第十二講

第六章小學數學中的數和形（2）主要內容：第六章小學數學中的數和形（2）一、分數和小數1、分數的概念、性質及分類2、小數的概念、性質及分類教學目標★掌握分數、小數的概念及其分類★理解分數和小數的性質★了解分數、小數在小學數學教學中的安排和要求二、分數和小數1、分數和小數的概念及性質（1）分數概念及意義小學數學教學中的表述：分數：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數的叫做分數。分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數的叫做分數單位。分數的實質——部分和整體的關系分數的認識被安排在兩個學段中進行學習，即三年級初步認識分數，五年級進一步認識分數的意義。小學數學教學中分數的概念的描述法給出

具體教學中是通過動手操作法來實現：在描述中，安排了平均分實物、圖形和線段等內容。教學時，讓學生動手將實物、圖形和線段分一分，進而給出了分數的含義。心理學研究表明：兒童的思維是從動手開始的，切斷活動與思維的聯系，思維就不能得到發展。美國華盛頓圖書館的墻上貼有這樣的話：“我聽見了就忘了，我看見了就記住了，我做了就理解了。”這充分說明了小學生在學習中動手做的重要性。因此，對描述性概念的教學，必須根據其特點，努力為學生提供動手操作的機會，讓他們在做中學，在做中理解和掌握。例如，第五冊“分數的初步認識”中“分數”這一概念，沒有給出定義，而是通過描述的方法說明它的含義的。q一般的分數的概念：兩個正整數p、q相除，可以用分數p/q表示。即p÷q=p/q,其中p為分子，q為分母。P/q讀作p分之q.當q=1時，p/q=p

解釋一：一般的，分數的意義p/q是將一個總體等分為q份而取其中p份.根據這個意義，分數的乘法可以解釋為：兩個分數相乘p/q×m/n的意義是：在分數p/q的基礎上，以p/q為總體，“再”等分為n份而取其中m份，其結果是p×m/q×n(q、n不等于零)，即P/q×m/n=p×m/q×n(q、n不等于零)例：3/4×2/5解釋二：當一個整體（指基準量）被等分后，集聚其中一部份的量稱為「分量」，而「分數」就是用來表示或紀錄這個「分量」。這是從分數的意義可從分割及合成活動來解釋，例如：2/5是指一個整數被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。

（2）分數的意義

分數的基本性質：分數的分子和分母都乘以或都除以同一個不為零的數，所得到的分數與原分數的大小相等。a/b=a×k/b×k=a÷n/b÷n(b、k、n不等于零)

最簡分數：分子與分母互素的分數叫做最簡分數

約分：把一個分數的分子與分母的公因數約去的過程稱為約分。

（3）分數大小的比較根據分數的定義可以給出分數大小的定義：有兩個分數a/b與c/d，若ad=bc,則a/b=c/d；若ad>bc,則a/b>c/d.方法一:根據分數大小的定義比較分數的大小方法二:分母相同比較分子大小方法三:分子相同比較分母大小方法四:求差（4）百分數的概念

小學數學五年級課程目標一、數與代數1．數的認識進一步認識小數和分數，認識百分數；探索小數、分數和百分數之間的關系，并會進行轉化（不包括將循環小數化為分數）。理解倒數和百分數的意義，會正確的讀、寫百分數。百分數的概念

（5）分數和除法的關系基本關系：被除數÷除數=被除數/除數

p÷q=p/q(q≠0,p∈Z,q∈N＋)注意：p∈Z，q∈N＋的含義分數和除法的聯系：分子、分母和除號分別相當于被除數、除數和分數線。分數和除法的區別：分數是一種數，除法是一種運算（6）倒數的認識

關于倒數，《辭海》給出的定義是：“如果a是一個不等于零的數，則稱1／a為a”的倒數”（1999年版，第一卷，644頁）。顯然這個定義對于小學生來說太過抽象。在初中的教材中，對倒數的概念是這樣給出的：“乘積為1的兩個有理數互為倒數。例如，－3與－1／3,－3／8與－8／3.”（義務教育數學課程標準組、北京師范大學國家基礎教育課程標準實驗教材總編委會編《數學（七年級上冊）》），這個定義中學生比較好理解。在我們的教材中，敘述更加貼近兒童語言，但實質是一樣的。

第三單元《倒數》（如下圖）一課中，“什么是倒數”，是通過觀察總結得出概念的：

（7）小學數學中分數的安排和要求（三年級）教學內容：初步認識分數，會讀、寫簡單的分數。會比較同分母分數的大小。初步學會計算簡單的同分母分數的加、減法。教學要求：初步認識分數，會讀、寫簡單的分數。會比較同分母分數的大小。初步學會計算簡單的同分母分數的加、減法。

（五年級）教學內容：分數的意義和性質。

分數的意義。分數單位。分數大小的比較。分數與除法的關系。真分數和假分數。帶分數。分數的基本性質。約分。通分。分數和小數的互化。分數的加法和減法。分數加、減法的意義。分數加、減法運算（不含帶分數）。加法的運算定律推廣到分數。分數、小數加、減混合運算。教學要求：理解分數的意義和基本性質。會比較分數的大小，比較熟練地進行約分和通分。會進行分數與小數的互化。理解分數加、減法的意義。掌握分數加、減法的計算法則，能夠比較熟練地計算分數加、減法。正確地進行分數加減混合運算。會口算簡單的分數加、減法。（六年級）教學內容：分數的乘法和除法。分數乘法的意義。分數乘法。乘法的運算定律推廣到分數。倒數。分數除法的意義。分數除法。分數四則混合運算。

百分數、比和比例，百分數的意義和性質。比例的意義和基本性質。解比例。成正比例的量和成反比例的量。比的意義和性質。比例的意義和基本性質。解比例。成正比例的量和成反比例的量。

教學要求：理解分數乘、除法的意義。掌握分數乘、除法的計算法則。會計算分數乘、除法。會口算簡單的分數乘、除法。會進行分數四則混合運算（不超過三步）。理解百分數的意義。知道百分數在實際中的應用。會進行有關百分數的計算。理解比的意義和性質。會求比值和化簡比。理解比例的意義和基本性質。會解比例。理解正、反比例的意義。會判斷兩個量是否成正比例或反比例。通過比例的教學，使學生進一步受到辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。參考資料：小學數學教學中分數的引入

根據三年級學生思維發展和生活經驗的特點，教材從學生熟悉的、并且能夠實際操作的分物情境引入分數。問題：一個蘋果平均分給兩個人，每人分多少？怎樣表示呢？鼓勵學生討論用什么方式來表示“一半”。這個討論過程，一方面可以使學生意識到原來學過的數不夠用了，感到學習新知識的必要性；另一方面可以鼓勵學生發揮想象，大膽創造表示“一半”的方法。學生可以畫圖來表示，也可以發明自己的符號來表示。在此基礎上，再引入“一半可以用1/2來表示”。這實際上鼓勵學生經歷了從運用自己的符號表示到運用數學符號進行表示的過程。

進而或，教愿師安駐排了餅分別汁涂出付一些碑圖形翠的1/袍2，不賤僅有飽利于捧學生旺借助魄幾何郵模型能體會嚷分數進的意尾義，捉并且獨學生字將感謝受到1/烏2不僅鳳可以豈表示距半個棵蘋果旁，還故可以功表示褲許多團事物嘩的“扎一半炮”，遮感受希數學繳符號乘的作默用。“分緊一分液（二持）”俯的主賣要內扔容是粥感受剃可以懷用分丸數表艦示由獵多個倉個體村組成狂的整蕩體中般的若陡干份鼻。這柳種分再數“作整體茅”意捏義的彈拓展匯，更張多突擠出了奇分數宰的實薄質——部分糠和整攤體的遭關系畜。2、妨小數成的概層念、雞性質疲及分第類（1）小剃數概菊念及祥意義小學灰數學督教學相中的披表述潛：小數仔：像5.稱98、0.華85、2.徑60的數王叫做近小數廚。小數舞計數仁單位枕是：十分愛之一熟、百帶分之蠶一、噸千分霜之一..侵..引..分別抗記作:0趁.1、0.抄01、0.烈00掏1，..裁..鵲..小數階的產鮮生是公由于濱測量克的需顏要.在進心行測掙量和核計算各時,往往立不能伯正好臉得到罪整數追的結銀果,這時倉常用不小數痛來表喝示（2）小拘數的繼讀法滑和寫者法小數袍的記爪數法墓（寫染數）記數柱的含出義：最用符移號表甘示數洲，就燈是把哨數寫查下來地的意縣思。記數憶的基廢礎：童位值君制.數位宮順序裹表,如下謎表：具體吊方法盾：記冒數符河號——阿拉炊伯數鑼字（確１０怖個）既和小滴數點順序——從高錦往低矮寫起整數么部分月讀法敬同自容然數團，小礎數部險分依習次讀導出每良個數英字小數幸部分......位百位十位個位小數點......百十一(個).十分位百分位千分位萬分位...十分之一百分之一千分之一萬分之一...小數掘部分小數熄部分練習時：讀哪出下鳴列小羞數２４跌５４豆３６栗８９.0際38株7２４象５４赤，３潮６８消９.0赤38奶7３５倘７３足８３跌４５捏１２.0累00嘗5３５躬，７斯３８搬３，糞４５嘗１２.0顫00將5３８至９０雷１０失２０.2飄89球9３８永９０炮，１彩０２昨０.2頁89勸9１５懶０２繡８５遍４３效２９蛛００.0遵01域0１５峽０２類，８撤５４滅３，也２９渾００.0返01話0１０鎮０２監８５魯４３進２９形００１０匯０２疏，８學５４棍３，霸２９氣００.1獅00釣0小數柔的認堡識被襖安排稀在三猾個學爺段中袖進行秧學習腿，即島三年彩級初闖步認曠識小糾數，豪四年往級初浩步認些識小旋數的旦意義腸和性肥質,五年惱級認創識小沿數乘經除法坑。三年突級下莊冊的驚小數泰的初郵步認染識限真制在絲式元、孔角、御分背層景下扇，把葛元、倦角、參分作舉為一瘦種生柿活原萍型，縱幫助補學生飛初步帶認識絹和學配習小截數的泥讀、木寫和舌一位酷小數招的大志小比雹較等挨。四府年級礎下冊惑的小圓數加華減法煌內容疾則是猶脫離扣元、臟角、宮分背栽景，哄從實襖際情怠境的般數量舊中抽鈴象出壘小數稀的意例義，美進行彩小數平的比默較大林小。參考辱資料移：閱蔑讀指教導法小學鞭數學齡中的掀描述暢性概六念主見要是狀通過膝文字液和圖渣形來氏體現窩的。淋課本陡中揭戀示概患念的護文字希和圖啄形是斜指導梨學生賣閱讀朝的重觀要內例容。狠教師奧在教邁學時永，不之要認身為這木些內洽容可劍有可黨無而裕輕易杏放過取，應倒該指拒導學騰生認莫真閱虧讀，懲逐字分逐句耗體會休，從制而達志到真洽正理章解的狹目的毅。例技如第遺七冊燭“小白數的咬初步繳認識室”這折一單夾元中搬，對減于“捎小數云”，驅教材殲是通橡過列雄舉大蟻量的騰例子兼來說便明的道。這夸樣的棗內容鎮，指傳導學銹生閱昆讀比南由教模師講逝學生畝聽效寄果好引得多拉。（3）小曬數的透性質根據劍這條預性質兩可以腿化簡倉小數贊。如0.他20站=0捏.2問題懷：0.矛20和0.建2的意米義相代同嗎績？小數送的末卷尾添剝上“0”或去頓掉“0”小數蜻的大掘小不忽變（4）小載數大衛小的肌比較練習:比較絹下列蠟分數奇的大掛小20伯9.醋05與20只9.詳12；0.拜00譜2與0.枕01脅0整數克不為枝“0”時，匯先比賠較整軋數的群大小整數虹為“0”時，毒依次嗚比較艇十分便位、豪百分距位..答.的大法小（5）小泡數的默分類純小披數閉循環肯小數小數巡壽小駕數帶小披數啟不循董環小姻數有限鉗小數小數無限代小數思考辨：分傍類的下標準綿是什散么？（6）小來學數逆學中小數的安他排和稀要求（四年團級）教學砌內容恢：小數撕的意吼義、焰性質勾。小數懲的大托小的寸比較療。小買數點醫移位欠引起剩小數饑大小咱的變海化。藥小數箭的近詠似值帶。昂加法鑼和減雷法。所加法諷運算駁定律芳推廣字到小塊數。教學蔥要求明：理解尺小數駱的意部義和嫂性質妄。比稠較熟最練地蒼進行貢小數動加、爸減法詳筆算反（對攔位數興個數宜的限踩制與適整數抬加、魚減法仙相同先）和烤簡單地的口調算。（五壞年級澆）教學擴內容義：小數映的乘麻法和起除法叔。積和汁商的瞎近似盞值。撇循環困小數旦。乘歐法運披算定傳律推材廣到度小數優。不數附四則墻混合瞎運算翅（不滲超過帖三步海）。教學貫要求設：比較瓶熟練戶地進貴行小糟數乘浙、除貫法筆的算（卵對位立數個婆數的綁限制率與整鄉豐數乘拆除法悶相同證）和嫂簡單氧的口洗算。框會用橫四舍遼五入歸法截野取積酬、商聞的近郊似值紡。會皂進行即小數樹四則瘦混合委運算勉（不泊超過達三步爬）。1、分緒數和挨除法顧的關州系是下什么搞？2、0.化2和0.紀20的讀慰法相嶺同嗎殖？意辯義相