“導數的幾何意義”教學實錄、反思與點評1教學預設11教學標準(1)通過《幾何畫板》動態演示割線“逼近”切線的過程，讓學生認識平均變化率與割線斜率之間的關系，知道其關系就是指平均變化率的兒何意義；(2)通過實驗探究，幫助學生歸納出導數的幾何意義，知道函數處的導數的幾何意義就是函數f(x)的圖象在處的切線的斜率，體會“數形結合，以直代曲”的思想方法；(3)通過函數的圖象直觀地感知導數的幾何意義，學生會利用導數的兒何意義解釋實際生活問題，體會導數在刻畫函數性質中的作用.12標準解析(1)內容解析：本節課要學的內容導數的幾何意義，指的是平均變化率與割線斜率之間的關系、曲線的切線的概念、導數的幾何意義，其核心是導數的幾何意義,理解它關鍵就是要在平均變化率的幾何意義的均礎上通過逼近的思想來理解學生已經學過平均變化率的兒何意義、導數的概念，本節課的內容導數的幾何意義就是在此基礎上的發展由于它是從形上理解導數的概念，所以在本學科有重要的地位，并有代數與幾何溝通的作用，是本學科導數部分的核心內容教學的重點是導數的幾何意義，解決重點的關鍵是從割線出發，理解切線定義，從而獲得導數的幾何意義.根據以上分析，本節課的教學重點確定為：體會并概括導數的幾何意義及“數形結合，以直代曲”的思想方法.（2）學情診斷：在本節課的教學中，學生可能遇到的問題是導數的幾何意義，產生這一問題的原因是其中“以直代曲”思想的理解要解決這一問題，就要通過對曲線的直觀觀察來體會，其中關鍵是利用信息技術動態演示.根據以上分析，本節課的教學難點確定為：發現、感知、概括導數的兒何意義并應用導數的兒何意義.（3）教學對策：本節課是導數的幾何意義的探究課第一，注重探究活動的流程設置自然本節課圍繞著“利用函數圖象直觀理解導數的幾何意義”和“利用導數的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開首先，教師從復習導數的實際意義、數值意義，由數到形，自然引出從圖形的角度研究導數的兒何意義；然后，類比“平均變化率一一瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數形結合的角度思考，獲得導數的幾何意義一一“導數是曲線上某點處切線的斜率”第二，注意引導學生進行探究活動實施環節的設置設計的問題圍繞“怎樣想到導數的幾何意義就是切線的斜率”而進行，引導學生充分經歷“提出問題（從數的角度研究了導數后，從形的角度如何研究導數？）一一尋求想法一一實施想法一一發現規律一一給出定義一一應用定義解釋現象（如何估計切線的斜率）”這一完整的探究活動，讓學生感受到數學知識的產生是水到渠成的第三，充分利用《兒何畫板》輔助探究教師恰當地應用《兒何畫板》進行動畫演示，讓學生從直觀上強烈感受到由割線逼近切線、產生切線的過程，再從理性的角度思考“切線產生”的深層原因，較好地培養了學生的觀察能力和分析能力.（4）教學流程：設置情境一探究問題一例題剖析一概括小結一課后延伸2教學簡錄21創設情境，引發探究讓學生回憶導數的概念及其本質（承上啟下，自然過渡）師：導數的本質是什么？寫出它的表達式.生：導數f'（xO）的本質是函數f（x）在x=xO處的瞬時變化率，即：評析教師不能替代學生的思維活動，學生將大腦中已有的經驗、認識轉換成數學符號，有利于學生思維能力的有效提高，為學生“發現，，，感知導數的兒何意義奠定基礎.評析教師引導學生：數形結合是重要的思想方法要研究“形。自然要結合“數”.22問題探究，知識形成師：若從圖形（形）的角度來探究導數的幾何意義，應從哪兒入手呢？生：研究導數的代數表達式.生（齊）：分三步:第一步：求Ay；第二步：求平均變化率4yAx；教師進一步引導學生：這是從“數”的角度來求導數，若從“形”的角度探索導數的幾何意義，類比以上方法，也可以分三個步驟：師：第一步：Ay的幾何意義是什么？生：Ay是xO+Ax與xO所對應的函數值的差量.師：很好，那么第二步：平均變化率師：第二步：當時，割線PPn有什么變化？評析由靜態到動態的過渡，比較考察學生的觀察能力，動手能力與獨立思考能力，很快，有幾個學生又畫了三條直線（其中橫坐標在xO+Ax與xO之間）師：很好，那么當Ax-O時，于是點P,Pn之間的差距越來越小，Pn一直，一直這樣靠近P,最后會 生（齊）：重合.師:那么直線PPn?生（齊）：變成一條切線了.師：大家真不錯，確實，當晝一。時，割線PPn有一個無限趨近的確定位置，這個確定位置上的直線叫做曲線在x二xO處的切線.評析教師用《幾何畫板》展示動態過程，引導學生回顧過程.（2）知識形成（課件展示）結論當△x-0時，割線PPn一切線PT,則割線PPn的斜率一切線PT的斜率.由數形結合，得師：割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關系？評析動手實踐，探索發現使學生經歷探究“導數的幾何意義”的過程以獲得情感體驗，建構“導數及其幾何意義”的知識結構，準確理解“導數的幾何意義”，掌握“數形結合，類比探討”的數學思想方法.師：怎樣求曲線在某點處的切線方程？即基本步驟.生：基本步驟分三步：（課件展示） ①求出點P的坐標；③利用點斜式求切線方程.思想拓展利用課件作出三個切點附近的近景，而且由小放到大，類似于放大鏡的效果，讓學生觀察切點附近曲線與直線的位置關系.學生發現，它們越來越靠近，幾乎重合此時，教師點出：根據導數的幾何意義，在點P附近，曲線］（X）可以用在點P處的切線近似代替，這是微積分中重要的思想方法一一以直代曲（以簡單的對象刻畫復雜的對象）（動畫演示：通過信息技術將函數曲線某一點附近的圖象放大得到一個近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越象直線；大多數函數曲線就一局部范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”）評析適時、有效地采用計算機等多媒體輔助教學，可以不僅加強學生對“導數的幾何意義”形象、直觀的理解，還能將學生的動手實踐（感知體驗）與抽象思維（深層內化）有效結合，增強學生的思維能力訓練，提高教學效率和教學質量.23例題剖析，加強理解例1如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數h（t）=-4912+651+1。的圖象，根據圖象請描述、比較曲線h（t）在tO,tl,t2附近的變化情況.從中小結出：（板書）1點附近的增減一一導數的正負一一過該點切線的斜率正負；2增減快慢一一導數的絕對值大小一一過該點切線的斜率絕對值的大小一一曲線在該點附近的陡峭程度.評析要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（同桌討論、描述運動員的運動狀態），體會利用導數的幾何意義解釋實際問題，滲透“數形結合”、“以直代曲”的思想方法.例2如下圖，它表示人體血管中的藥物濃度 c=f（t）（單位：ing/mL）隨時間t（單位：min）變化的函數圖象根據圖象，估計002,04,06,08（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數據用表格的形式列出（精確到01）藥物濃度瞬時變化率f'（t）評析要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率），進一步體會利用導數的幾何意義解釋實際問題，滲透“數形結合〃、“以直代曲〃的思想方法.表格的呈現有助于觀察導函數的單調性、可幫助學生猜想并據此畫出導函數圖象的大致形狀；其次，列表是函數的表示方法之一（列表、圖象、解析式），幫助學生體會“當X變化時，fz（X）便是x的一個函數”，使學生自然而然地理解導函數概念.師：從求函數f（X）在x=xO處導數的過程可以看到，當X=X0時，f'（X）是一個確定的數，（“光滑曲線在其上一點P處切線”只有一條），這樣，當X變化時，f'（X）便是X的一個函數，稱它為f（X）的導函數請同學們看書本導函數的定義（注：在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數.）提出思考（學生先討論、交流、總結，教師然后完善）24抽象概括，歸納小結（先讓學生小結，再由教師完善）（1）抽象概括由例2抽象概括出導函數（簡稱導數）的概念：評析體驗從靜態到動態的變化過程，領會從特殊到一般的辯證思想.（2）歸納小結由學生進行開放式小結：（2）利用導數的幾何意義解釋實際生活問題，體會“數形結合”、“以直代曲”的思想方法；（3）導函數（簡稱“導數〃）的概念：25作業布置，課后延伸課本第10頁習題A組：第3、4、5題.3教學反思以本課的“核心概念、思想方法”為主軸，以“問題串”來實現數學課堂教學，用問題來引導學習，力爭讓學生在學習過程中：充分感受用切線定義的直觀本質；平均變化率（曲線的割線斜率）與瞬時變化率（一點處的導數，曲線上一點處的切線斜率）的關系，數形結合，直觀獲得導數幾何意義；體會以直代曲思想方法的應用.成功之處：在本節課教學中，一是注重以學生為主體，每一個知識、每一個發現，總設法由學生自己得出，課堂上給予學生充足的思考時間和空間；二是在例題講解時，注重審題（分析關鍵的詞句）和解題反思；三是使用信息技術讓學生直觀感知無限逼近過程，直觀定義切線，能很好地借助圖形直觀對概念進行辨析，使學生理解切線定義的直觀本質；重視對概念的深度剖析，使學生對核心概念切線定義的理解能一步到位.改進之處：剛開始學生不是很進入狀態，雖任教的學生在年級段屬中上程度，學生學習興趣較高，但數學語言的表達及數形結合的能力、讀表的能力仍有不足作為探究課，如果時間控制不好，那么課堂結尾就顯得倉促，所以時間要注意調配另外，有些學生對如何畫出過該點的切線有點困難，此時，教師應給予示范.4教學點評本節內容是在學習了“變化率問題、導數的概念”等知識的基礎上，研究導數的幾何意義它能通過直觀具體的形象幫助學生消除對極限的神秘感，深刻理解導數的內涵和意義，形成對于變量與常量之間相互聯系與轉化的認識，感受和體驗辯證思維活動的過程，它對于學生深化數形結合 認識，了解辯證思維的方式具有十分典型和重要的功能本課的設計和教學較好地反映了以上意圖，較好地體現出高中數學課程標準所倡導的教學理念，主要特色如下：41教學思路清晰，學習重點突出本節課圍繞著“利用函數圖象直觀理解導數的兒何意義”和“利用導數的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開.首先，教師從復習導數的實際意義、數值意義，由數到形，自然引出從圖形的角度研究導數的幾何意義；然后，類比“平均變化率一一瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數形結合的角度思考，獲得導數的幾何意義一一“導數是曲線上某點處切線的斜率〃完成本節課第一階段的內容學習后，教師點明，利用導數的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數與切線斜率的關系，并感受導數應用的廣泛性.42設問合乎情理，探究活動自然本節課，教師十分注意提問的藝術，設計的問題圍繞“怎樣想到導數的兒何意義就是切線的斜率”而進行，引導學生充分經歷“提出問題（從數的角度研究了導數后，從形的角度如何研究導數？）一一尋求想法一一實施想法一一發現規律一一給出定義一一應用定義解釋現象（如何估計切線的斜率）”這一完整的探究活動，讓學生感受到數學知識的產生是水到渠成的.43注重學法引導，揭示研究方法無論是復習導數的實際意義、數值意義，還是研究導數的幾何意義及其應用，教師都很注重對數學思考和解決問題基本方法的教學.44巧用信息技術，強化直觀感知由于研究導數的幾何意義時應用了“逼近”的思想，在學生動手畫出