2015年湖南省高中數學競賽（A卷）(2015-06-27)一、選擇題（每個5分，共6題）.將選手的9個得分去掉1個最高分，去年1個最低分，7個剩余分數的平均分為91,現場做的9個分數的莖葉圖有一個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示，則7個剩余分數的方差為 一A.華B.36C.36D.”.半徑為R的球的內部裝有4個有相同半徑r的小球，則小球半徑r可能的最大值是A.RB.~^R=RC.—^-rRD.-^-=R2+<3 3+七6 1+v3 2+?5.已知數歹lj｛an｝和｛bn｝對任意ngN*，都有a>b，當nf+s時，數歹U｛an｝和｛bn｝的極限分別是A和B,則A.A>BB.A>BC.A豐BD.A和B的大小關系不確定.對所有滿足1<n>m<5的m,n,極坐標方程p=一表示的不同雙曲線條數為-Cncos0A.6B.9C.12D.15.使關于x的不等式vI-3+、；6-X>k有解的實數k的最大值是A.<6-<3B.gC.近+<3D.<6.設M={a|a=x2-y2,x,ygZ}，則對任意的整數n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的數中，不是M中的元素的數為A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3二、填空題（每個8分，共6題）.已知三邊為連續自然數的三角形的最大角是最小角的兩倍，則該三角形的周長為：4-a3，...),它的第n.對任一實數序列A=（'a2%,...）,定義^A為序歹4-a3，...),它的第n項是an.「a"，假定序列△（△A）的所有項都是1,且失9=%=0，則a『勺值為：.滿足使I=[-+Xi]n為純虛數的最小正整數n=22x3.將1,2,3,…，9這9個數字填在如圖所示的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法數為：.記集合T={0,1,2,3,4,5,6},M={a+3+駕+駕|agT,i=1,2,3,4}，將M中的元素按從7 72 73 74i大到小順序排列，則第2015年數是：.設直線系M:%cos0+（y-2）sin0=1（0<0<2兀），對于下列四個命題:①M中所有直線均經過一個定點②存在定點P不在M中的任一條直線上③對于任意整數n（n>3）存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上④M中的直線所能圍成的三角形面積都相等其中真命題的代號是：（寫出所有真命題的代號）三、解答題（共4題，滿分72分）.（本小題滿分16分）如圖所示，AB為RtAABC的斜邊，I為其內心，若4IAB的外接圓的半徑為R，RtAABC的內切圓半徑為r，求證：R>（2+<2）r..（本小題滿分16分）如圖，A,B為橢圓上+”=1（@?>0）和雙曲線竺-”二1的公共頂點，P、Q分別為雙曲a2b2 a2b2線和橢圓上不同于A、B的動點，且滿足AP+BP6（AQ+BQ）（XeR,1九I〉1）求證：（I）三點O、P、Q在同一直線上；（II）若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別是^rk/3、飛，則k1+k2+k3+k4是定值。.（本小題滿分20分）已知整數列{a},滿足a=a+1,b=1a+b,對于正整數n,定義函數n n n+1 n n+12nnfn（x）=x2+anx+bn,證明：若存在某個fk（x）有兩個整數零點，則必有無窮多個fn（x）有兩個整數零點。.(本小題滿分20分)已知a>0，函數f(x)=lnx一a(x-1),g(x)=ex。(I)經過原點分別作曲線y=f(x)和y=g(x)的切線(和/2。已知兩切線的斜率互為倒數，求證:e—1e2—1求證: <a< ee(II)設h(x)=f(x+1)+g(x),當x>0時，h(x)>1恒成立，試求實數a的聚會范圍。由I蚯定理?%由I蚯定理?%印一,則內切㈣事后2015年湖南省高中數學競賽答案（A卷）BBBADC12.②③12.②③2401-3」本小照靠,停1R兮i機忸慚不為ktAABC的禍辿」內隹內心理出色藍G的內切圓半程為T?求能1證明,在△上&Ey=—(AC43C-AB)-AR*e曲,sin//-10,C L祈瑞（n因為n我原點/所以W+BP±題+BQHgQX3F+fif=M耳ij*面？3故用=比皿"15.在明「糊.」…型函H八--2+四/4、曲聲到加印八.F&』1?一中先函敢九如1UH…打口卜月白兩個按懿等點,且丸“打為匏乩所以山力漕全平方顯一般人工一中'M"LIII?rrIIirr.II, LIIFIJtjCja??一“-「事虹:」7叫I11*丁4：子班小幾］與艱―?L&'1制3h”1--=￡1afti?-j--i?j-t?fji［二二【帝*i*. ,…-?s?ki-工由阻就知=-生產加二^^國二、也：?時都生中重卡ULui.利hinvf制內的4嗎件" --- - 口工木?天，iw?=d-f'IF*一1-rHhncjinI,且rTe-L』，上右十以7"i"力卜：。Ii的所仃我電■??iI"白■”『*_4ir:n.-im.tF5 2都達帚思助HSWtfj+；ii*I㈤71」IH+工￡”■"也容取中R戒雷k …1”Il+-I^H!?”出 31_￡r1中分J由市群釵而父.臼理.上H呼號五方界十人工鐘聲四十*敷甲m 加216.16.?，，,眼切牖姓附力，比?=柄，.就月，??力"，^g力由r'g…噂,碑1R*餐■=,rihBt>JlJ?劉川星為11■春工2*#**".*》跳L同國鈕用:fLF）蒯跳L同國鈕用:fLF）蒯Uf電商I?iI111h則橢hJ3;?--;1F--m5比n?在w?-8bt巾?坦什我鼻I ^4jj'1.工十一eiIi--3-ih所匕riw@川ri=a在孫w（右L讓華岡鼻嘰麻與寧W一 '苦an.：￥工因為用一榔1,*qJli電冏g嚙?Itmir=3荒Uin'i--i-u.jg ［二口子呼: I（ii向干（ii向干b心工*1+1】十以川=兄」*尸皿一戶/‘川J’g 些&W口時，國曲產孑品桁工」蛾u-k）上亞也/㈠型削s=l幅成立E曲密位”…小型當.X時圾切了61