實驗四MATLAB在方程求解

和級數中的應用

線性映射的迭代與特征向量的計算級數方程和方程組的求解一、利用MATLAB進行級數運算的方法和技能在高等數學中，級數一般分為三個部分來敘述，即常數項級數的求和和審斂法則、冪級數的審斂和將函數展開為冪級數、傅立葉級數的性質和將函數展開為傅立葉級數。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications1.常數項級數的求和與審斂在討論常數項級數時，一般認為，如果級數的部分和的極限存在，則稱該級數收斂，并稱此極限為級數的和。在MATLAB中，用于級數求和的命令是symsum()，該命令的應用格式為：

symsum(comiterm,v,a,b)其中：comiterm為級數的通項表達式，v是通項中的求和變量，a和b分別為求和變量的起點和終點。如果a，b缺省，則v從0變到v-1，如果v也缺省，則系統對comiterm中的默認變量求和。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求級數，的和。解：利用MATLAB函數symsum設計如下程序：clearsymsnf1=(2*n-1)/2^n;f2=1/(n*(2*n+1));I1=symsum(f1,n,1,inf)I2=symsum(f2,n,1,inf)運行結果為：I1=3I2=2-2*log(2)

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications本例是收斂的情況，如果發散，則求得的和為inf，因此，本方法就可以同時用來解決求和問題和收斂性問題。例2：求級數，的和。解：MATLAB程序如下：clearsymsnxf3=sin(x)/n^2;f4=(-1)^(n-1)*x^n/n;I3=symsum(f3,n,1,inf)I4=symsum(f4,n,1,inf)321sinnxIn￥==?NanjingUniversityofPostsandTelecommunications運行結果為：I3=1/6*sin(x)*pi^2I4=log(1+x)從這個例子可以看出，symsum()這個函數不但可以處理常數項級數，也可以處理函數項級數。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.函數的泰勒展開級數是高等數學中函數的一種重要表示形式，有許多復雜的函數都可以用級數簡單地來表示，而將一個復雜的函數展開成冪級數并取其前面的若干項來近似表達這個函數是一種很好的近似方法，在學習級數的時候，將一個函數展開成級數有時是比較麻煩的，現在介紹利用MATLAB展開函數的方法。(泰勒級數逼近計算器taylortool)

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications在MATLAB中，用于冪級數展開的函數為taylor()，其具體格式為：

taylor(function,n,x,a)function是待展開的函數表達式，n為展開項數，缺省時展開至5次冪，即6項，x是function中的變量，a為函數的展開點，缺省為0，即麥克勞林展開。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例3：將函數sin（x）展開為x的冪級數，分別展開至5次和20次。解：MATLAB程序為：clearsymsxf=sin(x);taylor(f)taylor(f,20)結果為：ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsans=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11+1/6227020800*x^13-1/1307674368000*x^15+1/355687428096000*x^17-1/121645100408832000*x^19NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例4：將函數(1+x)m展開為x的冪級數，為任意常數。展開至4次冪。解：MATLAB程序為：clearsymsxmf=(1+x)^m;taylor(f,5)運行結果為：

ans=1+m*x+1/2*m*(m-1)*x^2+1/6*m*(m-1)*(m-2)*x^3+1/24*m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*x^4NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例5：將函數展開為的冪級數。解：MATLAB程序為：clearsymsxf=1/(x^2+5*x-3);taylor(f,5,x,2)pretty(ans)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications結果為：ans=29/121-9/121*x+70/1331*(x-2)^2-531/14641*(x-2)^3+4009/161051*(x-2)^429702531340094------9/121x+------(x-2)--------(x-2)+----------(x-2)121133114641161051NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsandTelecommunications二、線性方程組、非線性方程、非線性方程組的求解。在MATLAB中，由函數solve()、null()、fsolve()，fzero等來解決線性方程（組）和非線性方程（組）的求解問題，其具體格式如下：X=solve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1’,’var2’,…,’varN’)X=fsolve(fun,x0,options)函數solve用來解符號方程、方程組，以及超越方程，如三角函數方程等非線性方程。參數’eqnN’為方程組中的第N個方程，’varN’則是第N個變量。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications函數nu診ll稅(A坊)則用測來解絡線性閑方程譯組AX科=O的基上礎解銹系，訪實際讓是求暫系數代矩陣A的零珍空間湯，在nu畏ll函數食中可糧加入越參數吧’r’，表侄示有口理基束。通芝過求幻玉系數娃矩陣炮的秩布和增降廣矩希陣的膛秩，面可以扭判定常方程斧組是憶否有輕解，銷以及能是否應需要牧求基模礎解諸系。拌另外街，還品可以另用函運數fz者er止o來求皮解非生線性顛方程磚。用柔法與fs紗ol殘ve類似漁。Na糞nj狼in敲g似Un感iv姓er漸si丘ty兩o覺f豎Po燭st挖s鄭an棟d蠢Te號le之co您mm笨un伍ic榆at銀io膊ns例1：求解鎖方程意的MA鳥TL件AB程序壟為：X=饅so柔lv效e(啄‘x塑^2窮-x巖-6今=0渣’,乎’x礎’)結果龍為：X=玻3,銷-喊2例2：求解爺方程宅組跌的扇程序駝為：[X煩,Y構]=薦so澤lv盲e(艇'x嫩^2丟+y灶-6斗=0關',足'y待^2用+x仙-6途=0爸',紀'x廉',雀'y禽')結果傾為：X碼=2分,涌-3財,徒1/邪2-爆1/胸2*群21峰^(幅1/勾2)址,罩1/李2+躬1/窩2*銜21榜^(伙1/語2)Y嶺=2英,悟-3陜,梁1/雀2+嗓1/處2*摩21蘭^(閥1/袋2)筑,摘1/澇2-友1/萍2*序21拜^(臺1/臺2)Na合nj粱in智g諒Un倒iv食er喪si堵ty耐o煩f暮Po課st雙s饒an括d減Te勝le樣co糞mm朗un緊ic駕at某io卸ns例3：求貢解方斥程組的程棒序為暢：cl舒ea資rfo撇rm筑atra拔tA=房誠[5憶,照0,橫4棕,其2;留1,妄-俗1,乏2慰,狡1;閥4,排1雕,流2,納0;尼1,壁1,頂1,駁1]；B=松[3除;1響;1他;0秒]；X=餅A\旁BNa放nj跟in界g百Un榮iv榨er虎si你ty液o擾f辨Po島st心s鳥an策d誼Te挪le凝co娛mm都un悠ic壺at絮io氏ns例4：求剛方程跪組的通解的鬧程序為：cl稱ea紛rfo施rm彎at般r屆atA=賢[1烤,2以,2搖,1愚;2鈔,1慨,-流2,涼-2脅;1乎,-小1,掩-4躺,-調3]C=友nu棍ll塔(A褲,'仗r'棄)％求截出矩敬陣A的解炒空間帳的有逗理基熱。結果們如下滾：Na冰nj慰in游g坐Un朝iv洞er巾si挨ty稍o撲f犯Po汪st肉s劉an腎d高Te諸le文co永mm錯un增ic趨at蜓io炭nsC尚=2近5/詳3-2首-4晶/31鳥00芹1接著王，用漫命令掛：sy賭msk1屬k喬2X=鍋k1高*C識(:頃,1戒)+視k2是*C抹(:凡,2慌)Na助nj孔in刊g沃Un珍iv態er企si舉ty范o廢f及Po猴st胖s渴an抹d皮Te秤le惱co熟mm串un選ic拐at徹io建ns求出剖的通藍解為超：X訊=[聯2維*k靠1+醋5/朱3*截k2謙][漁-2烏*k謠1-旁4/扮3*陣k2僚][k1裙][殖k2需]Na罪nj短in送g尿Un臂iv慈er撞si宮ty掩o召f革Po固st嫌s啞an速d疾Te注le橡co驗mm踏un烈ic嬸at緩io干ns例5：求方化程組的通腹解的士程序掩為：cl戰ea坐rfo榴rm壓at扇r搬atA=揚sy粱m(便'[旨1,都2,朽2,紫1;轎2,腎1,術-2際,-拴2;逢1,皂-1馬,-鳳4,鈔-3狹]'干)b=五sy嘩m(疼'[影1;余2;緩2]蔥')B=預[A,鼓b]n=耽le搏ng謙th屆(A斑(1恩,:抽))RA斷=ra肢nk哀(e醒va攻l(速A))RB抵=ra部nk序(e慰va長l(堤B))Na末nj芒in耀g腿Un翼iv罰er虛si聯ty述o挪f糕Po飾st享s看an蘇d行Te悉le遙co攔mm無un虛ic志at尚io睬nsif擴(R眉A==哈RB繼&R蝕A=核=n各)X=ev輸al雷(A\B吐)％在奪方程抓組滿趣秩時艷，求斧出唯久一解el蓬se乖if圾(R裳A==堤RB豎&R透A<監n)C=ev絮al禽(A剖\b)％在拿方程塌組不鎖滿秩涂時，賊求出擔特解D=蹈nu刊ll館(e休va拒l(跡A)扯,‘您r’包)％求勺出矩基陣A的零修空間享的基，摩即方饞程組仙的基附礎解仙系sy猛ms幟k智1啦k2X=毫k1賢*D車(:仁,1蕉)+攪k2許*D領(:壘,2數)+投C％求欄出方憑程組塵的全符部解el毀sefp精ri摔nt誰f(砍'N統o旗So餡lu賢ti房誠on決f撲or袍t久he醋E銅qu粒at押io壺ns具')en煮dNa獵nj帶in禽g卵Un庭iv綢er扮si問ty警o壺f巴Po瘦st驢s誘an呼d輛Te煮le鈔co賠mm褲un消ic賀at嫂io臥ns現在峽轉而匯來看哈非線冶性方艱程組址的求秀解，期對于千非線井性方業程組盆，用破函數fs營ol感ve來求算解。例6：求解離非線孟性方潔程組時，寶采用起如下毀的方吼法，夠先建行立存巧放函脫數的m文件，文輩件名理必須崇與函反數名尼一致更，這漁里就郊應該扮為fu縮慧n.峰m，內容蠅如下成：Na拉nj傳in鴿g猛Un音iv驗er怕si搭ty項o數f購Po赤st覺s警an概d喬Te俘le壤co先mm葉un遺ic菠at刊io群nsfu焦nc鈔ti烏on佩y倉=fu斥n(x愈)y(嫂1)繼=x救(1舅)-倘0.湊5*絕si慎n(售x(悉1)敵)-耽0.隙3*錯co節s(眼x(屈2)肚)y(嚼2)鑰=x攻(2恢)-逗0.謠5*諷co觸s(杰x(下1)稿)+黎0.賓3*賴si杯n(侍x(壁2)港)接著銅，我箏們建藥立另零一個m文件fso嘉lv抗e1.m，其肢內容深為：cl通ea著rfo興rm恥at俊s象ho要rtx0屑=[基0.同1,欄0.唇1]fs項ol創ve團(@鴨fu治n,耕x0弦,o基pt炎im寇se王t(犁‘f韻so艘lv鑼e’溝))％這代里的op之ti帆ms花et壓(‘印fs下ol孔ve庭’)部分是優嬸化設豬置，驅可以聲不用結果檢是：0.治54樸14，0.隆33占10。Na這nj戀in皮g樸Un悶iv冬er次si衛ty勾o陽f雷Po分st精s夠an吳d取Te券le滴co出mm蛾un欣ic桿at遲io亮ns三柴線性敲映射輕的迭錦代與墨特征把向量朽的計幣算1.定義關系式將向量映射為向量Na碧nj涼in巾g釀Un衰iv檔er濫si液ty眠o阿f辨Po礙st版s夜an狹d榴Te戶le晨co吊mm另un演ic干at偏io艱ns寫成挨矩陣窮形式其中晶分別膏為溉與，A為m×爐m矩陣形如y=Ax的映射稱為線性映射.給出一個初始向量,將上述映射反復作用可得序列：，，，…，，…我們將這一過程稱為線性映射的迭代，其中矩陣A稱為迭代矩陣。Na裕nj沃in罰g喪Un音iv漲er菜si形ty佛o亂f頭Po豬st姑s晃an帶d烏Te鋼le鏡co哪mm粒un復ic告at耳io堤ns2.天氣掠問題問題1某地醉區的盾天氣紀可分律為兩寺種狀顯態：休晴、搖陰雨.若今罰天的序天氣針為晴戶，則綁明天養晴的絹概率謹為3/犬4，陰爛雨的域概率念為1/吹4；如燈果今對天為胖陰雨字天，飛則明添天晴軟的概綁率為7/唇18，陰盡雨的會概率碌為11唐/1脫8.我們漲可以胖用一蟻矩陣訓來表給示這頓種變單化，顧矩陣五稱為據轉移抓矩陣婆（這豈些概堡率可敗以通浴過觀栗察該層地區篩以往攤幾年寫每天欺天氣絹變化水的測股量數郊據來呼確定印）試根浮據這衰些數曬據來騾判斷繡該地膛區的饞天氣企變化瓦情況Na仇nj摩in誤g住Un獲iv坡er賠si臨ty辛o腥f艘Po袋st滑s發an詢d耗Te凡le督co廉mm崖un潔ic聽at體io棕ns設某嬸天是浩晴的故概率品為盲，陰董雨的欄概率殿為廣，這韻一天臺的天其氣狀搶態用且向量壁來脹表示麗，k天之命后的沖天氣唯狀態抱用向儲量明來獻表示.則由螞全概刷率公披式可灰以得羨到：即可得Na違nj仍in嚷g各Un宏iv括er青si碑ty肚o慨f霞Po劈燕st技s工an鏈d肚Te麥le泊co蘋mm愛un品ic損at劈燕io網ns下面屢我們益來求勿解，宰設A1雕=[艙3/蠶4,芹7/干18墊;1狗/4獄,1察1/漿18蚊];p=圣[0晴.5塔;0肌.5暴];fo叮r路i=孟1:折20p(位:,陣i+師1)蝦=A犬1*纖p(袍:,思i)堆;en姜dp得到p犧=Na濾nj穴in豆g量Un志iv證er賺si敲ty割o梨f襖Po創st扛s灰an攜d備Te狂le詞co會mm珍un厲ic莫at懶io熔nsCo鏟lu蓬mn積s爸1覽th秋ro漢ug察h究60.魔50演00廢0.首56祝94限0.縱59賢45障0.厭60售36澆0.兵60碗68趕0.慚60鋼800.疑50翼00弟0.鈴43海06證0.什40活55跳0.榜39界64亦0.職39逗32貍0.麗39印20Co切lu脖mn梨s房誠7憐th身ro升ug頑h葡120.克60崗85細0.浙60祖86繩0.踢60望87曉0.遞60頃87遷0.套60色87響0.具60哲870.套39冠15鹽0.破39團14轟0.細39劃13歪0.鼓39逝13附0.產39澇13則0.那39強13Co材lu談mn立s胸13案t陰hr歐ou戚gh奔1極80.歉60容87娘0.略60克87車0.步60四87鹿0.待60鋤87萌0.撈60及87秒0.由60酷870.能39傾13澤0.航39看13忠0.豈39捕13鄉豐0.稿39電13水0.路39碗13燦0.辣39括13Co循lu踢mn蠅s煉19輔t牙hr權ou崖gh霉2土10.巴60蝴87保0.無60賤87歡0.梅60推870.帶39允13理0.島39袖13槽0.瘡39嬌13Na社nj番in茄g慰Un至iv輛er腐si價ty仿o內f劣Po已st泥s泥an岔d拋Te負le苗co軟mm隨un域ic至at坊io廚ns第8天之后，晴、陰雨的概率便穩定下來，均約等于問題扁：這駛個穩英定值舌是否芒與p0有關屋？是惱否與A1有關站？由于，因此有.由線性代數的知識我們知道，如存在等式說明A1有一特征值1，而恰是其對應的特征向量。Na呼nj鎖in享g聲Un襯iv弓er世si擠ty辛o方f上Po漫st按s大an役d纖Te劫le名co報mm拌un這ic禽at稱io忽ns命令[P產,D受]=跑ei矛g(推A1壁)可求殼得p蓬=0.逆84禽12膽-持0.制70減710.宴54蹤蝶08肯0.砍70柜71d濱=1.規00與00碰00義0鄙.3嶄61逝1說明A1確有惜一特哭征值情是1，而訪對應毀的特哀征向筆量是(0版.8灑41宅2,豬0.客54眼08誰)T,與算挺得的約差亡距較主大。思考騰：如寨何解牢釋這悟種差萬異？實際見上，拋通過應計算干可得(0簡.6啦08繞7,色0.址39退13敢)T=0劉.7蛙23摔6(基0.灑84勉12鵲,0蔑.5遙40宵8)TNa躁nj怖in戀g甘Un俯iv勉er逗si捆ty纖o乖f辛Po素st醬s對an稠d泉Te惰le谷co有mm餃un胳ic腫at飽io寨ns能不菊能直陵接計洲算出p(k浩)呢？如果A1有兩掌個不救同的失特征弟值（菌前面換計算魂已知淋），糕這個熱問題犯容易筐解決（見蓬板書余）由命令[P,D]=eig(sym(A1))可求得A1的特征向量與特征值的精確值，解方程組可得u,v，從而得到p(k)。Na塔nj便in劇g淺Un便iv活er相si燭ty典o喂f突Po扛st好s瓶an望d忽Te抓le喬co假mm秧un拐ic考at紛io午ns3.平面仔線性微映射嘩迭代(m炒=2的情浩況)取，我們推編程積觀察懶點列靜構肯成的淘圖形A=索[4負,2追;1凝,3帳];短x煉=[魔1;邀2]府;t=刪[]懼;fo唯r喝i=抖1:凍20x=瞇A*曉x;t(海i,慰1:倒2)溜=x討;en脫dpl亮ot欄(t仔(1善:2虧0,爐1)記,t絮(1讀:2旗0,塊2)幅,’或*’展)Na腐nj樂in分g熱Un休iv宵er登si敘ty睬o為f讀Po斗st尿s正an鈴d努Te染le超co目mm捧un毒ic痛at蓋io喜ns由圖言形可腥以看規出，句迭代冒序列援不收相斂，鉛但點淺列似列乎呈舊線性以分布偉。現在以求序材列的域一般柄項由命燭令[P欠,D卻]=騰ei憂g(貴sy頸m(雄A)任)，得翁到P勿=[味-1漸,摧2沸][慶1遷,讀1朝]D脂=[記2,藏0璃][澡0,場5伯]于是AP粱=P粥D，或A=蔽PD顫P-1Na劑nj獄in常g夸Un心iv本er玻si都ty仆o剝f曉Po打st好s渴an狠d鉗Te賣le陡co低mm趣un鞋ic扭at陡io薦ns最后我的計樣算留耳著作趣業Na嬸nj屆in摧g征Un較iv青er顫si愈ty招o須f厘Po歉st辦s點an矩d篇Te永le養co盡mm稅un皮ic辨at孔io堡ns4.線性明迭代榆的極麻限性歉質對于情前例墊，隨剖機任性取一踐些初權始向殃量，伐將迭唐代得女到的五所有榴向量兆畫在救一張掀圖中A=鹿[4含,2葛;1搞,3熄];t=穴[]琴;fo憐r劣i=這1:僵20x=缺2*逢ra妨nd盒(2說,1輝)-寶1;t(察le嘩ng丘th身(t碼)+替1,巨1:專2)武=x漸;fo柱r最j=胞1:芬40x=槍A*齊x;t(膠le洞ng治th領(t擺)+增1,減1:不2)澤=x罰;en咸den談dpl蔑ot乎(t淋(:鄉豐,1利),蝦t(遙:,越2)佛,'他*'炕)gr底id冰('因on渡')Na依nj腸in招g敞Un皺iv拌er肉si丈ty刪o拴f籍Po賭st糾s著an著d償Te彼le山co謎mm賭un新ic昂at寬io旅ns這些掩點在脆一條跌直線面上？鋪如果特是這墨樣，瀉那么幫它們撥的兩笛個分艘量的燃比值泉應該咸相等曠或差謹異不銹大，刊請驗鞭證！Na已nj遇in呢g大Un不iv胞er幼si謠ty現o轎f濃Po弓st攪s漿an換d馬Te貪le違co焰mm僻un肌ic辛at瘡io倒ns4.線性糾迭代耐的歸慘一化線性彩迭代膝序列狼不一醉定收挎斂，魂由前菠面討晃論知藝道，撇迭代僵序列習不收扎斂時棋，序紀列分行量似憂乎有嘆趨于志無窮其大的燈傾向片。如完果我怎們關側心的癥僅僅姻是序篇列每陣個分刺量絕本對值確的大煮小關汁系，院而不聯是它澆們的鋼具體對數值歐，此屈時每想個分脖量可茶以同宿時除步以某肆一個猛數。如果脹每次達除以掙絕對適值最樸大的偵那個游分量淺，以拼保證衛絕對星值最漿大的處分量灑等于1，這首個過重程稱徹為歸鞠一化歪。這個筆過程庫便是返：Na望nj碌in雙g但Un奏iv呢er兵si乒ty皇o禍f侮Po泛st叉s宅an米d穿Te仆le系co叔mm沾un賊ic你at昏io燙ns……沫……姿..……牲……沒..Na站nj紙in估g衡Un譽iv謀er革si殖ty烤o李f惹Po腰st帝s介an獲d棗Te快le勤co炊mm崖un憶ic縮慧at第io狂ns這樣霜得到胞的序弱列{yn}是否穗收斂率呢？如果{yn}的極乒限存勾在，處那么m(xn)的極考限也守存在士，(知道頌為什船么嗎歸？)設它非們極代限分掙別為y與，巧容易恢推導宣出即說明是A的特腥征值禿，而y是糾對應尖的特以征向捎量。Na惕nj秘in沿g前Un感iv描er卡si楊ty些o認f汽Po吧st候s低an縱d丹Te役le駁co芬mm報un凝ic什at香io哪ns定理 9.1設m階實方陣A有m個線性無關的特征向量，A的m個特征值滿足下列關系：則對任意的非零初始向量,按上述迭代過程得到及，有：（其中a是一個非零常數），Na蠅nj吃in技g比Un迎iv集er吐si屠ty背o長f低Po督st史s刮an柴d以Te堪le旱co涼mm迷un染ic株at扛io預ns比賽活名次虎問題六名王選手A、B、C、D、E和F進行臭圍棋膀單循陷環比鋼賽，其比建賽結辭果如貞下：A戰勝B、D、E、F；B戰勝D、E、F；C戰勝A、B、D；D戰勝E、F；E戰勝C、F；F戰勝C.請你澆給六亦名選質手排叉一個砍合理銜的名為次.Na照nj徐in瞞g釣Un甜iv啊er攪si蟻ty它o鋸f啄Po場st亮s盤an紋d類Te丑le犬co爬mm杠un訊ic嚴at質io閑ns按通弱常的吐方法弄可以香給選情手們蜜排一慚個初到步的賓名次.即每戰勝誼一名煤選手掏得1分，按總龜得分潤排名含次.六名啄選手念的得榨分排閣成一殊個向及量為羊：我們泡得到綱的初欣步名出次為庫：1：A；2、3：B、C；4、5：D、E；6：F.那么油，這巾樣排嘉名次槳是否落合理帖？并壺列名寄次怎紅么處斥理？Na燙nj研in菌g春Un使iv習er古si鏟ty廚o軍f豆Po固st層s涉an建d矩Te厚le粉co鋤mm挪un所ic師at最io希ns我們陜排名怖次的熱一個蹈重要板根據責是每克戰勝折一名選手蜂得1分.事實紫上，群這一鈔根據鎮并不閱十分件合理，府勝“幟強者冷”的蘋得分嚴比勝刻“弱升者”瘡的得葛分應該高.那么胸，誰襯是“嬸強者俊”，緊誰響是“戒弱者跌”呢蹈？得分越又應木該給網多少挽呢？Na恰nj沸in除g擠Un黃iv野er槽si伴ty撿o陷f促Po釣st爭s秀an幼d晚Te搞le撓co握mm渴un巧ic傘at淡io題ns我們柴可以貍按初翠步得只到的叔得分S1幟,判定汪強弱咱，得戒分就毫按照s1的分琴量大毫小給雙定.比如頃，A勝了B、D、E、F，而s1中對曲應于B、D、E、F的分華量分挨別為3,鬧2,中2,成1.所以A的得殲分分送別為3,進2,叫2,形1A的總傷得分態為.類似仿地可胖得出虧其它撕選手其的得弊分，稿于是盟得到晴得分崗向量s2=投(8服,5藥,9建,3挺,4照,3汪)將上錘述過綁程進濤行下省去，星編程難計算sk,碗k榴=3再,4晝,5釣,…如何熔給出驅各選愛手的末最終晨名次攜？一個石直觀斗的想不法是沿計算sk的極采限，組如果倍極限究存在窯，我巧們可律以依酬照極釘限來晌排名流次.Na便nj傅in竄g陰Un繳iv紋er徐si效ty如o截f壇Po繳st坊s月an找d棋Te兄le界co肝mm超un懇ic免at慰io占ns按照替前面潔的方該法來寶計算sk很麻謙煩，蹄我們瓦想辦彼法來染給出sk的通囑式.我們窄把各出選手痰的成猛績寫耗成下面宮的矩終陣形憲式：顯然Sk=M勵Sk-1鍛,超s0龜=(輪1,產1,鍬1,澆1,引1,墳1)TNa焦nj分in爭g腫Un脆iv書er猶si鎖ty通o喚f籃Po席st粥s祥an旺d喉Te售le襲co惑mm宇un茂ic偽at飄io影ns編程孝計算Sk,觀察Sk的極膨限是僅否存胃在。由于內我們憲關心逃的是付各選拴手的咐名次蜻，向疑量Sk的各焰個分乏量同行時除阿以一盼個正訂數并出不影遵響他邁們的亡名次排弱列.因此諸可以杏用2.遺2節中宗的歸太一化逃