在1°，引單調遞增，再利用零點存在定理即

可判斷函數［(')的零點所在的區間，也即是方程sin“-2cos/+tan/=1的根所在的區間.

【詳解】因為A為銳角”8C的內角,滿足sin4-2cos/+tan4=l,

J(")在1°‘萬)單調遞增，

設/(4)=sin/-2cos力+tan力-1貝?

/(0)=sin0-2cos0+tan0-1=-3<0

2cos—+tan--1=--^-<0

在〔2)取*"得■/⑷4442

/f—^sin--2cos—+tan--1=—%>。

V3J3332

」乃、J八

sinJ-2cosA+tanA-I

囚力、'，7,也以“''H'J奇忌僅?丁IAI用、/，

即滿足$出/-285/+1211/=1的角/€14'3人

故選：c

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是令'（"A

:sinJ-2cosJ+tanJ-l；根據零點存在定理

判斷函數的零點所在的區間.

/（x）</f—1

7.已知函數/（x）=sin2xcosg+cos2xsins（xcR）,其中。為實數，且19J對任意實數

r=/伊］

R恒成立，記A%人161,則p、q、/"的大小關系是（）

A.r<p<qB.q<r<p

C.p<q<rD.q<p<r

【答案】C

【分析】利用和角的正弦化簡函數”X），再求出夕的表達式，然后利用正弦函數單調性比較大小作

答.

=sin（2x+。），因為，。）'，（9）對任意實數R恒成立，

［詳解］/（x）=sin2xcose+cos2xsine二

_2兀27171._C7兀7r7

x=—2:x——+0=2攵兀+—,攵GZ0=2&兀+—,kGL

則當9時，/（X）取得最大值，因此92,即318

.25TI.7兀./7K.

=sin(2x+￡),%GZp=sin---=-sin——=sin(----)

181818,

.31K./5兀、.43花.7兀兀7兀5兀77i兀

q=sin---=sin(----)r=sin---=sin———<---<----<—<—

1818,1818,顯然21818182,

r兀兀］?Z7兀、?/5兀、*/7兀、

.I——Jsin(----)<sm(---)<sm(—)

正弦函數夕=s】nx在22上單調遞增，即有181818,

所以P<”〃.

故選：C

8.已知定義在R上的函數"x）滿足：/（X）為奇函數，/G+1）為偶函數，當0041時,

"x）=2'T,貝〃（1。比2023）=（）

999251024512

A.-1024B.-2048C.-2023D.一頻

【答案】A

【分析】由/G）為奇函數，/（x+1）為偶函數可知/（龍）為以4位周期的周期函數，且關于

（2%，°求eZ點對稱，關于x=l+2%,%eZ軸對稱，利用周期性與對稱性可化簡

2023

/(log2023)=-

2代入八）=21

1024即可得出答案.

【詳解】因為/（X+1）為偶函數,

所以/（x+l）=〃r+l）,

所以/（r）=〃x+2）,

又/㈤為奇函數，即/(-x)=-/(x)

所以-/(X)=/(X+2)n/(X+4)=-/(X+2)=/(X)

所以/（“）的周期為4,

故選：A.

【點睛】本題綜合考查了函數的周期性與對稱性，屬于難題.解本類題型一般可借助正弦曲線與余

弦曲線幫助我們理解其對稱性與周期性.

9.凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其中第一級過濾一般由孔徑為5

微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物

等各種大顆粒雜質.假設每一層尸產棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，過濾前水中大顆粒

雜質含量為50mg/L,若要滿足過濾后水中大顆粒雜質含量不超過2.5mg/L,則尸P棉濾芯層數最少

為（）（參考數據：收2=0.30,lg3=0.48）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

50x俏]<2.5

【分析】根據題意得到不等式,解出答案.

見=50x（1」]=50x/2

【詳解】設經過〃層PP棉濾過濾后的大顆粒雜質含量為為,則I13

兩邊取常用對數得："叼”燈,即〃（吆3Tg2）21+lg2,

因為史0.30,lg3x0.48,

、65

所以（0.48-。.3。）〃21.3。，解得「避，

因為“eN",所以〃的最小值為&

故選：B

10.已知函數〃x）=|2'-m|的圖象與函數g（x）的圖象關于軸對稱，若函數/（x）與函數g（x）在區

間口，2]上同時單調遞增或同時單調遞減，則實數”的取值范圍是（）

-,2

A.[2」B.[2,3]

U[4,+oo）

C.（2」D,[4,+oo）

【答案】A

【分析】由題意可得g（x）=/（r）=|2T-，”l,利用特殊值，分別令旭=2,或m=1,根據函數的單調

性即可判斷.

【詳解】解：函數的圖象與函數g（x）的圖象關于V軸對稱，

.-.g(x)=f(-x)=l2-x-ml

x

若m=2時，〃x)=|2*-2|,當x>l時，f(x)=2-2t函數/(x)單調遞增,

g(x)=|2-，-2|,當2T一2<0時，即x>-l時，g(x)=-2-，+2,函數g(x)單調遞增，

故當，〃=2時，滿足函數"X)與函數g(x)在區間［1,2］上同時單調遞增，故排除C,D,

若朗=1時，〃x)=|2'-l|,當2,一1>0時，即x>0時，/(x)=2'-l>函數/(x)單調遞增,

g(x)=|2-，-l|,當2―1<0時，即x>0時，g(x)=-，，-l,函數g(x)單調遞增，

故當機=1時，滿足函數八刈與函數8口)在區間口，用上同時單調遞增，故排除8,

其圖象為

故選：A.

二、多選題

11.下列化簡正確的是()

21~log23_2

B.3

有

C.=D.%=占

【答案】BC

【分析】將根式轉化為分數指數基，結合對數運算性質得到正確答案.

【詳解】行7=療=3口=33,人錯誤；

7

2,_|OJ?23_2:2喻3=2—3=—

3,B正確；

?1

,-1/（?\5

，秒=的）=9，=92=近

IJI）,C正確；

x可得到x<0,從而xx,D錯誤.

故選：BC

?（x+2,x<-1

/（外={..、

12.已知函數[x2-+LT<x<2,關于函數〃x）的結論正確的是（）

A./（X）的定義域是RB."X）的值域是（f，5）

C.若f（x）=3,則x的值為&D./（〃T））=2

【答案】BCD

【分析】根據分段函數的解析式，結合一次函數、二次函數的單調性，運用代入法逐一判斷即可.

【詳解】A：函數的定義域為（Y°，2）,所以本選項不正確；

B：當XV-1時，=

當-l<x<2時，”x）mm=〃O）=l,/（-I）=2J（2）=5,所以有1</（x）<5,

綜上所述：〃x）的值域是（一嗎5）,所以本選項正確；

C：當x4T時，/（x）=3=>x+2=3=>x=l,不符合x4T；

2

當-l<x<2時，/（x）=3=>X+1=3=>X=V2>或x=_及不符合7cx<2,

綜上所述：當，（x）=3時，x的值為夜，所以本選項正確；

D：/（/（-0）=/（1）=2,所以本選項正確，

故選：BCD

13.函數/G）=/sin3x+9）（N>0M>0,0<9<兀）的部分圖象如圖所示，則（）

C./（X）的圖象關于點（2°22,0）對稱

D."2x）在R,4］上單調遞增

【答案】ABD

【分析】A選項，由圖象得到力=1,4,求出T=8,4,再代入結合

°＜。＜兀求出4,求出函數解析式，計算出2,AB正確；將2022代入解析式,

〃2022）=sin（」）=-也工x+M|'”史一

利用誘導公式求出2,c錯誤；整體法求出24L44」，結合正弦

函數圖象，得到其單調遞增，D正確.

17'=3-1=2

【詳解】從圖象可知：4=1,4,解得：7=8,

(o=-=-/(x)=sin住x+w

即84,則14

/、sin—+(p=1

將(甲)代入解析式，得14J,

7171571

—<---V(p<----

因為0<°(兀，所以444,

兀兀7171

——+°=_(P=—CD+(p=-

所以42,解得：4,故2,A正確:

71兀)3

/(x)=sin—X+—/(-2)=sin(-j+^

12,B正確;

故44

/(2022)=sin-x2022+-

當x=2022時,44

故/（X）的圖象不關于點（2022,0）對稱，c錯誤;

,/(2x)=sin^x+^當xe[3,4]時，+%7兀9兀

T'T

7兀9兀

Z€,

由于y=sinz在L44」上單調遞增，

故/（2x）在[3,4]上單調遞增，D正確.

故選：ABD

14.設函數/G）=J（"+M+…（"R）,則（）

A.存在實數。，使“X）的定義域為R

B.若函數/G）在區間@+8）上遞增，則“c[T,O]

C.函數/（X）一定有最小值

D.對任意的負實數。，/（*）的值域為P+8）

【答案】ABC

【分析】根據復合函數的單調性與二次函數的單調性與最值情況分別判斷各選項.

Ja+l>0]

【詳解】A選項：函數/（*）=J（a+l*+x-a（aeR）,當0時，即"一]時,

其定義域為R，故A選項正確；

B選項：當。+1<0,即"-1時;函數片（°+1）/+*-”在1%2a+2）上單調遞增，在

I2a+2J上單調遞減，不成立；

當a+l=0,即”=-1時，在（7，田）上單調遞增，滿足在區間1°，+00）上遞增，成立;

…，-00,--L_

當a+l>0,即“>-1時，函數>-（"+6+廠"在I2a+2J上單調遞減，在

12a+2'8）上單調遞增，故一24+2',且/（O）=G*O,即-1<。40；綜上所述，若函數

/（X）在區間@+"）上遞增，"卜1，°],故B選項正確；

CM：由1-（。+1）（-。）=4/+4"120恒成立，

f(x)=](〃+1)4、+x-a=J[(a+])x_a}(x+1)

x=T時取最小值為0；

當"T且"5時'/（X）在x=T或"。+1時取最小值為0；當。=-1時，/（x）=G^,

x=T時取最小值為0：

a

當a>T時，/（X）在尸-1或、一。+1時取最小值為0；故C選項正確；

D選項：當"彳時，其值域為叱），

1-4a2-4a-I

X=__!_

當且時，/G）在X__2.+2時取最大值為2。+2%。+1),其值域為

—4a2—4a—1

0,

4(tz+l)

」，故D選項錯誤;

故選：ABC.

x=2Ef（x）=§a

15.函數〃x）=asinx+bcosx,觸.0）的圖象關于.一7對稱，且八‘。尸S，則（）

424

A.525

【答案】ACD

_兀

［分析］將/（x）=asinx+bcosx,（M/0）化簡，結合其圖象關于*一不對稱,|/(^)|=V777

可得6

廠fGo）=_Qsin/+；=一

化簡得6=13a,故結合''5,根據輔助角公式化簡可得I3J5,判斷A；利用誘導

7

公式即可判斷C;利用二倍角余弦公式可求得25判斷B;結合誘導公式判斷D.

/(x)=asinx+6cosx=y/a2+b2sin(x+(p),(sin(p=/,,cos(p=,a)

【詳解】由題意知函數y!a2+b2

x—I_t

函數/(x)=aSinX+6cosx,(abX°)的圖象關于-6對稱,

|/(—)|=^a2+h2\—a+^-b\=-\la2+b2

則6,即122,

化簡即得（Go-bf

又‘即f(xQ)=asin與+力cosxQ=asinxQ+也acosx0

=2asin(xo+|)=|?sin'+J：

JJ,即\/A正確;

cos|-x0|=cos[—-(x0+—)]=sin(x0+—)=—

C正確；

B錯誤;

sin[^-(y-2x)]=cos(y-2x)=(

sin00

D正確,

故選：ACD

,f（x）=cos2x+|V3sin2x||

16.已知函數?12I則（）

71

A./（X）的最小正周期為5

_尿/,y\

B."x）的圖象關于直線x-萬，€,對稱

一19兀11—

C./G）在112'6」上單調遞減

D.g（x）=/（x）7在卜5°5兀，5。5向上的零點個數是4041

【答案】BCD

【分析】賦值滿足最小正周期的數即可判斷A；利用對稱軸的定義對B選項判斷；根據區間把函數

/'(x)=2cos2x+—

I3先分析/（x）的周期和奇偶

變形為,利用余弦型函數的單調性可判斷C選項;

性，再分析8（“）在一個周期的零點個數，進而可以判斷D.

【詳解】對于A,

4兀FT.47113

cos-----F5/3sin—一一十一=1

3322

兀

即一（X）最小正周期不是5,故A錯;

kint）_（E]kit

—+x=cos2x+—+VJsin2x+—（keZ）

222

對于B,

=|cos（2x+E）+|\/Jsin（2戈+ZTI）||

=|cos（2x+^7t）+|>/3sin2x||

Gsin2（與-x

f+（hZ）

=|cos（kn-2x）+|V3sin（kit-2x）||

=|cos（2x-E）+|V3sin2x||=|cos（2x-4兀+2%兀）+

=|cos（2x+ATT）+|V3sin2.r||

ku

x

_kn

"X~2,%eZ是/(x)的對稱軸，B正確:

19兀117C19K1IK

VXG2xG

IT'T

對于c,63

.?.sin2x<0,即|6sin2x|=-Gsin2x,

3兀7兀“71I

*.*2.XH—G—,4Kcos2xH—>0

32I3j

，/（x）=2cos（2x+g[t=2x+-/e女,4兀

<3九令3,2

24兀

則歹=2cosf在_」內單調遞增，故C對;

對于D,由/（T）=k°s（-2x）+|Gsin（-2x）|

_|cos2x+|\/3sin2x|=/（x）\

，'/(x)是偶函數,

f（x+7t）=|cos2（x+7t）+|\/3sin2（x+rt）||

=|cos（2x+2兀）+|V3sin（2x+2兀）||

小s2x+|Gsin2x卜\"x)周期為兀,

即g(x)也是偶函數，周期也是兀.

先分析g（x）在［0,可上零點的個數，

「八兀）

XG0,-I_r、

當L2J時，2工￡［0,兀），sin2x>0,

g（x）=|cos2x+sin2x|-1=2cos-1=0

_兀_兀

解得或*=5或x=o；

XG—,7tr

當L2J時，2xe［7t,2n）,sin2x<o；

?,.g（x）=|cos2x-V3sin2^|-l=2cos［2x+y］-1=0

_n_2兀

解得或x=7；

當》=兀時，也符合題意；

綜上，g（x）在［0戶］有4+1=5個零點，

.?.8（》）在［°，5。5兀）上的零點個數有4*505=2020,

g。）在57t*°5兀）上的零點個數有2x2020=4040

g（x）在卜505兀,505兀］上的零點個數有4040+1

=4041

???D選項正確.

故選：BCD

三、解答題

17.已知函數.2-x

⑴求函數/（X）解析式；

（2）判斷函數/（X）的奇偶性并加以證明;

⑶解關于x的不等式/（x）N電3.

【答案】（1/3=.xe（-l,l）

（2）奇函數，證明見解析

-<x<l

⑶2

【分析】（1）通過換元法直接求出，注意定義域；

（2）通過解析式得出/（T）的式子，變形化簡即可得出"r）=—/。），即可得出答案;

1g■：X+121g3、X--+--123

（3）將1-工通過對數單調性得出1-工，即可由分式不等式的解法得出答案.

【詳解】⑴"1"檐二的定義域為xe（Q2）,

令，=x-i,則x=/+i,且

則/（'Rg罟，

即/㈤5言，x?Tl）；

/（-X）=1g尹=Igf丫…曰=_/（X）

（2）1+x\1—xJx

則函數/（X）為奇函數;

⑶小)=愴三，xe(Tl),

/3納/言瑛3,

^il>32120

則1-x，化簡為I—,

(2x-l)(l-x)>0

即［"I,

-<X<1

解得2

/,（x）=—sin2tyx-VJcos2cox+—_-（<y>0）

18.已知函數.22,其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

7V

I.

（1）求函數/（X）的解析式及對稱中心；

（2）將函數/（X）的圖象向左平移12個單位長度，再向上平移5個單位長度得到函數g（x）的圖象,

~n2T一

若關于x的方程［g（x）F+（加+2）g（x）+2m=°在區間16'3」上有兩個不相等的實根，求實數加的

取值范圍.

/(x)=V3sin(2x-專k7l711

+9/?rj、-^3<m<

"Tn^2/￡Z).2

【答案】（1）H對稱中心(2)

1+cos2a)x+百-1f(x)=VJsin(~71]_

f(x)=—sin2a)x-百?Z.COX------

【分析】(1)先將222,轉化為62

7t

再利用圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為5,求得周期，進而可求得解析式與對稱中心.

⑵根據圖象變換得到g(x)=^sin2x,再將[g(x)f+G〃+2)g(x)+2w=0,轉化為

y=g(x)

[g(x)+2][g(x)+〃?]=0,解得g(x)=-2(舍)，g(x)=一叫再將問題轉化)二一機有兩個不同交

點的問題求解.

1+cos2cox6-1

/(x)=—sin2<vx-\/3--------------+--------

【詳解】(I)，222

3.1粗、1

=—sin2ox------cos2a>x——

222

=Gsin[2妙一：)一￡

2

71

V圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

：.T=7T,69=1

/(x)=6sin(2x一高一;

2

c4，kTl7T

2X------=K7TX=——+—

由6k￡Z得212,A:GZ

k7U711

+，-

???對稱中心TT22,(*eZ)

(2)g(x)=6sin2x

由[g(x)F+(加+2)g(x)+2加=0,

，[g(x)+2][g(x)+m]=。，

g(x)=-2(舍)，g(x)=-tn

y=g(x)

問題轉化y=~m有兩個不同交點.

n2714

VXG一,一冗2xe一,一兀

6333

7171

g(x)￡|,6

???當時，g(')遞增,此時

7127V如)￡一|,石

XG

當」時，g(x)遞減，此時

33

—＜一加＜石一百＜m＜——

由圖象知：2，即2

【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象和性質及其應用，還考查了數形結合的思想和運算求解的

能力，屬于中檔題.

19.如圖，風景區的形狀是如圖所示的扇形Z8C區域，其半徑為2千米，圓心角為60”,點尸在弧

BC上.現欲在風景區中規劃三條商業街道PQ,PR，RQ,要求街道PQ與AB垂直（垂足。在Z8上），

街道H?與48平行，交ZC于點R

（1）如果P為弧8c的中點，求三條商業街道圍成的APOR的面積：

（2）試求街道RQ長度的最小值.

百病_6

【答案】（I）（2）最小值為一3一千米.

【分析】（1）結合已知角及線段長，利用銳角三角函數定義及扇形面積公式可求；

（2）由已知結合銳角三角函數定義及勾股定理可表示R。，然后結合同角平方關系，輔助角公式進

行化簡，然后結合正弦函數性質可求.

【詳解】連接“尸，過R作垂足為D

（1）當尸為弧8C的中點時，NP/Q=3。，

在△/尸。中，AP=2,尸。：。，故尸。=1,/。=百，

在△//?￡）中，RD=PQ=l,NRAD=6Q。,所以茄S60=G,則仞=行，

RP=DO=4i--=—

所以33,

S=-PQRQ=—

在直角三角形PRQ中，△PQR的面積23.

c

—=tan600=x/3AD=—sin0RP=DQ=2cos0-—sin0

又⑨，則3,所以3

RQ2=PR2+PQ2=(2cos0-—sin0)2+(2sin0)2

在直角三角形PR。中，3

=--—(cos20+2\/3sin20)=--2^11.sin(2^+q>)tanp=<<p<—